【摘 要】
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设S=k[x1,…,xn]是域k上以x1,…,xn为变量的多项式环,M为一个有限生成的分次S-模.模M的投射维数表示M的极小分次自由预解的长度,M的正则度刻画了它的极小分次自由预解中合冲模的复杂程度,而M的深度则反映M距离Cohen-Macaulay模的远近程度,这些量一直是交换代数和代数几何方向的学者们关注的问题.由于无平方的单项式理想可以看成超图或图的边理想,从而无平方的单项式理想,特别是二次
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设S=k[x1,…,xn]是域k上以x1,…,xn为变量的多项式环,M为一个有限生成的分次S-模.模M的投射维数表示M的极小分次自由预解的长度,M的正则度刻画了它的极小分次自由预解中合冲模的复杂程度,而M的深度则反映M距离Cohen-Macaulay模的远近程度,这些量一直是交换代数和代数几何方向的学者们关注的问题.由于无平方的单项式理想可以看成超图或图的边理想,从而无平方的单项式理想,特别是二次无平方的单项式理想和它的幂的代数性质,引起了很多学者的关注.人们利用超图或图的一些组合不变量来刻画无平方的单项式理想的正则度,投射维数和深度.而本文将无平方的条件推广到允许变元的高次方幂,考虑加权定向图的边理想的代数性质.本文主要考虑几类加权定向轮图和m-部图.关于加权定向轮图.设它的顶点个数为n,其中n≥4为整数,外圈上的边的方向为顺时针,我们分中心点为汇点或源点以及外圈上是否存在赋值为1的顶点的情况,分别给出它的边理想的正则度和深度的公式.为了证明这些公式,我们分别根据中心点为汇点或源点时边理想的特点,采用构造合适的短正合列,极化和Betti Splitting的方法.关于加权定向m-部图.设m ≥ 2为一个整数,D=（V（D）,E（D）,w）为一个具有n个顶点的加权定向m-部图,它的顶点集V（D）的剖分为V1,…,Vm,即V（D）为V1,…,Vm的不交并而且V1,…,Vm均为独立集.我们根据边的不同情况,主要研究三类加权定向m-部图,并分别给出它们的边理想的正则度和深度的公式.针对上面研究的每种类型的图,我们通过例子来说明正则度和深度的公式与图中边的方向的选取和顶点的赋值有关.
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