【摘 要】
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现代动力系统主要研究群或半群在空间上的作用,而（半）群作用的刚性问题是目前的研究热点之一.具体来讲,主要有两类问题.一方面,给定作用（半）群和相空间,在一定的动力限制下,在拓扑共轭的意义下分类（半）群在相空间上的作用,即所谓的拓扑刚性问题;另一方面,给定（半）群在在空间上的作用,分类其不变测度,即测度刚性问题.为了得到较好的分类结果,往往需要对作用（半）群的代数结构,相空间的拓扑以及（半）群作用的
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现代动力系统主要研究群或半群在空间上的作用,而（半）群作用的刚性问题是目前的研究热点之一.具体来讲,主要有两类问题.一方面,给定作用（半）群和相空间,在一定的动力限制下,在拓扑共轭的意义下分类（半）群在相空间上的作用,即所谓的拓扑刚性问题;另一方面,给定（半）群在在空间上的作用,分类其不变测度,即测度刚性问题.为了得到较好的分类结果,往往需要对作用（半）群的代数结构,相空间的拓扑以及（半）群作用的性质有所限制.本文主要研究群和半群在环面上作用的刚性.第三章及第四章研究的是交换群在圆周上作用的拓扑刚性问题.第三章的动力限制主要是紧凑传递性和几乎极小性,而第四章的动力限制主要是光滑性条件与作用的自由性.第五章,我们研究环面上的测度刚性问题.第三章,我们给出Homeo+（S1）同构于Zn紧凑传递且几乎极小的子群的所有拓扑共轭类.这里紧凑传递指拓扑传递但任何一个无限指标子群都不是拓扑传递,而几乎极小指至多有可数个非传递点.首先,我们构造一类由五个参数决定的标准模型Gα,n,k,g,f,它们是Homeo+（S1）同构于Zn紧凑传递且几乎极小的子群.然后,我们证明Homeo+（S1）的任意同构于Zn紧凑传递且几乎极小的子群都拓扑共轭于我们构造的标准模型,最后我们给出我们构造的标准模型Gα,n,k,g,f拓扑共轭时参数α,n,k,g,f所满足的条件.从而分类了这类作用.第四章,我们证明关于几个交换的圆周保向同胚的Denjoy型定理.我们的结果将对V.Kleptsyn和A.Navas在[49]中的条件用更一般的连续模给出刻画.给定两两交换的圆周保向同胚f1,…,fd,其光滑性分别为C1+ω1,…,Cl+ωd.若它们的旋转数有理无关且连续模ω1,…,ωd满足我们定义的相容性条件,则f1,…,fd将同时拓扑共轭于相应的刚性旋转.第五章,我们将研究环面Tn上×A-不变的测度刚性问题,其中A为n阶可逆整数方阵.具体地讲,对环面Tn上×A—不变的非原子的Borel概率测度μ,B1,…,Bn为强独立的整数矩阵,若对任意i∈{1,…,n},j∈E,μ是×（Aj+Bi）一不变的遍历测度,则μ是Lebesgue测度,其中E为自然数的一个关于某个F?lner序列上密度为1的子集.此处,整数矩阵B1,…,Bn…为强独立的是指对任意非零整向量k∈Zn,kB1,…,kBn在复数域C上线性独立.最后我们构造两类强独立的整数矩阵以说明其足够多.
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