自从N.Jacobson于1948年开始从代数的观点研究李三系和约当三系以来,人们对三系的研究一直十分活跃.不仅李三系和约当三系这两类三系自身的性质受到越来越密切的关注,而且不断出现的其它三系也引起人们越来越广泛的兴趣.为了将一些三系统一到同一个数字概念之下从而在更广泛更一般的基础之上统一研究它们的性质,NoraC.Hopkins于1985年成功地引入了挠内导子三系的概念,使得李三系、反李三系及约当三系等成为其特例.Hopkins在先后发表的三篇文章中证明了关于李三系和约当三系的一些经典结论对于两类特殊的挠内导子三系—李模三系与挠李模三系的正确性.既然挠内导子三系是李三系与约当三系等三系概念的推广,一个自然提出的问题是:关于李三系和约当三系的结论是否对于一般的挠内导子三系(而不仅仅是对于它们的特殊类!)也成立.该文证明了如下两个命题:命题1.(Theorem3.6)设(M,{,,})是一个非退化的挠内导子三系.若(M,{,,})是单的,则其标准嵌入代数S(M)或者是单的,或者是两个单理想的直和.在后一情形,(M,{,,})同构于由一个李代数构成的李三系.命题2.(Theorem4.4)若φ,(,)是挠内导子三系(M,{,,})上的一个对称不变双线性型,则存在标准嵌入代数S(M)上的唯一一个对称不变双线性型φ(,)是非退化的.对于命题1,Hopkins在[1]中对结论已经做了断言,但并未予以严格证明,只是指出可以用[11]中证明结论1的方法类似地进行证明.然而Lister在[11]中证明结论1的方法这里似乎不能奏效!该文未借用[11]的办法,而是另辟蹊径,借助预先证明的三个引理,首先证明了Theorem3.5(如果(M,{,,})是一个非退化的挠内导子三系,那么(M,{,,})是单的当且仅当(S(M),σ)是单偶对.)然后利用已有的结论(Theorem2.1)得出了所要的结果.在合理地引入了不变性概念之后,该文证明了命题2,它保证了结论2及其相应于反李三系和约当三系的结论作为该命题的特便都是正确的,因而大大推广了结论2.