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回顾半群代数理论发展的历史，完全正则半群作为一类重要的正则半群，它的研究成为半群代数理论中一个相当活跃的领域．和其他代数一样，对半群分类是半群代数理论的一个主要任务。半群簇理论是研究半群分类的重要工具．在完全正则半群簇方面，研究完全正则半群簇的子簇格具有重要的意义。例如，已经搞清楚了正规带的拟簇格，正则带的簇格．完全正则半群簇有许多子簇，在探究子簇格的过程中，需要将任何两个子簇的“∨”和“∧”做出来．1999年，Petrich和Reilly提出一个这样一个公开问题([1]，第101页，问题Ⅱ．8.9)：QBG∨BA=LBg?
本文利用HSP—方法证明了该等式成立，并且证明中不涉及到密码群并半群的结构定理．本文的证明方法对于Petrich和Reilly提出来的另一个公开问题([1]，第97页，问题Ⅱ．7.8(ⅲ))Q∨HA=L?具有相当重要的借鉴作用，因为完全正则半群目前还没有准确的结构定理。全文共分三章。第一章，预备知识。第二章，相关概念和引理。第三章，QBA∨BA=LBG的证明。