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数学思想方法是数学科的灵魂,它反映在数学教学内容里面,体现在解决问题的过程之中,它是将知识转化为能力的桥梁。只有运用数学思想方法,才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力。近几年高考试题非常重视对学生掌握数学思想方法的考查,在高考复习中加强数学思想方法渗透,可提高学生的数学素质和能力,从而有效地提高学生的数学成绩。
一、渗透数学思想方法进行基础知识复习,丰富基础知识内涵,优化知识结构
1、在总结基础知识的复习时,应注意揭示、总结其中蕴含的数学思想方法。
如:在复习指数函数y=ax和对数函数y=logax的性质时,应注意揭示底数a分为a>1和0 2、适当渗透数学思想方法,优化知识结构。
在梳理基础知识时,充分发挥思想方法在知识间相互联系、相互沟通中的纽带作用,可帮助学生合理构建知识网络,优化思维结构。如:在函数、方程、不等式的相互联系的复习中,利用函数思想,可以把方程和不等式分别当成函数值等于零、大于或小于零的情况,通过联想函数图像,提供方程、不等式解的几何意义,运用转化和数形结合的思想,使孤立的三块知识相互联系、相互转化,从而深化对知识的理解和整合,优化学生的认知结构。
二、在解题教学中渗透数学思想方法,提高学生的数学素质和能力
解题的过程实质上是在化归思想的指导下,合理联想提取相关知识,调用一定的数学思想方法加工、处理题设条件和知识,逐步缩小题设与题断间的差异过程。运用数学思想方法分析、解决问题,可开拓学生的思维空间,优化解题策略。如:
例1,求函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值。
分析:考察式子特点,从代数的角度求解,学生的思维受阻。这时利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式模型,把问题转化为:
x2+1+x2-4x+8=
(x-0)2+(0-1)2+
(x-2)2+(0-2)2令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则问题转化为在X轴上探求一点P,使|PA|+|PB|有最小值。
如图,由于A、B在X轴同侧,故取点A关于X轴的对称点C(0,1),当P在BC上时有(|PA|+|PB|)min=|CB|=(2-0)2+(2+1)2=13。
通过渗透数形转化思想,激活了学生的思维,培养了学生构建数学模型的能力。
例2,设f(x)=,求f()+f()+…+f()的值。
分析:本题若直接求解,无从下手。若能利用特殊与一般相互转化的方法,引导学生观察式子的数量特征:+=1,+=1…,可将问题转化为研究函数f(x)=的结构特征,得出f(a)+f(1-a)=1这个一般性结论后易于求解。从特殊到一般相互转化思想方法的渗透,使学生的思维豁然开朗。
例3,如图(1),有面积关系:=,则由图(2)有=______。
分析:本题可引导学生从平面几何入手,通过类比联想,把平面问题类比得出空间中类似的结论,=,并引导学生给出证明。观察归纳、类比猜想的运用,使学生找到了解决问题的新途径。
总之,在解题教学中适当渗透数学思想方法,开拓了学生的思维空间,优化了学生的思维品质,提高了学生的解题能力。
三、专题讲座,激发提升对数学思想方法的认识,提高对数学思想方法的驾驭能力
数学知识本身具有系统性,数学思想方法也具有系统性,对它的学习和渗透是一个循序渐进、螺旋上升的过程。在进行高考第二轮复习时,可以有目的地开设数学思想方法的专题复习讲座,以高中数学中常用的数学思想方法(如数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归)为主线,把中学数学中的基础知识有机地串连起来,让学生深刻领悟数学思想方法在数学学科中的支撑和统帅作用,进一步完善学生的认知结构,提高学生的数学能力。比如以函数思想为主线,它可以串连代数、三角、解析几何以及微积分初步的大部分知识:方程可以看作函数值为零的特例;不等式可以看作两个函数值的大小比较;三角可以看作一类特殊的函数(三角函数);解几的曲线方程可以看作隐函数,曲线可视为函数的图形;微积分中的导数可作为研究函数性质的主要工具。在化归思想的指导下,能使我们更深刻地理解化归变换的策略。比如指数、对数的高级运算转化为代数的低级运算;在方程中,三元、二元化为一元,分式方程化为整式方程;在立几中常将空间图形化为平面图形,复杂图形化为简单图形;解几中常将几何问题化归为代数问题研究。通过思想方法的专题复习,实现了知识、方法和数学思想的大整合,提高了学生分析问题、解决问题的综合能力。
综上所述,在高考数学复习过程中重视数学思想方法的渗透,可以深化学生对基础知识的理解,进一步完善学生的知识结构,优化思维品质,提高学生分析问题、解决问题的能力,提高学生的数学素养。
一、渗透数学思想方法进行基础知识复习,丰富基础知识内涵,优化知识结构
1、在总结基础知识的复习时,应注意揭示、总结其中蕴含的数学思想方法。
如:在复习指数函数y=ax和对数函数y=logax的性质时,应注意揭示底数a分为a>1和0
在梳理基础知识时,充分发挥思想方法在知识间相互联系、相互沟通中的纽带作用,可帮助学生合理构建知识网络,优化思维结构。如:在函数、方程、不等式的相互联系的复习中,利用函数思想,可以把方程和不等式分别当成函数值等于零、大于或小于零的情况,通过联想函数图像,提供方程、不等式解的几何意义,运用转化和数形结合的思想,使孤立的三块知识相互联系、相互转化,从而深化对知识的理解和整合,优化学生的认知结构。
二、在解题教学中渗透数学思想方法,提高学生的数学素质和能力
解题的过程实质上是在化归思想的指导下,合理联想提取相关知识,调用一定的数学思想方法加工、处理题设条件和知识,逐步缩小题设与题断间的差异过程。运用数学思想方法分析、解决问题,可开拓学生的思维空间,优化解题策略。如:
例1,求函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值。
分析:考察式子特点,从代数的角度求解,学生的思维受阻。这时利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式模型,把问题转化为:
x2+1+x2-4x+8=
(x-0)2+(0-1)2+
(x-2)2+(0-2)2令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则问题转化为在X轴上探求一点P,使|PA|+|PB|有最小值。
如图,由于A、B在X轴同侧,故取点A关于X轴的对称点C(0,1),当P在BC上时有(|PA|+|PB|)min=|CB|=(2-0)2+(2+1)2=13。
通过渗透数形转化思想,激活了学生的思维,培养了学生构建数学模型的能力。
例2,设f(x)=,求f()+f()+…+f()的值。
分析:本题若直接求解,无从下手。若能利用特殊与一般相互转化的方法,引导学生观察式子的数量特征:+=1,+=1…,可将问题转化为研究函数f(x)=的结构特征,得出f(a)+f(1-a)=1这个一般性结论后易于求解。从特殊到一般相互转化思想方法的渗透,使学生的思维豁然开朗。
例3,如图(1),有面积关系:=,则由图(2)有=______。
分析:本题可引导学生从平面几何入手,通过类比联想,把平面问题类比得出空间中类似的结论,=,并引导学生给出证明。观察归纳、类比猜想的运用,使学生找到了解决问题的新途径。
总之,在解题教学中适当渗透数学思想方法,开拓了学生的思维空间,优化了学生的思维品质,提高了学生的解题能力。
三、专题讲座,激发提升对数学思想方法的认识,提高对数学思想方法的驾驭能力
数学知识本身具有系统性,数学思想方法也具有系统性,对它的学习和渗透是一个循序渐进、螺旋上升的过程。在进行高考第二轮复习时,可以有目的地开设数学思想方法的专题复习讲座,以高中数学中常用的数学思想方法(如数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归)为主线,把中学数学中的基础知识有机地串连起来,让学生深刻领悟数学思想方法在数学学科中的支撑和统帅作用,进一步完善学生的认知结构,提高学生的数学能力。比如以函数思想为主线,它可以串连代数、三角、解析几何以及微积分初步的大部分知识:方程可以看作函数值为零的特例;不等式可以看作两个函数值的大小比较;三角可以看作一类特殊的函数(三角函数);解几的曲线方程可以看作隐函数,曲线可视为函数的图形;微积分中的导数可作为研究函数性质的主要工具。在化归思想的指导下,能使我们更深刻地理解化归变换的策略。比如指数、对数的高级运算转化为代数的低级运算;在方程中,三元、二元化为一元,分式方程化为整式方程;在立几中常将空间图形化为平面图形,复杂图形化为简单图形;解几中常将几何问题化归为代数问题研究。通过思想方法的专题复习,实现了知识、方法和数学思想的大整合,提高了学生分析问题、解决问题的综合能力。
综上所述,在高考数学复习过程中重视数学思想方法的渗透,可以深化学生对基础知识的理解,进一步完善学生的知识结构,优化思维品质,提高学生分析问题、解决问题的能力,提高学生的数学素养。