【摘 要】
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极值图论是现代图论中的一个重要分支,其主要研究并寻找满足某些特定性质的极值图。1941年,匈牙利数学家Paul Turán发表的《On an extremal problem in graph theory》推动了图论中极值问题领域的发展,其中提出的著名定理:Turán定理是该领域的基石。Turán定理研究了不包含具有r个顶点的完全图Kr作为子图的极值图。自此,Turán问题的研究受到了广大学者的
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极值图论是现代图论中的一个重要分支,其主要研究并寻找满足某些特定性质的极值图。1941年,匈牙利数学家Paul Turán发表的《On an extremal problem in graph theory》推动了图论中极值问题领域的发展,其中提出的著名定理:Turán定理是该领域的基石。Turán定理研究了不包含具有r个顶点的完全图Kr作为子图的极值图。自此,Turán问题的研究受到了广大学者的关注。其研究的共同核心,即求给定顶点数量的图,在禁掉某些子结构的条件下的最大边数。最基本的Turán问题是基于普通图展开的,目的是要确定ex（n,H）的值,其中ex（n,H）定义为一个不包含与图H同构的子图且具有n个顶点的图的最大边数。很多学者针对不同图类对Turán问题展开研究,并不断推广,目前有很多开放的问题是非常有趣的。本文总共分为四章,主要讨论了多部图的Turán问题和平面图的Turán问题。第一章,主要介绍了 Turán问题的发展历程以及本文的主要结果。Erd（?）s和Simonovits（1982）猜想对于给定图的任意图族H,存在一个k≥ 1,使得 ex（n,H ∪ {C3,C5,…,C2k+1}）～exχ≤2（n,H）。Allen,Keevash,Sudakov 和Verstra?te（2014）将该问题与Zarankiewicz问题联系在一起,并证明对于满足“smooth”的二部图的图族,Erd（?）s-Simonovits猜想是成立的。第二章,我们在他们研究的基础上,考虑针对一个smooth-图族:H={K2,t,Bt}的多部图的Turán问题,将二部图的Turán问题推广到多部图的Turán问题,并得到exχ≤（n,{K2,t,Bt}）的上界,其中k≥ 3是一个整数。近10年,随机平面图领域受到了大家的关注,并在该领域已经有人做了大量工作,同时很多学者也在考虑随机平面图的极值问题。2016年,Dowden首先开展了平面图的极值问题研究,他研究了不包含C4或C5作为子图的平面图的极值问题,继而 Lan,Shi 和 Song（2019）与 Ghosh,Gy（?）ri,Martin,Paulos 和 Xiao（2020）对平面图的极值结果及极值问题进行了改进和推广。第三章,我们在他们研究的基础上,给出了一个新的Turán函数的定义,定义exBP（n,H）,为表示一个H-free的具有n个顶点的二部平面图的最大边数。我们主要讨论当H=C4以及H=C6的情况,并刻画了极值图。Dowden（2016）也提出考虑同时禁掉多个子图的平面图的Turán问题可能是有趣的。我们在该问题上进行了思考,并探究同时禁掉两个子图的情况。我们主要考虑两种情况:一种是同时禁掉C4和C5,另一种是同时禁掉Θ4和Θ5,并得到相应结果。第四章,我们对本文进行了总结并提出了未来的研究方向。
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