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在过去数年间，人们对函数的单调插入问题进行了广泛的讨论。该问题的解决给出了对诸如可数仿紧空间，层空间等的函数刻画。受这些结论的启发，本文给出了对半层空间的几个函数刻画。另外，广义连续性也是一个广受关注的问题。本文定义了几种新的广义连续映射，并讨论了他们和连续映射及已有的某些广义连续映射之间的关系。在这篇论文中我们主要讨论了半层空间的刻画和连续映射的分解。全文由四个部分组成。第一章介绍了问题的提出和相关的背景材料。第二章介绍了半连续函数的某些性质并利用它们给出了对半层空间的函数刻画。其中主要结论为：X为半层空间当且仅当存在保序映射φ：LSC(X)→USC(X)使得对任意h∈LSC(X)，有0≤φ(h)≤h，且当h(x)＞0时，0＜φ(h)(x)＜h(x)。第三章通过引入弱半连续映射及弱准连续映射的概念来推广弱α连续性，讨论了弱半连续映射及弱准连续映射的一些性质，并讨论了它们与已有的某些广义连续映射之间的关系。主要结论为：映射f：(X,T)→(Y,U)为弱半连续(弱准连续)的当且仅当f为弱拟连续(几乎弱连续)的。第四章通过对A连续映射的分解给出了对连续映射的几个分解定理。其中主要结论为：对映射f：(X，T)→(Y，U)，下列论断等价：(a)f连续，(b)f既α连续又A连续，(c)f既α连续又LC连续，(d)f既α连续又c连续。