【摘 要】
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本文主要利用变分方法和Galerkin方法研究了有界光滑区域Ω上双调和方程弱解的存在性与多重性.在第二章,我们考虑了如下薄膜方程多变号解的存在性,其中Q是RN（N≥ 1）中有界光滑区域,Δ2u=Δ（Δu）是双调和算子,Δpu=div（|▽u|p-2▽u）是 p-Laplace 算子.且 p＞2,λ ∈ R 是参数,f ∈ C（RN,RN）和g ∈ C（Ω × R,R）满足一些合适的条件,特别的.p
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本文主要利用变分方法和Galerkin方法研究了有界光滑区域Ω上双调和方程弱解的存在性与多重性.在第二章,我们考虑了如下薄膜方程多变号解的存在性,其中Q是RN（N≥ 1）中有界光滑区域,Δ2u=Δ（Δu）是双调和算子,Δpu=div（|▽u|p-2▽u）是 p-Laplace 算子.且 p＞2,λ ∈ R 是参数,f ∈ C（RN,RN）和g ∈ C（Ω × R,R）满足一些合适的条件,特别的.p-Laplacian可能并不包含于▽·（f（▽u））.当f,g都不要求满足对称性条件时,我们利用山路定理和Ekeland变分原理证明了当λ＞0足够小时,方程（A）至少有两个变号解.此外,当f,g都满足对称性条件时,我们利用Fountain定理证明了对于任意λ∈ R,方程（A）有无穷多个变号解.在第三章,我们考虑了以下带有指数非线性项的p-双调和方程其中Ω是RN（N≥ 2）中有界光滑区域,Δp2u=Δ（|Δu|p-2Δu）是p-双调和算子,α＞0,p ≥ N,r,r1,r2＞0,λ＞0 是一个参数.我们利用G alerkin方法和Brouwer不动点定理证明了当λ＞0足够小时,方程（B）至少有一非平凡解.进一步,我们还证明了对于给定的b＞0存在λ0＞0使得对任给的λ ∈（0,λ0）,下面带有Kirchhoff非局部项和指数非线性项的p-双调和方程也有一非平凡解ub,并且若小参数λ＞0固定,则当b趋于0时,方程（C）对应的非平凡解集{ub}有收敛子列,且其收敛极限是方程（B）（即方程（C）取b=0情形）的一个非平凡解.
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