不适定问题的正则化理论和数值方法研究已经成为数学物理方程反问题研究中的主流和核心问题.而实现反问题解的最优误差逼近又是正则化理论中最为困难的问题之一,至今结果很少.该文给出了两类典型的不适定数学物理反问题的若干新的正则化方法,并且用这些正则化方法所构造的正则逼近解均实现了最优误差逼近.在该文§2-§3,§5中,首先考虑一类非标准型逆热传导问题,即如下含有对流项的抛物方程侧边值问题:当固体置于流体之中,并要利用固体内部某固定位置的温度测量值来确定物体表面的温度分布时就会在数学上抽象出这类问题,这里g(t)为x=1处的温度准确值,我们是要利用在x=1处的温度测量值gδ(t)来确定区间[0,1)上的温度分布,其中gδ(t)满足‖g(t)-gδ(t)‖≤δ.这是一类严重不适定问题,即问题的解不连续依赖于数据,微小的扰动即可引起解的爆破,使得数值计算非常困难.该文假设未知解u(x,y)∈M,其中M是一特定的有界集合,并给出了由扰动数据gδ(t)来确定[0,1)区间上未知解u(x,t)的最好可能精度,也即最优误差界.也就是说我们从理论上证明了不存在任何正则化方法,它的误差估计可以比这个最优误差界更精确.同时该文还给出了基于谱分析理论基础上的三种正则化方法:广义Tikhonov正则化方法和两种广义奇异值分解法.证明了当正则化参数按给定规则选取时它们可实现在L<2>意义下和H<,q>意义下的Holder型或对数型最优误差界.此外对此问题该文还给出了基于最优滤波方法基础上的一种最优正则化方法,这种方法比较简便,但仅能实现(0,1)区间上的Holder型最优误差界.该文在§4还考虑一类椭圆方程Cauchy问题u<,xx>-Lu-u=0(0)的最优误差逼近,这里L:D(L) H→H是一个线性稠定自伴正定算子,H是Hilbert空间.这也是一类严重不适定问题,这里假设未知解u(x,y)∈M,其中M是一特定的有界集合.测量数据满足‖z-zδ‖≤δ,其中z=u(0,y)或z=u<,x>(0,y).该文分别得到了由测量数据u<δ>(0,y)和u<,x><δ>(0,y)确定未知解u(x,y)的最优误差界,并给出两类正则化方法,即:广义Tihkonov正则化方法和一类广义奇异值分解法,当正则化参数按给定规则选取时实现了Holder型或对数型最优误差估计.该文在§3.4中给出了§3.2中相应方法的的数值实验,实验结果表明这些方法都是有效可行的.该文的部分结果已被Applied Mathematics and Computation(SCI)正式接收.