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怎样才能跳出题海？不做那么多的题又能提高学习成绩呢？这要从做题的目的说起.下面结合江苏2011年高考数学试题中的第18题来分析解题中如何做到一题多解和一题多变.
原题：（2011年江苏18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
分析：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，同时考查运算求解能力和推理论证能力.
解析：（1），（2）略；
（3）设P(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,x2>0，x1≠x2)则A(－x1,－y1),C(x1,0).
所以直线PA的斜率kPA=y1x1=k，AB的斜率kAB=kAC=y12x1=k2
直线PA与PB的斜率之积为kPA •kPB = 2kAB •kPB
= 2•y2 + y1 x2 + x1 •y2 -y1 x2 -x1
=2•y22 -y21 x22 -x21 ，
由点P、B在椭圆上知x21 4 + y21 2 = 1,x22 4 + y22 2 = 1即y21 = 2-x21 2,y22 = 2-x22 2
所以kPA •kPB = 2y22 -y21 x22 -x21
=2(2-x22 2)-(2-x21 2)x22 -x21 = -1，所以PA⊥PB.
探索一：将原题的题设中的“椭圆x24+y22=1”变为“椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)”其它题设不变，直线PA、PB的斜率存在什么关系？
解析：由（3）的解题过程
知直线PA与PB的斜率之积为kPA •kPB = 2kAB •kPB = 2y2 + y1 x2 + x1 •y2 -y1 x2 -x1 =
2•y22 -y21 x22 -x21 ，
由点P、B在双曲线上知x21 a2 + y21 b2 = 1,x22 a2 + y22 b2 = 1即y21 = b2-b2x21 a2,y22 = b2-b2x22 a2
所以kPA •kPB = 2•y22 -y21 x22 -x21
=2•(b2-b2x22 a2)-(b2-b2x21 a2)x22 -x21 = -2b2a2，所以直线PA、PB的斜率的乘积为定值－2b2a2.
探索二：将原题的题设中的“椭圆x24+y22=1”变为“双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)”，其它题设不变，直线PA、PB的斜率存在什么关系？
解析：
由点P、B在椭圆上知x21 a2-y21 b2 = 1,x22 a2-y22 b2 = 1即y21 = b2x21 a2-b2,y22 = b2x22 a2-b2
所以kPA •kPB
=2•y22 -y21 x22 -x21
=2(b2x22 a2-b2)-(b2x21 a2-b2)x22 -x21 = 2b2a2，所以直线PA、PB的斜率的乘积为定值2b2a2.
说明：对于椭圆和双曲线，直线PA、PB的斜率的乘积为定值.
探索三：将原题的题设中的“椭圆x24+y22=1”变为“圆x2+y2=r2(r>0)”，其它题设不变，直线PA、PB的斜率存在什么关系？
解析：
由点P、B在圆上知x21 + y21 = r2,x22 + y22 = r2即y21 = r2-x21 ,y22 = r2-x22
所以kPA •kPB = 2•y22 -y21 x22 -x21
=2•(r2-x22 )-(r2-x21 )x22 -x21 = -2，
所以直线PA、PB的斜率的乘积为定值－2.
说明：对于圆中，直线PA、PB的斜率的乘积为定值.
探索四：如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线PA（异于x、y轴）交椭圆x24+y22=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作PA的垂线，交椭圆于为B，连接AB，交x轴于点C，求证：PC⊥x轴.
解析：设直线PA的斜率k，由方程组y=kxx24+y22=1
得x=21+2k2y=2k1+2k2 或x=－21+2k2y=－2k1+2k2 .
令λ=21+2k2则P(λ,kλ),A(－λ,－kλ)，直线PB的斜率为－1k.
直线PB的方程为y－kλ=－1k(x－λ)，代入椭圆方程得(2+k2)y2－2λk(k2+1)y+λ2(k2+1)2－4=0，解得y=λk32+k2或y=kλ（舍），
因此B(λ(3k2+2)2+k2,λk32+k2).由A、B、C三点共线有kAB=kAC，
设C(x0,0)，则λk32+k2+kλλ(3k2+2)2+k2+λ=kλx0+λ，从而得到x0=λ，因此PC⊥x轴.
（作者：赵建武，江苏省宿迁市马陵中学)
原题：（2011年江苏18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
分析：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，同时考查运算求解能力和推理论证能力.
解析：（1），（2）略；
（3）设P(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,x2>0，x1≠x2)则A(－x1,－y1),C(x1,0).
所以直线PA的斜率kPA=y1x1=k，AB的斜率kAB=kAC=y12x1=k2
直线PA与PB的斜率之积为kPA •kPB = 2kAB •kPB
= 2•y2 + y1 x2 + x1 •y2 -y1 x2 -x1
=2•y22 -y21 x22 -x21 ，
由点P、B在椭圆上知x21 4 + y21 2 = 1,x22 4 + y22 2 = 1即y21 = 2-x21 2,y22 = 2-x22 2
所以kPA •kPB = 2y22 -y21 x22 -x21
=2(2-x22 2)-(2-x21 2)x22 -x21 = -1，所以PA⊥PB.
探索一：将原题的题设中的“椭圆x24+y22=1”变为“椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)”其它题设不变，直线PA、PB的斜率存在什么关系？
解析：由（3）的解题过程
知直线PA与PB的斜率之积为kPA •kPB = 2kAB •kPB = 2y2 + y1 x2 + x1 •y2 -y1 x2 -x1 =
2•y22 -y21 x22 -x21 ，
由点P、B在双曲线上知x21 a2 + y21 b2 = 1,x22 a2 + y22 b2 = 1即y21 = b2-b2x21 a2,y22 = b2-b2x22 a2
所以kPA •kPB = 2•y22 -y21 x22 -x21
=2•(b2-b2x22 a2)-(b2-b2x21 a2)x22 -x21 = -2b2a2，所以直线PA、PB的斜率的乘积为定值－2b2a2.
探索二：将原题的题设中的“椭圆x24+y22=1”变为“双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)”，其它题设不变，直线PA、PB的斜率存在什么关系？
解析：
由点P、B在椭圆上知x21 a2-y21 b2 = 1,x22 a2-y22 b2 = 1即y21 = b2x21 a2-b2,y22 = b2x22 a2-b2
所以kPA •kPB
=2•y22 -y21 x22 -x21
=2(b2x22 a2-b2)-(b2x21 a2-b2)x22 -x21 = 2b2a2，所以直线PA、PB的斜率的乘积为定值2b2a2.
说明：对于椭圆和双曲线，直线PA、PB的斜率的乘积为定值.
探索三：将原题的题设中的“椭圆x24+y22=1”变为“圆x2+y2=r2(r>0)”，其它题设不变，直线PA、PB的斜率存在什么关系？
解析：
由点P、B在圆上知x21 + y21 = r2,x22 + y22 = r2即y21 = r2-x21 ,y22 = r2-x22
所以kPA •kPB = 2•y22 -y21 x22 -x21
=2•(r2-x22 )-(r2-x21 )x22 -x21 = -2，
所以直线PA、PB的斜率的乘积为定值－2.
说明：对于圆中，直线PA、PB的斜率的乘积为定值.
探索四：如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线PA（异于x、y轴）交椭圆x24+y22=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作PA的垂线，交椭圆于为B，连接AB，交x轴于点C，求证：PC⊥x轴.
解析：设直线PA的斜率k，由方程组y=kxx24+y22=1
得x=21+2k2y=2k1+2k2 或x=－21+2k2y=－2k1+2k2 .
令λ=21+2k2则P(λ,kλ),A(－λ,－kλ)，直线PB的斜率为－1k.
直线PB的方程为y－kλ=－1k(x－λ)，代入椭圆方程得(2+k2)y2－2λk(k2+1)y+λ2(k2+1)2－4=0，解得y=λk32+k2或y=kλ（舍），
因此B(λ(3k2+2)2+k2,λk32+k2).由A、B、C三点共线有kAB=kAC，
设C(x0,0)，则λk32+k2+kλλ(3k2+2)2+k2+λ=kλx0+λ，从而得到x0=λ，因此PC⊥x轴.
（作者：赵建武，江苏省宿迁市马陵中学)