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编者按
对学情的准确把握和对教材编写意图及所呈现知识点的科学理解始终是展开有效教学的两大关键抓手，但综观当下课堂，不少教师在这方面的表现还是不尽如人意，无论是淡漠学情、误读学情的情况，还是对知识本身理解偏差或错误的状况都常有发生。近年来，朱乐平数学名师工作站以“一课研究”为抓手，对此进行了持续深入的研讨。本刊从本期开始，特辟专栏，择优刊登该团队的部分研究成果，以飨读者，也热忱欢迎大家就文章本身或相关专题参与讨论。
自新课程标准实施以来，原本自成体系的应用问题系列单元被取消，取而代之的是应用问题作为一种题型，散见于各个年级的每个领域，这种变化带来了教学上的调整与教师的思考。由此，笔者在一、二年级中开展了学生应用问题能力测试，发现了一些值得我们思考的问题，付诸笔端，供教学同人共同探讨。
一、两次测试带来的思考
笔者选择了一组加减一步计算应用问题，在一、二年级测试，测试的时间节点分别是一年级上册学习完10以内的数的认识后，以及二年级开学两周以后。测试目的是观察学生在经历一年级下册一个学期的学习之后，应用问题解决的能力有怎样的一种变化。
【测试问题】电梯从1楼升到9楼共升高了几层楼？
【数据解读】
表1：一、二年级应用问题测试情况汇总表 完全
正确 答案正确
但不会用
算式表达 答案正确
但算式表
达错误 典型
错误 其他
错误
答案
类型 9-1=8 8 1 8=9 1 9=10
一年级 8% 10% 43% 23% 16%
二年级 70% 1% 2% 16% 12%
从表1的数据分析中可以看出，一年级学生对这类带有情境的应用问题有较好的理解能力，在未学习之前，已经有61%的学生能准确理解题意，但由于所学知识的限制，其中只有8%的学生能给出“9-1=8”这种正确的算式表示方法;10%的学生知道答案是8，但是不会用准确的算式表达;43%的学生知道答案是8，并且尝试用他所理解的关系来表达算式，但表达存在错误。
学生在经历了一年级下册相关内容的学习后，到了二年级阶段用正确的算式表达想法的能力有明显提升，从原先的8%提升到70%。但仍然有28%的学生在解答这类问题时有困难，其中典型错误集中呈现在“1 9=10”的这种类型上。
二、访谈及成因分析
在数据统计中，有两个数据引起了我们的重视，第一个是一年级采用“1 8=9”方式解答问题的人数达到43%;第二个是到了二年级阶段采用“1 9=10”方式解答问题的人数从原先的23%下降到16%，仅下降了7个百分点。前者是学生学习的起点，也是教学的重点;后者是学生学习的效果，也是教学的难点。据此，我们针对这两类学生，展开了面对面的访谈。
（一）站在起点看发展，从顺向思考到逆向思考要引起关注
直面学生学习的起点，我们对“1 8=9”解题方式的学生群体进行了访谈，当问及“你是怎样想的？”时，学生的典型回答是：“从1楼到9楼，中间距离还有8楼，1和8才能组成9。”从访谈中我们可以发现，用这种方式解答的学生，能准确地分析出“1楼 上升的8楼=9楼”这一数量关系，但由于没有学习过如何用正确的算式表示这一思考过程，因此表达上有一定的困难，他们习惯于按照正向的逻辑顺序列出数学算式。而事实上，本题应该以逆向的逻辑顺序对题目进行表述，也就是采用“总数-部分数=另一部分数”进行算式表述，但这种表述需要进行语义和词序上的转换才可以顺利地建立问题的情境模型，因此对于未加练习的学生来说，有一定难度。而这，也正是一年级下册教学中教师要关注的教学要点。
（二）综观过程思缘由，关键词策略是把双刃剑
经过一个学期的学习之后，采用“1 9=10”方式解答问题的学生人数从原先的23%下降到16%，下降幅度较小，问题出在哪里呢？
对使用1 9=10解决问题的一年级学生进行访谈，当问及“你是怎样想的？”时，学生们的典型回答有两种，第一种关注一个“升”字，看到了“升高”就决定用加法。第二种关注一个“共”字，看到了一个“共”字，就决定把前面两个加起来。对二年级学生进行访谈的结果也和一年级学生基本相同。采用这一问题解决方式的学生在解题策略中都不约而同地错误使用了关键词策略，从而导致解题失败。
研究中我们还发现，学生关键词策略的形成与以往的成功解题经验有关，比如：一个学生在第一次遇到问题“有15个气球，卖了9个，还有几个？”时，在“卖了9个”和“减去9”之间建立了联系。之后学生继续遇到问题，又陆续在“分给你9个”“运走了6根”和“减去9”“减去6”之间也建立了联系。当学生经常用这样的方式思考，并且用这样的方法每次都能成功，那么在“卖了”“分给”“运走”与“减法策略”之间的联系就会反复被加强，形成策略定势。
那么，是否教材中所有的习题的关键词算法指向都和题目的运算方式正好吻合呢？通过对一年级下册教材的习题统计，我们发现，用减法解决问题的习题共32道，其中每道题目中都含有“摘下、喝掉、卖出、打破、其中、…比…多…、 …比…少…”等明确指向减法策略的关键词。用加法解决的应用问题5道，每道题目都含有“再加、共”等明确指向加法策略的关键词;每道习题的算式解答方式都与关键词的字面指向意思相同。这就使一些学生在不断正向强化中，逐渐把关键词策略优化为个体解决问题的首选策略。
在访谈中我们还发现，同一个学生，采用关键词策略，这个关键词出现的位置不同，对于学生选择解题方式的影响也是很大的。一、二年级的学生在关键词的优先序上关注点也有所不同，一年级最关注、最先看到的关键词，更倾向于选择信息中的表示加减含义的关键词，如“升到9楼”，再把数字连起来进行列式。二年级的学生相对而言，有更好的整体情境理解的意识，更关注问题中的关键词，来选择问题解决策略，如“共升高几层”。 三、教学启示与思考
通过测试、访谈和分析，我们逐渐能够把握学生在一年级下册的学习起点、学习过程以及在这一过程中会遇到的学习障碍。在了解学生以及教材情况的基础上，如何实施有效的教学策略来改善这一状况，我们作出了以下几点思考。
（一）回归知识原点，聚焦量与量之间的关系
关键词策略的随意使用，确实会为解决问题带来麻烦。但从一年级学生问题解决学习的心理过程来看，在问题解决初期，适当使用关键词策略仍然有助于学生掌握问题的基本类型和基本解题策略。那么，怎样做才能既揭示出应用问题自身的规律，又不至于使它成为思维定势？那就要回归到计算教学的原点，从两数关系结构的表征着手开展训练。
新课程标准中，应用问题的解决是分散在计算教学中同步进行的，计算教学则是以数的分解、组成为教学基础。那么对于应用问题结构的理解，教师可以算用结合，回归到数的组成与分解中，去寻找问题解决的方法。
如“杯架上有13个杯子，取下6个杯子，还剩几个？”在这道题的分析阶段，教师只要让学生边读题，边试着用数的组成的方式画一画这道题的关系图（见图1）。学生原有的数的分解的经验就能自动迁移过来，使其清楚地感知到，求“还剩几个”，就是求总数13中的一部分，求一部分，用减法算。
如此，同样是对解决问题的特点进行提炼概括，但学生的关注点不再锁定于表示加减暗示的关键字，而是回到数量之间的关系分析与思考，更多地关注量与量之间最简单的总数与部分的关系上来，从而避免以后因关键词策略误用而带来的解题烦恼。
（二）加强基本题的沟通，关注思路与算法的匹配
一步加减应用问题主要解决的是对基本数量关系的认识，如何选择运算方法是研究基本应用问题教学的核心问题。一年级下册，学生的学习特点是已经具有一定的问题分析能力，能从不同角度对问题进行分析和解读，这种分析和解读的差异，带来了实际问题解决的不同结果。如图2这道题，学生通常会从两种不同的角度来分析这个问题。一种是“一个箱子里有4瓶饮料，再装几瓶后能装满12瓶？”另一种是一个箱子里能装12瓶饮料，已经装了4瓶，还能装几瓶？”一种是正向思考方向，4 □=12（瓶）;另一种是逆向思考方向，12-4=□（瓶）。对于学生而言，两者的问题解决思路不同，就会导致问题解决算式上的差异。
像这样的应用问题的基本类型，如果教师在审题阶段就有意识地引导学生画出关系图（见图3），那么这种情况就可以被避免。借助数的组成的关系图，学生会审慎地对题目中所涉及的数量关系进行整理和思考，从而清楚地看出，无论是那种思考方法，要求的都是总量12中的一部分，求一部分是多少，用减法计算。
通过这样一加、一减思路的对比分析及部总关系图式的辅助引导，有利于学生认清应用问题的结构，熟悉题目中出现的数量关系以及条件与问题之间的因果关系，这样，不同情境、结构的基本题型的反复强化，在学生头脑中建构起来的是应用问题的基本结构，而不是只言片语关键词的策略误用。
（三）关注问题建构，重视问题与条件的互逆
在一年级下册众多的应用问题中，有一类“图书馆有一批书，又新买了36册，现有78册，图书馆原来有多少书？”这样的题目。从解题思路分析，图书馆原有的书 新买的36本=现有的78本，但实际运算并不是加法，而是减法78-36=42（本）。这类题目是学生学习中难度比较高的题目，但是在教材中，仅仅只出现了3次。因此，在这几个习题的教学时，教师需要特别重视，通过适当的题组训练，提高学生根据问题结构来选择算法的能力。在本题的教学中，可以设计如下的题组：
①图书馆有一批书，又新买了36册，现有78册，图书馆原来有多少书？
②图书馆有42册图书，又新买了一批后，现有78册，新买的图书有多少册？
③图书馆原来有42册图书，又新买了36册，现在图书馆有多少册图书？
通过可逆性的变化，把应用问题中的问题作为条件，把其中的一个条件转为问题，这样可以得到一组习题。在题组的解答过程中，教师依然可以使用关系图作为对比和沟通的素材（见图4）。这样，当我们把情境和结构相关的一组习题放入一个系统中，通过对这组习题的比较，学生就可以从不同的角度，理解部分与整体的关系，形成理性的、系统的概括认识。
新版教材编写时，应用问题虽然已经不再自成体系，而是散见于各个年级的各个板块中，并且隶属于问题解决领域，旧貌换新颜。但是大量的研究表明，具有真实而丰富背景的数学应用问题，不仅可以培养学生的基本技能和解决问题的能力，还可以改变他们对数学的态度。基于学生学情分析背景下的教学策略研讨，正是我们向着这个方向行走的关键一步。
参考文献：
[1]张天孝.新思维数学教学研究[M].浙江：浙江教育出版社，2008.
[2]鲍建生.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3]邱学华.儿童学习数学的奥秘[M].福建：福建教育出版社，2013 .
（浙江省宁波艺术实验学校
对学情的准确把握和对教材编写意图及所呈现知识点的科学理解始终是展开有效教学的两大关键抓手，但综观当下课堂，不少教师在这方面的表现还是不尽如人意，无论是淡漠学情、误读学情的情况，还是对知识本身理解偏差或错误的状况都常有发生。近年来，朱乐平数学名师工作站以“一课研究”为抓手，对此进行了持续深入的研讨。本刊从本期开始，特辟专栏，择优刊登该团队的部分研究成果，以飨读者，也热忱欢迎大家就文章本身或相关专题参与讨论。
自新课程标准实施以来，原本自成体系的应用问题系列单元被取消，取而代之的是应用问题作为一种题型，散见于各个年级的每个领域，这种变化带来了教学上的调整与教师的思考。由此，笔者在一、二年级中开展了学生应用问题能力测试，发现了一些值得我们思考的问题，付诸笔端，供教学同人共同探讨。
一、两次测试带来的思考
笔者选择了一组加减一步计算应用问题，在一、二年级测试，测试的时间节点分别是一年级上册学习完10以内的数的认识后，以及二年级开学两周以后。测试目的是观察学生在经历一年级下册一个学期的学习之后，应用问题解决的能力有怎样的一种变化。
【测试问题】电梯从1楼升到9楼共升高了几层楼？
【数据解读】
表1：一、二年级应用问题测试情况汇总表 完全
正确 答案正确
但不会用
算式表达 答案正确
但算式表
达错误 典型
错误 其他
错误
答案
类型 9-1=8 8 1 8=9 1 9=10
一年级 8% 10% 43% 23% 16%
二年级 70% 1% 2% 16% 12%
从表1的数据分析中可以看出，一年级学生对这类带有情境的应用问题有较好的理解能力，在未学习之前，已经有61%的学生能准确理解题意，但由于所学知识的限制，其中只有8%的学生能给出“9-1=8”这种正确的算式表示方法;10%的学生知道答案是8，但是不会用准确的算式表达;43%的学生知道答案是8，并且尝试用他所理解的关系来表达算式，但表达存在错误。
学生在经历了一年级下册相关内容的学习后，到了二年级阶段用正确的算式表达想法的能力有明显提升，从原先的8%提升到70%。但仍然有28%的学生在解答这类问题时有困难，其中典型错误集中呈现在“1 9=10”的这种类型上。
二、访谈及成因分析
在数据统计中，有两个数据引起了我们的重视，第一个是一年级采用“1 8=9”方式解答问题的人数达到43%;第二个是到了二年级阶段采用“1 9=10”方式解答问题的人数从原先的23%下降到16%，仅下降了7个百分点。前者是学生学习的起点，也是教学的重点;后者是学生学习的效果，也是教学的难点。据此，我们针对这两类学生，展开了面对面的访谈。
（一）站在起点看发展，从顺向思考到逆向思考要引起关注
直面学生学习的起点，我们对“1 8=9”解题方式的学生群体进行了访谈，当问及“你是怎样想的？”时，学生的典型回答是：“从1楼到9楼，中间距离还有8楼，1和8才能组成9。”从访谈中我们可以发现，用这种方式解答的学生，能准确地分析出“1楼 上升的8楼=9楼”这一数量关系，但由于没有学习过如何用正确的算式表示这一思考过程，因此表达上有一定的困难，他们习惯于按照正向的逻辑顺序列出数学算式。而事实上，本题应该以逆向的逻辑顺序对题目进行表述，也就是采用“总数-部分数=另一部分数”进行算式表述，但这种表述需要进行语义和词序上的转换才可以顺利地建立问题的情境模型，因此对于未加练习的学生来说，有一定难度。而这，也正是一年级下册教学中教师要关注的教学要点。
（二）综观过程思缘由，关键词策略是把双刃剑
经过一个学期的学习之后，采用“1 9=10”方式解答问题的学生人数从原先的23%下降到16%，下降幅度较小，问题出在哪里呢？
对使用1 9=10解决问题的一年级学生进行访谈，当问及“你是怎样想的？”时，学生们的典型回答有两种，第一种关注一个“升”字，看到了“升高”就决定用加法。第二种关注一个“共”字，看到了一个“共”字，就决定把前面两个加起来。对二年级学生进行访谈的结果也和一年级学生基本相同。采用这一问题解决方式的学生在解题策略中都不约而同地错误使用了关键词策略，从而导致解题失败。
研究中我们还发现，学生关键词策略的形成与以往的成功解题经验有关，比如：一个学生在第一次遇到问题“有15个气球，卖了9个，还有几个？”时，在“卖了9个”和“减去9”之间建立了联系。之后学生继续遇到问题，又陆续在“分给你9个”“运走了6根”和“减去9”“减去6”之间也建立了联系。当学生经常用这样的方式思考，并且用这样的方法每次都能成功，那么在“卖了”“分给”“运走”与“减法策略”之间的联系就会反复被加强，形成策略定势。
那么，是否教材中所有的习题的关键词算法指向都和题目的运算方式正好吻合呢？通过对一年级下册教材的习题统计，我们发现，用减法解决问题的习题共32道，其中每道题目中都含有“摘下、喝掉、卖出、打破、其中、…比…多…、 …比…少…”等明确指向减法策略的关键词。用加法解决的应用问题5道，每道题目都含有“再加、共”等明确指向加法策略的关键词;每道习题的算式解答方式都与关键词的字面指向意思相同。这就使一些学生在不断正向强化中，逐渐把关键词策略优化为个体解决问题的首选策略。
在访谈中我们还发现，同一个学生，采用关键词策略，这个关键词出现的位置不同，对于学生选择解题方式的影响也是很大的。一、二年级的学生在关键词的优先序上关注点也有所不同，一年级最关注、最先看到的关键词，更倾向于选择信息中的表示加减含义的关键词，如“升到9楼”，再把数字连起来进行列式。二年级的学生相对而言，有更好的整体情境理解的意识，更关注问题中的关键词，来选择问题解决策略，如“共升高几层”。 三、教学启示与思考
通过测试、访谈和分析，我们逐渐能够把握学生在一年级下册的学习起点、学习过程以及在这一过程中会遇到的学习障碍。在了解学生以及教材情况的基础上，如何实施有效的教学策略来改善这一状况，我们作出了以下几点思考。
（一）回归知识原点，聚焦量与量之间的关系
关键词策略的随意使用，确实会为解决问题带来麻烦。但从一年级学生问题解决学习的心理过程来看，在问题解决初期，适当使用关键词策略仍然有助于学生掌握问题的基本类型和基本解题策略。那么，怎样做才能既揭示出应用问题自身的规律，又不至于使它成为思维定势？那就要回归到计算教学的原点，从两数关系结构的表征着手开展训练。
新课程标准中，应用问题的解决是分散在计算教学中同步进行的，计算教学则是以数的分解、组成为教学基础。那么对于应用问题结构的理解，教师可以算用结合，回归到数的组成与分解中，去寻找问题解决的方法。
如“杯架上有13个杯子，取下6个杯子，还剩几个？”在这道题的分析阶段，教师只要让学生边读题，边试着用数的组成的方式画一画这道题的关系图（见图1）。学生原有的数的分解的经验就能自动迁移过来，使其清楚地感知到，求“还剩几个”，就是求总数13中的一部分，求一部分，用减法算。
如此，同样是对解决问题的特点进行提炼概括，但学生的关注点不再锁定于表示加减暗示的关键字，而是回到数量之间的关系分析与思考，更多地关注量与量之间最简单的总数与部分的关系上来，从而避免以后因关键词策略误用而带来的解题烦恼。
（二）加强基本题的沟通，关注思路与算法的匹配
一步加减应用问题主要解决的是对基本数量关系的认识，如何选择运算方法是研究基本应用问题教学的核心问题。一年级下册，学生的学习特点是已经具有一定的问题分析能力，能从不同角度对问题进行分析和解读，这种分析和解读的差异，带来了实际问题解决的不同结果。如图2这道题，学生通常会从两种不同的角度来分析这个问题。一种是“一个箱子里有4瓶饮料，再装几瓶后能装满12瓶？”另一种是一个箱子里能装12瓶饮料，已经装了4瓶，还能装几瓶？”一种是正向思考方向，4 □=12（瓶）;另一种是逆向思考方向，12-4=□（瓶）。对于学生而言，两者的问题解决思路不同，就会导致问题解决算式上的差异。
像这样的应用问题的基本类型，如果教师在审题阶段就有意识地引导学生画出关系图（见图3），那么这种情况就可以被避免。借助数的组成的关系图，学生会审慎地对题目中所涉及的数量关系进行整理和思考，从而清楚地看出，无论是那种思考方法，要求的都是总量12中的一部分，求一部分是多少，用减法计算。
通过这样一加、一减思路的对比分析及部总关系图式的辅助引导，有利于学生认清应用问题的结构，熟悉题目中出现的数量关系以及条件与问题之间的因果关系，这样，不同情境、结构的基本题型的反复强化，在学生头脑中建构起来的是应用问题的基本结构，而不是只言片语关键词的策略误用。
（三）关注问题建构，重视问题与条件的互逆
在一年级下册众多的应用问题中，有一类“图书馆有一批书，又新买了36册，现有78册，图书馆原来有多少书？”这样的题目。从解题思路分析，图书馆原有的书 新买的36本=现有的78本，但实际运算并不是加法，而是减法78-36=42（本）。这类题目是学生学习中难度比较高的题目，但是在教材中，仅仅只出现了3次。因此，在这几个习题的教学时，教师需要特别重视，通过适当的题组训练，提高学生根据问题结构来选择算法的能力。在本题的教学中，可以设计如下的题组：
①图书馆有一批书，又新买了36册，现有78册，图书馆原来有多少书？
②图书馆有42册图书，又新买了一批后，现有78册，新买的图书有多少册？
③图书馆原来有42册图书，又新买了36册，现在图书馆有多少册图书？
通过可逆性的变化，把应用问题中的问题作为条件，把其中的一个条件转为问题，这样可以得到一组习题。在题组的解答过程中，教师依然可以使用关系图作为对比和沟通的素材（见图4）。这样，当我们把情境和结构相关的一组习题放入一个系统中，通过对这组习题的比较，学生就可以从不同的角度，理解部分与整体的关系，形成理性的、系统的概括认识。
新版教材编写时，应用问题虽然已经不再自成体系，而是散见于各个年级的各个板块中，并且隶属于问题解决领域，旧貌换新颜。但是大量的研究表明，具有真实而丰富背景的数学应用问题，不仅可以培养学生的基本技能和解决问题的能力，还可以改变他们对数学的态度。基于学生学情分析背景下的教学策略研讨，正是我们向着这个方向行走的关键一步。
参考文献：
[1]张天孝.新思维数学教学研究[M].浙江：浙江教育出版社，2008.
[2]鲍建生.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3]邱学华.儿童学习数学的奥秘[M].福建：福建教育出版社，2013 .
（浙江省宁波艺术实验学校