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本文利用GroSbner-Shirshov基研究两类非结合代数，即反交换代数和Akivis代数。全文由两章组成。
第一章给出了自由反交换(非结合)代数的合成钻石引理。利用这个引理得到了自由李代数的一个反交换Grobner-Shirshov基，从而证明了由Hall字所构成的集合是自由李代数的基底。
第二章介绍了Shirshov的引理，即自由非结合代数的合成钻石引理。利用Shirshov的引理证明了P.I.Shestakov[20]的结果(每一个Akivis代数都能嵌入它的包络代数)。任何一个Akivis代数都能嵌入它的包络代数是M.A.Akivis[2]于1976年提出的一个猜想。P.I.Shestakov[20]于1999年解决了这一问题。本文则是利用自由非结合代数的合成钻石引理证明了P.I.Shestakov的结果。此证明的意义在于它比P.I.Shestakov的证明更加简单和容易理解而且这是Shirshov的自由非结合代数的合成钻石引理的第一个应用。