本文中，我们主要研究两大类问题，一是一些拓扑动力系统的概念在某种平均意义下的推广，二是关于幂零系统及其与数论的联系.　　本文的具体安排如下:　　在第一章中，我们简要回顾了拓扑动力系统和遍历理论的起源，发展和主要研究内容，并简要介绍了本文的研究背景和主要结论.　　在第二章中，我们将简明扼要地介绍一下拓扑动力系统和遍历理论的相关知识，以及后面章节将用到的一些工具.　　在第三章中，我们研究Banach proximal性质和一些拓扑动力系统的概念在平均意义下的推广.首先我们得到了拓扑动力系统为强proximal的一系列等价条件.基于对平均等度连续系统结构的深入研究，我们解决了Scarpellini提出的一个未解决问题:平均等度连续系统上每个遍历测度都具有离散谱.我们引入了Banach平均等度连续，几乎平均等度连续，几乎Banach平均等度连续等概念，并证明几乎平均等度连续系统的熵不一定为零，而几乎Banach平均等度连续系统的熵一定为零.另外，我们还得到下面的二分定理:一个传递系统要么是几乎平均等度连续，要么是平均敏感的;一个极小系统要么是平均等度连续，要么是平均敏感的.对于Banach平均等度连续，我们也有类似的结果.　　在第四章中，我们将讨论极小系统中的动力学平行六面体.对于拓扑动力系统（X，T）以及d∈N，Host-Kra-Maass给出了对应的动力学六面体Q[d]的概念.对于一个极小distal系统他们证明了由x～d-1 x当且仅当（x，x）∈Q[d]所定义的Q[d-1]的关系～d-1为一个等价关系;Q[d]满足闭平行六面体条件;同时对于x∈X，Q[d]中的第一个坐标为x的点构成的集合在面变换作用下为一个极小集.通过对Q[d]的结构的细致研究，我们将给出例子说明:对于一般的极小系统，上述条件可能不成立.这也说明在处理一般极小系统中的动力学平行六面体时，Ellis半群等工具是不可缺少的。　　在第五章中，我们将讨论幂零系统在组合数论的应用，我们将讨论动力系统回复时间集与Nil-Bohr集之间的关系.这与组合数论中一个关于Bohr集的经典问题有着紧密的关系:设S为Z的一个syndetic子集，集合S-S是否为一个Bohr0集.Veech证明这个问题在相差一个零密度意义下是成立的，Huang-Shao-Ye给出了Veech的结果的一个高阶形式.　　通过研究动力系统回复时间集与Nil-Bohr集之间的关系，我们得到下面二个结果:　　(1)上述问题的多项式形式也为几乎正确的.　　(2)对于经典的斜积系统的回复时间集，由多项式生成的Nild-Bohr0集以及Nil2-Bohr0集，我们可以证明其差集为一个Bohr0集.　　在证明中我们利用到了广义多项式以及幂零流形上多项式序列的等分布性质等一些深刻的工具.