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本篇论文概括起来分为三章,预备知识之后是主体部分。预备知识着重叙述本文的奠基性工作,Furuta已经证明如果A≥B>0,那么对任意r≥0,F(p)=(Br/2ApBr/2)1+r/p+r关于p≥1的单调性.但他指出这个结果在0≤p≤1且r≥0时并不成立。本文则给出了(Br/2Aα1Br/2)β/α1+r≥(Br/2Aα2Br/2)α2+r成立的充分必要条件,运用类似的方法本文第一节给出了在p∈[0,1]条件下的一类算子单调函数和某些算子不等式;第二节拓宽了第一节函数的单调区域,并且证明了指数范围的最优性;在第三节中我们继续这一讨论,利用算子平均理论,又证明了该函数关于r的单调性,并给出了某些应用。第四节我们发现关于Furuta不等式的某些推广是等价的,只是形式不同而异,而且又把这一结果加以推广。最后一章,我们指出在做这一课题时所遗留下来的问题,有待于读者和我们共同来解决。