【摘 要】
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偏微分方程的控制问题是当今研究的热点问题,根据控制类型的不同可以分为边界控制问题和内部控制问题.本文首先利用分布控制的方法和一个紧支撑型的常定反馈律,研究了Camassa-Holm方程与Degasperis-Procesi方程相互作用系统的精确可控性以及渐近稳定性.其次,利用Carleman估计的方法讨论了粘性-Camassa-Holm方程初边值问题强解的唯一连续性.唯一连续性是偏微分方程解的一个
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偏微分方程的控制问题是当今研究的热点问题,根据控制类型的不同可以分为边界控制问题和内部控制问题.本文首先利用分布控制的方法和一个紧支撑型的常定反馈律,研究了Camassa-Holm方程与Degasperis-Procesi方程相互作用系统的精确可控性以及渐近稳定性.其次,利用Carleman估计的方法讨论了粘性-Camassa-Holm方程初边值问题强解的唯一连续性.唯一连续性是偏微分方程解的一个重要性质,具体指若偏微分方程的解在给定空间的非空开子空间上有紧支集,那么该方程的解在这个给定空间内满足≡0.本文利用Galerkin方法证明了具有粘性项的-Camassa-Holm方程强解的存在性和唯一性;然后,根据方程所具有的守恒律以及方程与经典的Camassa-Holm方程之间的联系,推导出了粘性-Camassa-Holm算子的两种Carleman估计;最后,基于上述Carleman估计,得到了粘性-Camassa-Holm方程两种形式的唯一连续性.本文主要内容安排如下:第一章:介绍演化方程可控性和唯一连续性的研究背景以及研究现状;第二章:对文章中将要用到的定义,定理和符号进行说明;第三章:研究Camassa-Holm方程与Degasperis-Procesi方程相互作用系统的可控性和渐近稳定性;第四章:讨论粘性-Camassa-Holm方程初边值问题强解的唯一连续性;第五章:对本文的研究成果进行总结并提出下一步的研究工作.
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