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1问题的提出
在伏安法测电源电动势及内阻的实验中，由于一节干电池内阻较小，输出电压变化范围小，致使实验测量误差较大，为此人们通常是采用在干电池外串联一个定值电阻的方法来增大电源输出电压的变化范围，以此减小实验的测量误差.该方法是否对于减小实验误差有效？有多大的效果？是否有一定的要求？本文通过在电源外串联不同阻值的定值电阻，收集、处理相应的实验数据以及理论分析的方法，进一步对该问题展开讨论.
2实验设计及原理
2.1实验器材
一节DR20型干电池、J0407型电流表一个、J0408型电压表一个、阻值为50 Ω的滑动变阻器一个、J2361型变阻箱一个，开关一个、导线若干.
2.2实验原理
如图1所示，不考虑电压表和电流表内阻时，干电池电动势为E测、内阻为r测，电压表示数U1、U2，电流表示数为I1、I2.列方程有E测=U1 I1r测，E测=u2 I2r测.联立两式得：
E测=I1U2-I2U1I1-I2;
r测=U2-U1I1-I2.
当考虑电压表和电流表内阻时，设电压表阻值为RV，干电池电动势为E真、内阻为r真.列方程有，
E真=U1 （I1 U1Rv）r真，
E真=U2 （I2 U2Rv）r真，
联立方程得
E真=I1U2-I2U1I1-I2-U2-U1RV，
r真=U2-U1I1-I2-U2-U1RV.
闭合开关S，调节滑动变阻器，获得多组电压U、电流I的值，利用Excel软件做出U-I函数图像.设函数图像与纵轴的交点E测为b，函数图像的斜率r测为k，则有
E真=b kbRV-k，r真=k1-kRV.
利用E相对=|E测-E真|E真×100%、r相对=|r测-r真|r真×100%，
计算E相对、r相对的值.
在干电池边上分别串联1 Ω、3 Ω、5 Ω、7 Ω、10 Ω、13 Ω、15 Ω电阻时的电动势与内阻，实验原理图如图2所示.
不考虑电压表和电流表内阻时，设干电池电动势为E测′、内阻为r测′，电压表示数为U3、U4，电流表示数为I3、I4，定值电阻阻值为R0.列方程有
E测′=U3 I3（r测′ R0），
E测′=U4 I4（r测′ R0）.
联立两式得
E测′=I3U4-I4U3I3-I4;r测′=U4-U3I3-I4-R0.
当考虑电压表和电流表内阻时，设电压表阻值为RV，干电池电动势为E真′、内阻为r真′.列方程有
E真′=U3 （I3 U3RV）（r真′ R0），
E真′=U4 （I4 U4RV）（r真′ R0），
联立方程得
E真′=I3U4-I4U3I3-I4-U4-U3RV，
r真′=U4-U3I3-I4-U4-U3RV-R0.
闭合开关S，调节滑动变阻器，获得多组电压U、电流I的值，利用Excel软件做出U-I函数图像.设函数图像与纵轴的交点E测′为b′，函数图像的斜率r测′为k′，则有
E真′=b′ k′b′RV-k′，r真′=k′1-k′rv.
利用E相对=|E测-E真|E真×100%，
r相对=|r测-r真|r真×100%，
计算E相对′ 、R相对′ 的值.通过比较不串联定值电阻与串联不同阻值的定值电阻时路端电压变化范围、电源电动势和内阻测量值的相对误差大小，对各方法进行分析比较.
3数据收集、处理与分析
按照实验原理图连接电路，分别测一节干电池的电动势与内阻、一节干电池分别串联1 Ω、3 Ω、5 Ω、7 Ω、10 Ω、13 Ω、15 Ω电阻时的电动势和内阻.收集实验数据，用Excel软件处理数据并作出U-I函数图像，如图3所示.同时采用替代法测出型号为J0408电压表的内阻为3017 Ω，根据计算得出实验数据如表1所示.
通过以上实验数据可以看出，当伏安法测一节干电池的电动势和内阻时，由于一节干电池内阻较小，电压变化范围ΔU很小，仅为0.14 V.当在干电池外串联定值电阻后，电压变化范围ΔU、电源内阻、电动势和内阻的相对误差也随着串联定值电阻值的增大而增大.其中，电源内阻测量值在串联定值电阻后的变化尤为明显，增大0.8 Ω.当定值电阻值增大到15 Ω时，电压变化范围ΔU降低，电流过小，实验数据收集少，电源内阻测量值出现严重失真.
4实验误差分析
干电池外串联定值电阻后，有以下问题需要研究：（1）电压变化范围、电源内阻增大，实验偶然误差减小的同时电源内阻测量值、电源电动势和内阻的相对误差反而增大？（2）定值电阻值增加至15 Ω时，测量的电源内阻会严重失真？
（1）根据相对误差的计算公式有
E相对=|E测-E真|E真=b-（b kbRV-k）b kbRV-k
=kRV，
r相对=|r测-r真|r真=k-k1-kRVk1-kRV=kRV，
E相对′ =|E测′-E真′|E真′
=b′-（b′ k′b′RV-k′）k′ k′b′RV-k′=k′RV，
r相对′ =|r测′-r真′|r真′
=（k′-R0）-（k1-k′RV-R0）k′1-k′RV-R0
=k′RV R0-R0RVk′.
比较E相对与E相对′ ，r相对与r相对′ 的化简结果可知，随着U-I图像斜率k值的增大，电源电动势和内阻的相对误差也随之增大.
（2）由于串联定值电阻时导线接头处会有接线电阻存在，而计算电源内阻时只减去定值电阻的阻值，而忽略接线电阻值从而造成电源内阻测量值偏大.
（3）由于一节干电池电压仅为1.5 V，当串联定值电阻阻值过大时，电源输出电流减小，使电流读数变少，造成电源内阻测量值严重失真.
5实验结论
用伏安法测电源电动势和内阻（采用电流表外接法）的实验中，虽然通过串联定值电阻可以增大电源输出电压的变化范围，提高电压表读数的可视度和准确度，并以此来减小实验的测量误差，但是经过实验数据计算对比和理论分析可以看出：在减小测量误差的同时也降低了实验测量值的准确性.因此笔者建议：（1）在利用公式计算电源内阻时，应考虑串联电阻时导线接线电阻的阻值，否则会使电源内阻测量值偏大;（2）串联定值电阻阻值不宜过大，阻值在1 Ω为宜，阻值过大会使电源内阻测量值失真.同时，串联定值电阻阻值增大会使电源电动势与内阻的相对误差随之增大.因此，在测电源电动势和内阻的实验中，通过外串定值电阻的方法来减少实验误差并不是任意而为的.
在伏安法测电源电动势及内阻的实验中，由于一节干电池内阻较小，输出电压变化范围小，致使实验测量误差较大，为此人们通常是采用在干电池外串联一个定值电阻的方法来增大电源输出电压的变化范围，以此减小实验的测量误差.该方法是否对于减小实验误差有效？有多大的效果？是否有一定的要求？本文通过在电源外串联不同阻值的定值电阻，收集、处理相应的实验数据以及理论分析的方法，进一步对该问题展开讨论.
2实验设计及原理
2.1实验器材
一节DR20型干电池、J0407型电流表一个、J0408型电压表一个、阻值为50 Ω的滑动变阻器一个、J2361型变阻箱一个，开关一个、导线若干.
2.2实验原理
如图1所示，不考虑电压表和电流表内阻时，干电池电动势为E测、内阻为r测，电压表示数U1、U2，电流表示数为I1、I2.列方程有E测=U1 I1r测，E测=u2 I2r测.联立两式得：
E测=I1U2-I2U1I1-I2;
r测=U2-U1I1-I2.
当考虑电压表和电流表内阻时，设电压表阻值为RV，干电池电动势为E真、内阻为r真.列方程有，
E真=U1 （I1 U1Rv）r真，
E真=U2 （I2 U2Rv）r真，
联立方程得
E真=I1U2-I2U1I1-I2-U2-U1RV，
r真=U2-U1I1-I2-U2-U1RV.
闭合开关S，调节滑动变阻器，获得多组电压U、电流I的值，利用Excel软件做出U-I函数图像.设函数图像与纵轴的交点E测为b，函数图像的斜率r测为k，则有
E真=b kbRV-k，r真=k1-kRV.
利用E相对=|E测-E真|E真×100%、r相对=|r测-r真|r真×100%，
计算E相对、r相对的值.
在干电池边上分别串联1 Ω、3 Ω、5 Ω、7 Ω、10 Ω、13 Ω、15 Ω电阻时的电动势与内阻，实验原理图如图2所示.
不考虑电压表和电流表内阻时，设干电池电动势为E测′、内阻为r测′，电压表示数为U3、U4，电流表示数为I3、I4，定值电阻阻值为R0.列方程有
E测′=U3 I3（r测′ R0），
E测′=U4 I4（r测′ R0）.
联立两式得
E测′=I3U4-I4U3I3-I4;r测′=U4-U3I3-I4-R0.
当考虑电压表和电流表内阻时，设电压表阻值为RV，干电池电动势为E真′、内阻为r真′.列方程有
E真′=U3 （I3 U3RV）（r真′ R0），
E真′=U4 （I4 U4RV）（r真′ R0），
联立方程得
E真′=I3U4-I4U3I3-I4-U4-U3RV，
r真′=U4-U3I3-I4-U4-U3RV-R0.
闭合开关S，调节滑动变阻器，获得多组电压U、电流I的值，利用Excel软件做出U-I函数图像.设函数图像与纵轴的交点E测′为b′，函数图像的斜率r测′为k′，则有
E真′=b′ k′b′RV-k′，r真′=k′1-k′rv.
利用E相对=|E测-E真|E真×100%，
r相对=|r测-r真|r真×100%，
计算E相对′ 、R相对′ 的值.通过比较不串联定值电阻与串联不同阻值的定值电阻时路端电压变化范围、电源电动势和内阻测量值的相对误差大小，对各方法进行分析比较.
3数据收集、处理与分析
按照实验原理图连接电路，分别测一节干电池的电动势与内阻、一节干电池分别串联1 Ω、3 Ω、5 Ω、7 Ω、10 Ω、13 Ω、15 Ω电阻时的电动势和内阻.收集实验数据，用Excel软件处理数据并作出U-I函数图像，如图3所示.同时采用替代法测出型号为J0408电压表的内阻为3017 Ω，根据计算得出实验数据如表1所示.
通过以上实验数据可以看出，当伏安法测一节干电池的电动势和内阻时，由于一节干电池内阻较小，电压变化范围ΔU很小，仅为0.14 V.当在干电池外串联定值电阻后，电压变化范围ΔU、电源内阻、电动势和内阻的相对误差也随着串联定值电阻值的增大而增大.其中，电源内阻测量值在串联定值电阻后的变化尤为明显，增大0.8 Ω.当定值电阻值增大到15 Ω时，电压变化范围ΔU降低，电流过小，实验数据收集少，电源内阻测量值出现严重失真.
4实验误差分析
干电池外串联定值电阻后，有以下问题需要研究：（1）电压变化范围、电源内阻增大，实验偶然误差减小的同时电源内阻测量值、电源电动势和内阻的相对误差反而增大？（2）定值电阻值增加至15 Ω时，测量的电源内阻会严重失真？
（1）根据相对误差的计算公式有
E相对=|E测-E真|E真=b-（b kbRV-k）b kbRV-k
=kRV，
r相对=|r测-r真|r真=k-k1-kRVk1-kRV=kRV，
E相对′ =|E测′-E真′|E真′
=b′-（b′ k′b′RV-k′）k′ k′b′RV-k′=k′RV，
r相对′ =|r测′-r真′|r真′
=（k′-R0）-（k1-k′RV-R0）k′1-k′RV-R0
=k′RV R0-R0RVk′.
比较E相对与E相对′ ，r相对与r相对′ 的化简结果可知，随着U-I图像斜率k值的增大，电源电动势和内阻的相对误差也随之增大.
（2）由于串联定值电阻时导线接头处会有接线电阻存在，而计算电源内阻时只减去定值电阻的阻值，而忽略接线电阻值从而造成电源内阻测量值偏大.
（3）由于一节干电池电压仅为1.5 V，当串联定值电阻阻值过大时，电源输出电流减小，使电流读数变少，造成电源内阻测量值严重失真.
5实验结论
用伏安法测电源电动势和内阻（采用电流表外接法）的实验中，虽然通过串联定值电阻可以增大电源输出电压的变化范围，提高电压表读数的可视度和准确度，并以此来减小实验的测量误差，但是经过实验数据计算对比和理论分析可以看出：在减小测量误差的同时也降低了实验测量值的准确性.因此笔者建议：（1）在利用公式计算电源内阻时，应考虑串联电阻时导线接线电阻的阻值，否则会使电源内阻测量值偏大;（2）串联定值电阻阻值不宜过大，阻值在1 Ω为宜，阻值过大会使电源内阻测量值失真.同时，串联定值电阻阻值增大会使电源电动势与内阻的相对误差随之增大.因此，在测电源电动势和内阻的实验中，通过外串定值电阻的方法来减少实验误差并不是任意而为的.