反问题广泛存在于自然科学与工程技术领域之中。反问题大都是不适定的，不适定问题的求解需要正则化.我们主要关注不适定问题的不稳定性。建立有效的正则化方法，正则参数的选取以及算法实现是反问题研究的三大主要问题。　　 本文主要分两部分，第一部分分析了第一类算子方程的不适定性，基于谱分析，应用紧算子的奇异系统理论提出了一族新的正则化子，从而建立了一类新的求解第一类算子方程病态问题的正则化方法。然后通过正则参数的先验和后验选取方法。证明了正则解的收敛性并得到了其渐近收敛阶。最后给出了一个求解第一类Fredholm积分方程的数值例子。并与李功胜等人的结果讲行比较。第二部分是考虑图像恢复问题，近年来许多学者提出了基于变分方法的图像恢复方法，其研究重点是保持图像的边缘，本文基于变分原理；利用变正则参数的变分方法，该方法通过选取随梯度变化的变正则参数，达到去除噪声的目的。通过偏微分方程五点差分格式构造出求解变分模型的离散解法。