论文部分内容阅读
一、填空题
1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 .
2．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
3．已知PABC为正三棱锥，D为BC中点，则直线BC与平面PAD的位置关系是 .
4．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是 .
5．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .
6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有 条.
7．下列四个命题中：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、 l2互相平行；
④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.
假命题的序号是 .
8．下面命题中：
①两平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直；
②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；
③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；
④一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；
⑤两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面.
其中正确的命题有 个
9．在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足 时，平面MBD⊥平面ABCD.
10．已知a、b是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α,a⊥β,则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③α∥β,aα,bβ,则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a, β∩γ=b，则a∥b.
其中正确命题的序号是 .
11．a、b表示直线，α、β、γ表示平面.
①若α∩β=a,bα,a⊥b，则α⊥β；
②若aα,a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；
⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.
上述五个命题中，正确命题的序号是 .
12．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 （填序号）.
①m⊥α，nβ，m⊥nα⊥β；
②α∥β，m⊥α，n∥βm⊥n；
③α⊥β，m⊥α，n∥βm⊥n；
④α⊥β，α∩β=m，n⊥mn⊥β.
13．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是 .
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
14．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 .
二、解答题
15．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点.
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求证：CF∥平面BAE.
16.如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=3AD.
求二面角APBD的余弦值.
17. 如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中点.
现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAE⊥平面PDE；
（3）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE.
18.如图，已知三棱锥ABPC中，AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积.
19.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B=λ.当∠APC为钝角时，求λ的取值范围.
20. 四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝60°,若PA＝PD＝5，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求四棱锥PABCD的体积；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？
参考答案
1．平行
2.9π
3.垂直
4.48
5.34
6.无数
7.①②③④
8.4
9．PC中点
10.①④
11.②⑤
12.②
13．D
14． 322
15.解析：（1）因为PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，所以PA⊥CD，
又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，AC、PA面PAC，所以CD⊥平面PAC.
又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
（2）法一：取AE中点G，连接FG，B G．
因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝12AD．
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
所以AC＝12AD，所以BC＝12AD．
在△ABC中，AB＝BC＝AC，
所以∠ACB＝60°，
从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC．
综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，所以CF∥BG．
又BG平面BAE，CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．
法二：延长DC与AB交于G点，连接EG．
因为在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠CAB＝60°,
所以∠CAB＝∠CAD， 即AC为∠DAG的平分线．
又AC⊥CD，所以AG＝AD，C为DG中点，又F为ED的中点．
所以CF∥EG．根据EG平面BAE，CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．
16.解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设AD=1，则
A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，3），B（1，1，0）
设平面PAB的法向量n=（x，y,1）
AB=(0,1,0),
AP=(-1,0,3),
∴n•AB=y=0
n•AP=-x+3=0,
∴n=(3,0,1).
显然平面PBD的法向量为AC=（-1，1，0），
设平面PBD与平面PAB所成的角为θ,
则cosθ=|cos〈AC,n〉|
=|AC•n|AC||n||
=64,
∴二面角APBD的余弦值为64.
17.解析：（1）因为PA⊥AD, PA⊥AB, AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.
（2）因为BC＝PB＝2CD, A是PB的中点，所以ABCD是矩形，
又E为BC边的中点，所以AE⊥ED.
又由PA⊥平面ABCD, 得PA⊥ED, 且PA∩AE＝A, 所以ED⊥平面PAE，
而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE.
（3）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G, 连结FG.
由FH∥ED, ED平面PED, 得FH∥平面PED；
由GH∥PD，PD平面PED，得GH∥平面PED，
又FH∩GH＝H，所以平面FHG∥平面PED.所以FG∥平面PDE.
再分别取AD、PA的中点M、N，连结BM、MN，
易知H是AM的中点，G是AN的中点，
从而当点G满足AG＝14AP时，有FG∥平面PDE.
18.解析：（1）∵M为AB中点,D为PB中点,
∴MD∥AP，又∵MD平面APC，AP平面APC.
∴DM∥平面APC.
（2）∵△PMB为正三角形,且D为PB中点，
∴MD⊥PB.
又由（1）知MD∥AP，∴AP⊥PB.
又已知AP⊥PC,PB∩PC=P,PB、PC面PBC, ∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，
∴BC⊥平面APC.又BC面ABC，∴平面ABC⊥平面PAC.
（3）∵AB=20,∴MB=10,PB=10.又BC=4，在Rt△PBC中，PC=PB2－BC2
=221.∴S△BCD=12S△PBC=14PC•BC=14×4×221=221.
又MD=32MB=53,∴VD－BCM=VM－BCD=13S△BCD•DM=13×221×53=107.
19.解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1(0,0,1).
由D1B=(1,1,-1)，得
D1P=λD1B=(λ,λ,-λ)
∴PA=PD1+D1A=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)
=(1-λ,-λ,λ-1),
PC=PD1+D1C=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)
=(-λ,1-λ,λ-1).
∵∠ABP不是平角，∴∠APC为钝角等价于
cos∠APC=cos〈PA,PC〉
=PA•PC|PA|•|PC|
<0
即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2
=(λ-1)(3λ-1)<0,
得13<λ<1.
∴λ的取值范围是（13，1）.
20.解析：(1) 过P作PM⊥AD于M，∵面PAD⊥面ABCD，∴PM⊥面ABCD，又PA＝PD＝5，∴M为AD的中点且PM＝52－42=3，
∴VP－ABCD=13SABCD•PM=13×8×8×32×3=323.
(2)连结BM，∵BD＝BA＝8，AM＝DM，∴AD⊥BM.
又AD⊥PM，BM∩PM＝M，PM、BM面PMB，∴AD⊥面PMB.
又PB面PMB，
∴ AD⊥PB.
(3) 能找到并且F为棱PC的中点
证法一：∵F为PC的中点，∴EF∥PB，又由(2)可知AD⊥面PMB，
易证AD⊥面DEF， 又AD面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD.
证法二：设CM∩DE＝O, 连结FO，∴O为MC的中点.
在△PMC中FO∥PM，∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD.
又FO面DEF，∴面DEF⊥面ABCD.
1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 .
2．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
3．已知PABC为正三棱锥，D为BC中点，则直线BC与平面PAD的位置关系是 .
4．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是 .
5．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .
6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有 条.
7．下列四个命题中：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、 l2互相平行；
④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.
假命题的序号是 .
8．下面命题中：
①两平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直；
②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；
③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；
④一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；
⑤两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面.
其中正确的命题有 个
9．在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足 时，平面MBD⊥平面ABCD.
10．已知a、b是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α,a⊥β,则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③α∥β,aα,bβ,则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a, β∩γ=b，则a∥b.
其中正确命题的序号是 .
11．a、b表示直线，α、β、γ表示平面.
①若α∩β=a,bα,a⊥b，则α⊥β；
②若aα,a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；
⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.
上述五个命题中，正确命题的序号是 .
12．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 （填序号）.
①m⊥α，nβ，m⊥nα⊥β；
②α∥β，m⊥α，n∥βm⊥n；
③α⊥β，m⊥α，n∥βm⊥n；
④α⊥β，α∩β=m，n⊥mn⊥β.
13．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是 .
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
14．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 .
二、解答题
15．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点.
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求证：CF∥平面BAE.
16.如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=3AD.
求二面角APBD的余弦值.
17. 如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中点.
现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAE⊥平面PDE；
（3）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE.
18.如图，已知三棱锥ABPC中，AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积.
19.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B=λ.当∠APC为钝角时，求λ的取值范围.
20. 四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝60°,若PA＝PD＝5，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求四棱锥PABCD的体积；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？
参考答案
1．平行
2.9π
3.垂直
4.48
5.34
6.无数
7.①②③④
8.4
9．PC中点
10.①④
11.②⑤
12.②
13．D
14． 322
15.解析：（1）因为PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，所以PA⊥CD，
又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，AC、PA面PAC，所以CD⊥平面PAC.
又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
（2）法一：取AE中点G，连接FG，B G．
因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝12AD．
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
所以AC＝12AD，所以BC＝12AD．
在△ABC中，AB＝BC＝AC，
所以∠ACB＝60°，
从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC．
综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，所以CF∥BG．
又BG平面BAE，CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．
法二：延长DC与AB交于G点，连接EG．
因为在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠CAB＝60°,
所以∠CAB＝∠CAD， 即AC为∠DAG的平分线．
又AC⊥CD，所以AG＝AD，C为DG中点，又F为ED的中点．
所以CF∥EG．根据EG平面BAE，CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．
16.解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设AD=1，则
A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，3），B（1，1，0）
设平面PAB的法向量n=（x，y,1）
AB=(0,1,0),
AP=(-1,0,3),
∴n•AB=y=0
n•AP=-x+3=0,
∴n=(3,0,1).
显然平面PBD的法向量为AC=（-1，1，0），
设平面PBD与平面PAB所成的角为θ,
则cosθ=|cos〈AC,n〉|
=|AC•n|AC||n||
=64,
∴二面角APBD的余弦值为64.
17.解析：（1）因为PA⊥AD, PA⊥AB, AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.
（2）因为BC＝PB＝2CD, A是PB的中点，所以ABCD是矩形，
又E为BC边的中点，所以AE⊥ED.
又由PA⊥平面ABCD, 得PA⊥ED, 且PA∩AE＝A, 所以ED⊥平面PAE，
而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE.
（3）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G, 连结FG.
由FH∥ED, ED平面PED, 得FH∥平面PED；
由GH∥PD，PD平面PED，得GH∥平面PED，
又FH∩GH＝H，所以平面FHG∥平面PED.所以FG∥平面PDE.
再分别取AD、PA的中点M、N，连结BM、MN，
易知H是AM的中点，G是AN的中点，
从而当点G满足AG＝14AP时，有FG∥平面PDE.
18.解析：（1）∵M为AB中点,D为PB中点,
∴MD∥AP，又∵MD平面APC，AP平面APC.
∴DM∥平面APC.
（2）∵△PMB为正三角形,且D为PB中点，
∴MD⊥PB.
又由（1）知MD∥AP，∴AP⊥PB.
又已知AP⊥PC,PB∩PC=P,PB、PC面PBC, ∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，
∴BC⊥平面APC.又BC面ABC，∴平面ABC⊥平面PAC.
（3）∵AB=20,∴MB=10,PB=10.又BC=4，在Rt△PBC中，PC=PB2－BC2
=221.∴S△BCD=12S△PBC=14PC•BC=14×4×221=221.
又MD=32MB=53,∴VD－BCM=VM－BCD=13S△BCD•DM=13×221×53=107.
19.解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1(0,0,1).
由D1B=(1,1,-1)，得
D1P=λD1B=(λ,λ,-λ)
∴PA=PD1+D1A=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)
=(1-λ,-λ,λ-1),
PC=PD1+D1C=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)
=(-λ,1-λ,λ-1).
∵∠ABP不是平角，∴∠APC为钝角等价于
cos∠APC=cos〈PA,PC〉
=PA•PC|PA|•|PC|
<0
即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2
=(λ-1)(3λ-1)<0,
得13<λ<1.
∴λ的取值范围是（13，1）.
20.解析：(1) 过P作PM⊥AD于M，∵面PAD⊥面ABCD，∴PM⊥面ABCD，又PA＝PD＝5，∴M为AD的中点且PM＝52－42=3，
∴VP－ABCD=13SABCD•PM=13×8×8×32×3=323.
(2)连结BM，∵BD＝BA＝8，AM＝DM，∴AD⊥BM.
又AD⊥PM，BM∩PM＝M，PM、BM面PMB，∴AD⊥面PMB.
又PB面PMB，
∴ AD⊥PB.
(3) 能找到并且F为棱PC的中点
证法一：∵F为PC的中点，∴EF∥PB，又由(2)可知AD⊥面PMB，
易证AD⊥面DEF， 又AD面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD.
证法二：设CM∩DE＝O, 连结FO，∴O为MC的中点.
在△PMC中FO∥PM，∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD.
又FO面DEF，∴面DEF⊥面ABCD.