【摘 要】
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本文我们主要研究具有双曲性系统的维数问题.具体地,我们处理双曲SRB测度的维数逼近、带有奇点或者临界点的非一致扩张映射的维数逼近以及一致双曲集限制在局部不稳定流形上的Hausdorff维数的上界估计.作为应用,对于一致扩张映射,我们给出单点集的例外集的Hausdorff维数.此外我们还研究了一致扩张映射的次可加奇异值势函数的拓扑压的连续性,这一结果蕴含排斥子的Carathéodory奇异维数关于映
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本文我们主要研究具有双曲性系统的维数问题.具体地,我们处理双曲SRB测度的维数逼近、带有奇点或者临界点的非一致扩张映射的维数逼近以及一致双曲集限制在局部不稳定流形上的Hausdorff维数的上界估计.作为应用,对于一致扩张映射,我们给出单点集的例外集的Hausdorff维数.此外我们还研究了一致扩张映射的次可加奇异值势函数的拓扑压的连续性,这一结果蕴含排斥子的Carathéodory奇异维数关于映射的连续性.在第一个工作中,我们考虑了非一致双曲系统的维数逼近问题.具体地,对于C1+α微分同胚,如果保持一个遍历的双曲SRB测度μ,由Avila,Crovisier和Wilkinson在[1]中的结果知,存在一列带有控制分解的马蹄集,马蹄集上的拓扑熵与映射f关于测度μ的测度熵接近,并且对于任意支撑在马蹄集上的遍历测度v,f关于测度μ与关于测度v的Lyapunov指数接近.我们给出带有控制分解的马蹄集限制在局部不稳定流形上的Hausdorff维数的下界,借助这个下界,我们证明可以用这列马蹄集限制在局部不稳定流形上的Hausdorff维数来逼近双曲SRB测度不稳定方向的维数.这一结果给出了 Sánchez-Salas在[2]中的结果的一个完整的证明.注意到在Sanchez-Salas的证明中存在不可修复的错误.进一步,若测度μ是余维一,那么通过构造马蹄集上的合适的测度,我们证明测度μ的Hausdorff维数可由马蹄集的Hausdorff维数逼近.在第二个工作中,我们考虑了带有奇点或者临界点的非一致扩张系统的维数逼近问题.具体地,对于C1+α的带有奇点或者临界点的映射f,如果保持一个正测度熵的遍历测度μ,并且映射f关于测度μ仅有正的Lyapunov指数,我们构造了一个带有控制分解的排斥子,并且排斥子上的拓扑熵与映射f关于测度μ的测度熵接近,以及对于任意支撑在排斥子上的遍历测度v,f关于测度μ与关于测度v的Lyapunov指数接近.在[3]中,曹永罗教授、Pesin和赵云教授对于这样的带有控制分解的排斥子,给出了 Hausdorff维数的一个下界估计.利用这一结果,我们证明若不变测度μ绝对连续于Lebesgue测度,则我们构造的带有控制分解的排斥子的Hausdorff维数逼近测度μ的Hausdorff维数.作为上述工作的一个应用,我们考虑一致扩张映射的单点集的例外集的Haus-dorff维数的问题.具体地,我们证明对于C1+α的一致扩张映射,单点集的例外集的Hausdorff维数恰好与整个空间的维数相等.我们知道对于C1+α的一致扩张映射,绝对连续于Lebesgue测度的遍历不变测度总是存在的.可以证明这个测度的Hausdorff维数恰好是空间的维数.给定一个点x,我们可以构造一个带有控制分解的排斥子,且这个排斥子避开点x的轨道,从而点x的例外集Ef+(x)包含这个排斥子,由上述结果知,这个排斥子的Hausdorff维数逼近空间的维数,再由Hausdorff维数关于集合的单调性得到结论.在第三个工作中,我们处理一致双曲集限制在局部不稳定流形上的Hausdorff维数的上界估计的问题.具体地,对于C1的一致双曲系统,我们给出局部不稳定流形限制在双曲集上的Hausdorff维数的一个上界估计,这个上界为一列局部不稳定流形限制在双曲集上的拓扑压函数的极限函数的零点.这一结果主要通过双曲集的结构稳定性得到.在我们的第四个工作中,我们处理一致扩张映射的拓扑压函数的连续性问题.具体地,对于C1+α的一致扩张映射,我们证明次可加奇异值势函数拓扑压关于参数及映射具有二元连续性.
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