【摘 要】
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函数逼近论作为现代数学的一个重要分支最早兴起于前苏联。1859年前苏联著名数学家Chebyshev提出了最佳逼近的特征定理,1885年德国数学家Weierstrass证明了连续函数总是可以由多项式进行逼近。后又随着Jackson,Bernstein等一大批数学家的潜心研究,使得函数逼近论作为分析学领域的一个独立分支在数学理论研究以及实际应用中得以发展。随着科学技术的发展需要,函数逼近论与其他学科间
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函数逼近论作为现代数学的一个重要分支最早兴起于前苏联。1859年前苏联著名数学家Chebyshev提出了最佳逼近的特征定理,1885年德国数学家Weierstrass证明了连续函数总是可以由多项式进行逼近。后又随着Jackson,Bernstein等一大批数学家的潜心研究,使得函数逼近论作为分析学领域的一个独立分支在数学理论研究以及实际应用中得以发展。随着科学技术的发展需要,函数逼近论与其他学科间的联系也日益加深。目前,在连续函数空间与Lp空间中对于算子逼近、有理逼近、插值逼近以及宽度问题的研究体系已较为完善,而Orlicz空间作为比Lp空间更“大”的函数空间,其研究意义也更广泛,尤其是由不满足Δ2条件的N函数生成的Orlicz空间是Lp空间实质性的扩充,因此在Orlicz空间中对于逼近问题的研究具有更拓展的意义。全文共分为五章:第一章介绍了Orlicz空间及宽度的定义和性质,并给出相应的记号。第二章研究了Orlicz空间中算子逼近的问题。本章分为三节:第一节借助Hardy-Littlewood极大函数,凸函数的Jensen不等式以及Orlicz空间中K-泛函与连续模等工具研究了修正的Polyá算子在Orlicz空间内的逼近等价定理,并给出了逼近阶的估计;第二节讨论了一类混合指数型积分算子在Orlicz空间内的饱和性问题,并通过构造双线性泛函给出了这类混合指数型积分算子在Orlicz空间内的饱和性定理;第三节引入了多元Baskakov-Durrmeyer算子,并利用K-泛函,光滑模,维数分解等工具建立了算子在Orlicz空间内逼近的强直接不等式。第三章主要讨论有理逼近的问题。对于Orlicz空间内在[-1,1]中改变l次符号的函数,证明了f可以由Rnl中的有理函数进行逼近,并建立了相应的Jackson型定理。第四章对插值逼近的问题进行了探究。对于具有等距分布插值结点的三角多项式,本章借助广义的Minkowski不等式建立了该插值三角多项式在Orlicz空间内逼近的渐近进等式,并对于Orlicz空间内三种条件下不同的函数类给出不同的结果。第五章针对Orlicz空间内宽度的问题进行研究。本章共分为两节:第一节研究Orlicz空间中定义域为[-π,π]的非周期函数类在L1内Kolmogorov宽度的渐近精确估计及其渐近最优子空间,并进一步讨论了Kolmogorov宽度,线性宽度,Gelfand宽度的对偶形式;第二节考虑Lp空间中一类周期光滑函数类和受特定类型边界条件约束的周期函数类在Orlicz空间中在不同维情况下Kolmogorov宽度,线性宽度,Gelfand宽度的大小关系。
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