L-函数是一种生成函数，它的来源可以是算术几何，比如定义在数域上的椭圆曲线，或是自守形式.根据Langlands纲领，任何一个一般的L-函数都可以分解为GLm/Q上的自守表示的L-函数的乘积.因此，GLm/Q上的这些自守L-函数就是构建Langlands纲领大厦的砖瓦，因而具有非常深刻的理论意义. 本文中，我们将研究GL2/Q上的全纯尖形式对应的自守L-函数.我们首先考虑GLi的情况.ζ(s)为Riemann-zeta函数，这里s=σ+it.Hardy和Littlewood研究了二次积分均值()(T)=1/T∫1T|ζ(1/2+it)|2dt,并且证明了当T→∞时，()(T)～logT.(0.1)这就是说|ζ(1/2+it)｜2的均值为logt.记γ≤γ+为ζ(s)函数的连续零点的纵坐标，在Riemann猜想下，ConreyandGhosh定义了离散均值()(T)=1/N(T)∑0＜γ≤Tmaxγ＜t≤γ+|ζ(1/2+it)|2,并且证明了()(T)～e2-5/2logT，(0.2)这里N(T)是非显然零点ρ=1/2+iγ的个数，0＜γ≤T.这说明｜ζ(1/2+it)｜2在临界情况下的均值为e2-5/2logt..注意到e2-5/2=1.1945…，大于1.所以，我们可以把公式(0.1)和(0.2)记做()(T)～e2-5/2()(T).(0.3) 本文中，我们研究SL2(Z)上的全纯尖形式f对应的自守L-函数L(f，s).()(f，T)=1/T∫1T|L(f,1/2+it)|2dt.(0.4)在广义Riemann假设下，即L(f，s)的所有非显然零点都位于σ=1/2上.记γ≤γ+为L(f，s)的连续零点的纵坐标，()(f,T)=1/N(f,T)∑0＜γ≤Tmaxγ＜t≤γ+|L(f,1/2+it)｜2，(0.5)这里N(f，T)是L(f，s)的非显然零点ρ=1/2+iγ的个数，0＜γ≤T.我们有N(f，T)=T/2πlogT2/(2πe)2+O(logT)；(0.6)和经典的Riemannzeta函数的零点个数N(T)=T/2πlogT/2πe+O(logT)做比较. 我们有下面的结果定理0.1.设L(f，s)为SL2(Z)上的全纯尖形式f对应的自守L-函数，在广义Riemann假设下，()(f，T)～()(f，T)+()(f，T)，(0.7)这里()(f,T)=H(T/2π)/T/2πlogT/2πH(t)=∑1≤n≤t2r(n)/n1/4cos(4π√n-π/4)(0.8)r(n)为依赖于f的某个常数. 这里L(f，s)是2阶L函数，而ζ(s)阶为1.由(0.8)，易知L(f，s)比ζ(s)研究起来更困难.在引理7.1中我们将证明H(T)<