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动力系统是对不断演化的系统的长期行为的研究。现代动力系统理论起源于19世纪末Poincaré[55]关于非线性方程解的几何性质的研究，例如解的稳定性和周期解的存在性等。此后，Birkhoff继续了Poincaré的工作，发现了许多不同类型的长时间极限行为并在[8]中提出了“动力系统”一词。动力系统中特定状态的演化被称为轨道，而不动点、周期轨和拟周期轨一直是动力系统的轨道研究中非常重要的几个概念。对于一个可测空间上的动力系统，其不变测度的存在性和遍历性是研究人员最关心的问题。遍历理论研究了动力系统相对于不变测度的统计学性质，该名称来源于经典统计力学中的“遍历假设”，即观测值的时间平均等于状态平均。
然而，动力系统通常会受到随机因素的影响，例如外部波动，内部搅动，初始条件的波动和参数的不确定性等。20世纪90年代，LudwigArnold[1]从随机方程出发建立了随机动力系统的基本理论框架，并得到了有限维随机动力系统的线性理论结果。而Crauel和Flandoli[14，15]以及Crauel，Debussche和Flandoli[13]等则在无穷维随机动力系统中得到了一系列重要的结果。2009年，为了刻画现实世界系统中的随机周期现象，例如每日最高温度、经济周期和厄尔尼诺现象等，Zhao和Zheng[60]首次提出了随机动力系统的随机周期路径的概念。随后，Feng和Zhao[26]研究了随机动力系统的周期测度遍历性问题并建立了某种随机周期过程与周期测度的“等价性”。
对于一个度量动力系统(Ω，F，P,(θt)t∈T)上的随机动力系统，其随机性是蕴含在概率空间(Ω，F，P)上的。然而，在我们大多数的现实世界系统中概率P都是无法确定的，此时就需要引入能够涵盖概率测度不确定性的次线性期望理论。2004年，为了解决概率不确定性问题，Peng[47，48，49，52，53]直接从期望的角度建立了一套具有动态相容性的非线性期望理论体系。而基于Peng的非线性期望理论，Feng和Zhao[25]建立了次线性期望动力系统及其遍历性的理论框架。在本文中，我们从随机动力系统中随机周期路径分别在乘积空间和状态空间上导出的周期测度出发，找到了这些周期测度是PS-遍历的充分必要条件，同时证明了这些周期测度的上期望是遍历次线性期望。
除了周期运动，拟周期运动也是自然界中的非常常见的现象，例如在用KAM理论研究三体问题时，行星运动通常具有拟周期马蹄形轨道。同样地，自然界中很多问题也同时具有拟周期性和随机性，例如温度过程是随机的并且同时具有一天和一年的周期。但据我们所知，目前还没有相关的随机拟周期的数学理论。为了研究自然界中的随机拟周期现象，我们在本文中首次尝试提出随机拟周期路径的概念并得到一系列随机拟周期问题的结果。
本篇论文共分为五章，下面我们介绍每章的主要内容和结构。
论文的第一章，我们给出了在本文中要用到的动力系统和随机动力系统的基本概念，并回顾了动力系统的遍历性、混合性的定义。
论文的第二章，我们首先研究随机动力系统在状态空间X上的随机周期路径并得到乘积空间((Ω)，(F):=(Ω×X，F(×)B(X))上斜积(O)t的周期测度μs。我们证明了对每个s，斜积动力系统((Ω)，(F)，μs，((O)(t)n)n≥0)是遍历的当且仅当噪声度量动力系统(Ω，F，P(θ(t)n)n≥0)是遍历的。如果随机动力系统是Markov的，则由该随机动力系统的转移概率可以得到Markov半群Pt，t≥0。那么我们可以通过随机周期路径生成状态空间X上的周期测度ρs并证明对每个s，ρs是离散Markov半群P(t)n，n∈N的一个不变测度，同时我们给出一个周期测度ρs是PS-遍历的充分必要条件。除此之外，我们证明了布朗运动对应的连续时间典范动力系统(Ω，F，P,(θt)t∈R)和离散时间典范动力系统(Ω，F，P(θ(t)n)n≥0)都是遍历的。而一般的，离散时间动力系统的遍历性要强于连续时间动力系统的遍历性，在本章中我们给出了一个连续时间动力系统是遍历的但其离散动力系统不是遍历的例子。
论文的第三章，我们首先回顾了次线性期望空间和次线性Markov半群的基本概念，然后我们给出了次线性期望动力系统及其遍历性的定义。在上一章中，我们得到了乘积空间((Ω)，(F))上的周期测度μs和状态空间X上的周期测度ρs。通过周期测度对应的线性期望，我们分别构造了μs和ρs在单周期内的上期望(次线性期望)E和(T)。在上一章给出的μs和ρs是PS-遍历的充分必要条件下，我们还能得到E和(T)是遍历次线性期望。除此之外，我们还分别给出了一个离散时间遍历次线性期望动力系统和一个圆环上(连续时间)遍历次线性期望动力系统的例子。
论文的第四章，我们首次尝试建立随机拟周期的数学理论来研究现实中的随机拟周期现象。首先我们给出随机拟周期路径和拟周期测度的定义并找到一个随机微分方程对应的半流u存在唯一的周期为(t)1，(t)2的随机拟周期路径ψ((ψ))的充分条件，同时我们证明该随机拟周期路径的分布测度ρ((ρ))是该随机微分方程的唯一的周期为(t)1，(t)2的拟周期测度。通过将半流u提升到圆柱体(X):=[0，(t)1)×[o，(t)2)×X上的方法，我们得到一个perfectcocycle随机动力系统(Φ)，它对应的Markov半群(P)*以及(P)*的一个周期为(t)1，(t)2的拟周期测度μs:=δsmod(t)1×δsmod(t)2×ρs。此外，Markov半群(P)*存在唯一的不变测度并且该不变测度为1/(t)1(t)2∫0(t)1∫0(t)2δs1×δs2×(ρ)s1，s2ds1ds2。本章最后我们研究拟周期测度ρ的密度存在性并给出一个其密度满足Fokker-Planck方程的充分条件。
论文的第五章，总结本文的主要结果和贡献，然后给出下一步的研究方向。
然而，动力系统通常会受到随机因素的影响，例如外部波动，内部搅动，初始条件的波动和参数的不确定性等。20世纪90年代，LudwigArnold[1]从随机方程出发建立了随机动力系统的基本理论框架，并得到了有限维随机动力系统的线性理论结果。而Crauel和Flandoli[14，15]以及Crauel，Debussche和Flandoli[13]等则在无穷维随机动力系统中得到了一系列重要的结果。2009年，为了刻画现实世界系统中的随机周期现象，例如每日最高温度、经济周期和厄尔尼诺现象等，Zhao和Zheng[60]首次提出了随机动力系统的随机周期路径的概念。随后，Feng和Zhao[26]研究了随机动力系统的周期测度遍历性问题并建立了某种随机周期过程与周期测度的“等价性”。
对于一个度量动力系统(Ω，F，P,(θt)t∈T)上的随机动力系统，其随机性是蕴含在概率空间(Ω，F，P)上的。然而，在我们大多数的现实世界系统中概率P都是无法确定的，此时就需要引入能够涵盖概率测度不确定性的次线性期望理论。2004年，为了解决概率不确定性问题，Peng[47，48，49，52，53]直接从期望的角度建立了一套具有动态相容性的非线性期望理论体系。而基于Peng的非线性期望理论，Feng和Zhao[25]建立了次线性期望动力系统及其遍历性的理论框架。在本文中，我们从随机动力系统中随机周期路径分别在乘积空间和状态空间上导出的周期测度出发，找到了这些周期测度是PS-遍历的充分必要条件，同时证明了这些周期测度的上期望是遍历次线性期望。
除了周期运动，拟周期运动也是自然界中的非常常见的现象，例如在用KAM理论研究三体问题时，行星运动通常具有拟周期马蹄形轨道。同样地，自然界中很多问题也同时具有拟周期性和随机性，例如温度过程是随机的并且同时具有一天和一年的周期。但据我们所知，目前还没有相关的随机拟周期的数学理论。为了研究自然界中的随机拟周期现象，我们在本文中首次尝试提出随机拟周期路径的概念并得到一系列随机拟周期问题的结果。
本篇论文共分为五章，下面我们介绍每章的主要内容和结构。
论文的第一章，我们给出了在本文中要用到的动力系统和随机动力系统的基本概念，并回顾了动力系统的遍历性、混合性的定义。
论文的第二章，我们首先研究随机动力系统在状态空间X上的随机周期路径并得到乘积空间((Ω)，(F):=(Ω×X，F(×)B(X))上斜积(O)t的周期测度μs。我们证明了对每个s，斜积动力系统((Ω)，(F)，μs，((O)(t)n)n≥0)是遍历的当且仅当噪声度量动力系统(Ω，F，P(θ(t)n)n≥0)是遍历的。如果随机动力系统是Markov的，则由该随机动力系统的转移概率可以得到Markov半群Pt，t≥0。那么我们可以通过随机周期路径生成状态空间X上的周期测度ρs并证明对每个s，ρs是离散Markov半群P(t)n，n∈N的一个不变测度，同时我们给出一个周期测度ρs是PS-遍历的充分必要条件。除此之外，我们证明了布朗运动对应的连续时间典范动力系统(Ω，F，P,(θt)t∈R)和离散时间典范动力系统(Ω，F，P(θ(t)n)n≥0)都是遍历的。而一般的，离散时间动力系统的遍历性要强于连续时间动力系统的遍历性，在本章中我们给出了一个连续时间动力系统是遍历的但其离散动力系统不是遍历的例子。
论文的第三章，我们首先回顾了次线性期望空间和次线性Markov半群的基本概念，然后我们给出了次线性期望动力系统及其遍历性的定义。在上一章中，我们得到了乘积空间((Ω)，(F))上的周期测度μs和状态空间X上的周期测度ρs。通过周期测度对应的线性期望，我们分别构造了μs和ρs在单周期内的上期望(次线性期望)E和(T)。在上一章给出的μs和ρs是PS-遍历的充分必要条件下，我们还能得到E和(T)是遍历次线性期望。除此之外，我们还分别给出了一个离散时间遍历次线性期望动力系统和一个圆环上(连续时间)遍历次线性期望动力系统的例子。
论文的第四章，我们首次尝试建立随机拟周期的数学理论来研究现实中的随机拟周期现象。首先我们给出随机拟周期路径和拟周期测度的定义并找到一个随机微分方程对应的半流u存在唯一的周期为(t)1，(t)2的随机拟周期路径ψ((ψ))的充分条件，同时我们证明该随机拟周期路径的分布测度ρ((ρ))是该随机微分方程的唯一的周期为(t)1，(t)2的拟周期测度。通过将半流u提升到圆柱体(X):=[0，(t)1)×[o，(t)2)×X上的方法，我们得到一个perfectcocycle随机动力系统(Φ)，它对应的Markov半群(P)*以及(P)*的一个周期为(t)1，(t)2的拟周期测度μs:=δsmod(t)1×δsmod(t)2×ρs。此外，Markov半群(P)*存在唯一的不变测度并且该不变测度为1/(t)1(t)2∫0(t)1∫0(t)2δs1×δs2×(ρ)s1，s2ds1ds2。本章最后我们研究拟周期测度ρ的密度存在性并给出一个其密度满足Fokker-Planck方程的充分条件。
论文的第五章，总结本文的主要结果和贡献，然后给出下一步的研究方向。