论文部分内容阅读
[摘要]本节课采用学案导学的方法，通过生生自主探究、师生合作探究再到生生分层探究，在课堂的实际生成中，始终依赖学生的学习生长点，把握教学深度与难度的平衡，挖掘有效的教学深度；同时在一次次的纠错与反思中逐渐深化知识体系，引导学生感悟数学思想方法，不断地积累数学活动经验，真正做到“能够”而后“主动”。
[关键词]有效深度；知识生成；数形结合；二次函数
近日，笔者执教了一节“数形结合专题——有关二次函数的图像与性质”习题课。在教学中，笔者努力做到挖掘有效深度，找准适合学生的生长点，从发展的角度，让学生进入各自的最近发展区，从而优化知识的生成。
一、教学流程简录
1.自主探究（预习检测，归纳总结）
在这一阶段，教师在学案上设计了4道小题（填空或选择），学生花5～6分钟自主完成，并在小组内交流。
在小组交流的过程中，教师适时进行有效指导，师生共同小结解题过程中的易错点。
2.合作探究（典例示范，解读探究）
环节1 题目呈现
（2015年中考改编题）若抛物线y=（x-2）2+m经过点（1，0），求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
①当自变量x的取值范围在-1≤x≤1时，函数值y的取值范围是__：
②当自变量x的取值范围在1≤x≤4时，函数值y的取值范围是__；
③当自变量x的取值范围在4≤x≤6时，函数值y的取值范围是__。
学生到黑板上画出这条抛物线，并写出解析式和顶点坐标。
小组成员互相纠正，同时教师在小组间适时指导并加以归纳，板书“以数助形”，小结几个易错点：画函数图像首先要列表：抛物线与y轴的交点坐标易写成（0，-1），从而导致图像的错误。
师：抛物线的顶点坐标是（2，-1），也就是说，这个二次函数有什么最值？
生：有最小值，最小值是-1。
师：这个最值我们可以从图像上直接看出。如果给定一个x的范围，这时候y的取值范围该怎么确定呢？（幻灯片出示题①）
生：分别在上面表示出x所对应的点。
师：你的意思是在图像上画出来，是吗？（师顺势用彩色笔描出抛物线上-1≤x≤1这段）然后怎么办？
生：再把x=-1和x=1代入，求出y所对应的值。（教师加以肯定，并得出正确答案0≤y≤8）
师（迅速询问）：第2题呢？（幻灯片出示题②）
生（迫不及待）：0≤y≤3。（很多学生表示赞同）
师（面带微笑，不置可否）：你怎么做的？
生：在图像上找出x的这段范围。（学生到黑板前操作，也顺利地用彩色笔描出图像，这时有部分学生开始窃窃私语：错了，错了！）
师：怎么了？
生：顶点处才是最小值，应该是-1≤y≤3。
师：那你刚才？
生：我直接用x=1和x=4代入，没有结合图像。（师鼓励学生自省）
师：若4≤x≤6呢？（幻灯片出示题③）
（或许因为刚才题②的关系，学生没有立刻报出答案，思考片刻后一致得出3≤y≤15，并在图像上描出）
环节2 变式练习
师：如果x的取值范围是-1 生（看了看黑板上的图像）：0 师：若1 生（自信）：-1 师：你怎么这么快就得出了答案？
生：从题②我知道，当1≤x≤4时，-1≤y≤3，所以当1 （有学生偷笑，师请他说明理由）
生（在黑板上演示）：还可以通过图像，图像两端是空心的，图像最小值仍然在顶点处，因此y应该包括-1。
师：哎呀，又“中招”啦！
生：是的，应该是-1≤y<3。我以为y=-1处是空心的，实际上这是顶点，仍然是最值。我还是没有仔细观察图像。
（师再次鼓励学生自省，感悟通过图像解这类题目会很方便而且不易出错，板书“以形解数”）
师：请思考在刚才的题目中，什么情况下左端点是最低点，或右端点是最低点，又或者顶点是最低点，这取决于什么？（师一一辅以草图）
（小组交流后，通过三个草图的板演，师生共同得出：最值的确定取决于两个端点与对称轴的位置）
环节3拓展训练
当1≤x≤3时，二次函数y=x2+mx+3的最小值为-4，求m的值。
二、教学设计思考
1.实施有效深度，奠定良好基础
这节课是在学生已经进行了一轮复习的基础上进行的。教师首先让学生完成自主检测题，初步体会二次函数中数与形的结合。通过交流的方式，学生之间相互启发，找准自身的知识盲点，及时纠正对概念理解的偏差，从而缩小学生个体间学习的差异，达到自身有效的学习深度，也为下一阶段内容的学习奠定基础。
2.挖掘有效深度，突破思维障碍
（1）梯度设计，易于掌握
本课习题设计的原型是2014年广西崇左市的一道中考综合题，如果教师直接让学生完成这道题，很多学生在无法完全理解题意的情况下会产生畏惧心理，找不到解题的突破口，进而逐渐失去信心。教师的“讲”高于学生此时的学习深度，学生听得迷迷糊糊，根本无用。于是笔者通过小题组的形式，從题目呈现、变式练习、拓展训练直至最后的引向深处，分散思维难点，突破学生的思维障碍。挖掘有效的教学深度并非一味地追求教学难度，找准它们的平衡点才是关键。整个教学设置呈阶梯状，从易到难，让不同层次的学生都能有所得。 （2）以“错”导学，自主生成
教学过程中，笔者始终遵循让学生先个人思考，再小组交流，最后全班探讨的学习方式，在学生出现错误时，静下心来，听其言，观其行，引导他们自己发现错误。如学生在环节1中完成题②时迫不及待地报出答案，笔者故意让他到黑板上演示做题的过程，描完图像的一部分，学生自然会发现顶点处才是最值，而不是简单地直接用两端点代入，在主动参与的过程中感悟数形结合的思想方法。又如环节2中的变式2，学生很自信地口答，理由也说得头头是道，笔者还是让学生自主讲评。学生在操作演示的过程中发现，虽然两端点是空心的，但顶点处仍是最值，因此不能简单地将不等号改变。学生在“分析发现一纠正错误一自主完善”的过程中，逐步积累解题经验，内化解题能力，以“错”而导，重点突出思路、方法、错因的概括，在反思中自主生成，最大限度地驱动自身有效的学习深度。
（3）不断追问，有的放矢
教师在整个教学环节中，有在学生展示思维过程后的追问“你怎么知道的”，肯定其思维的闪光点：有在学生快速回答后的追问“你怎么这么快就知道了答案”，要求其思维的思辨性：有在学生解题后的追问“如何能快速、准确地解答这类题目”，促使学生反思其思维的不完善；也有在各个思维突破口上不同层次的追问。比如在环节3中，教师在学生已基本完成任务，思维也已具有一定深度的基础上追问：“m求出的值有4个吗？”一名学生分析得很详细，另一名学生却提出了疑惑，此时，教师就要抓住学生理解上的质疑和偏差，及时补充，引导学生再次感悟“以数助形”或“以形解数”的数形结合及分类讨论的思想方法。挖掘适合学生的有效教学深度，不能简单地停留在问题解决上，更要注重他们思维的深刻性和批判性。又如环节4中教师对学生追问：“这时候m值怎么求啊？”由于学习基础不同，一些学生在思考交流的过程中会习惯性地退缩，成为看客。这时，教师要适时并且有针对性地追问，满足他们的参与感和成就感，有的放矢，挖掘不同层次的教学深度，让学生“能够”而后“主动”。
3.反馈有效深度，体验成功愉悦
教师在课结束前安排了当堂检测，分层布置亦为了满足不同学生的需求，也反映出课堂中他们自身不同的有效学习深度，有利于教师课后及时进行辅导，同时也利于教师对下节内容做出调整和规划。
本课采用学案导学，在课堂的实际生成中有师生成功的喜悦，也留下了些许遗憾。由于教师对学生画图、识图及通过图像解决问题的能力估计不足，导致部分学生在做题时难以达到快速、规范、准确解题的程度。由此可见，挖掘有效的教学深度要求教师追求适合学生的教学深度，找准恰当的學习生长点，让学生一步步去探索，从“可能”到“我能”，努力优化知识的生成，完善自身的知识结构。
[关键词]有效深度；知识生成；数形结合；二次函数
近日，笔者执教了一节“数形结合专题——有关二次函数的图像与性质”习题课。在教学中，笔者努力做到挖掘有效深度，找准适合学生的生长点，从发展的角度，让学生进入各自的最近发展区，从而优化知识的生成。
一、教学流程简录
1.自主探究（预习检测，归纳总结）
在这一阶段，教师在学案上设计了4道小题（填空或选择），学生花5～6分钟自主完成，并在小组内交流。
在小组交流的过程中，教师适时进行有效指导，师生共同小结解题过程中的易错点。
2.合作探究（典例示范，解读探究）
环节1 题目呈现
（2015年中考改编题）若抛物线y=（x-2）2+m经过点（1，0），求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
①当自变量x的取值范围在-1≤x≤1时，函数值y的取值范围是__：
②当自变量x的取值范围在1≤x≤4时，函数值y的取值范围是__；
③当自变量x的取值范围在4≤x≤6时，函数值y的取值范围是__。
学生到黑板上画出这条抛物线，并写出解析式和顶点坐标。
小组成员互相纠正，同时教师在小组间适时指导并加以归纳，板书“以数助形”，小结几个易错点：画函数图像首先要列表：抛物线与y轴的交点坐标易写成（0，-1），从而导致图像的错误。
师：抛物线的顶点坐标是（2，-1），也就是说，这个二次函数有什么最值？
生：有最小值，最小值是-1。
师：这个最值我们可以从图像上直接看出。如果给定一个x的范围，这时候y的取值范围该怎么确定呢？（幻灯片出示题①）
生：分别在上面表示出x所对应的点。
师：你的意思是在图像上画出来，是吗？（师顺势用彩色笔描出抛物线上-1≤x≤1这段）然后怎么办？
生：再把x=-1和x=1代入，求出y所对应的值。（教师加以肯定，并得出正确答案0≤y≤8）
师（迅速询问）：第2题呢？（幻灯片出示题②）
生（迫不及待）：0≤y≤3。（很多学生表示赞同）
师（面带微笑，不置可否）：你怎么做的？
生：在图像上找出x的这段范围。（学生到黑板前操作，也顺利地用彩色笔描出图像，这时有部分学生开始窃窃私语：错了，错了！）
师：怎么了？
生：顶点处才是最小值，应该是-1≤y≤3。
师：那你刚才？
生：我直接用x=1和x=4代入，没有结合图像。（师鼓励学生自省）
师：若4≤x≤6呢？（幻灯片出示题③）
（或许因为刚才题②的关系，学生没有立刻报出答案，思考片刻后一致得出3≤y≤15，并在图像上描出）
环节2 变式练习
师：如果x的取值范围是-1
生：从题②我知道，当1≤x≤4时，-1≤y≤3，所以当1
生（在黑板上演示）：还可以通过图像，图像两端是空心的，图像最小值仍然在顶点处，因此y应该包括-1。
师：哎呀，又“中招”啦！
生：是的，应该是-1≤y<3。我以为y=-1处是空心的，实际上这是顶点，仍然是最值。我还是没有仔细观察图像。
（师再次鼓励学生自省，感悟通过图像解这类题目会很方便而且不易出错，板书“以形解数”）
师：请思考在刚才的题目中，什么情况下左端点是最低点，或右端点是最低点，又或者顶点是最低点，这取决于什么？（师一一辅以草图）
（小组交流后，通过三个草图的板演，师生共同得出：最值的确定取决于两个端点与对称轴的位置）
环节3拓展训练
当1≤x≤3时，二次函数y=x2+mx+3的最小值为-4，求m的值。
二、教学设计思考
1.实施有效深度，奠定良好基础
这节课是在学生已经进行了一轮复习的基础上进行的。教师首先让学生完成自主检测题，初步体会二次函数中数与形的结合。通过交流的方式，学生之间相互启发，找准自身的知识盲点，及时纠正对概念理解的偏差，从而缩小学生个体间学习的差异，达到自身有效的学习深度，也为下一阶段内容的学习奠定基础。
2.挖掘有效深度，突破思维障碍
（1）梯度设计，易于掌握
本课习题设计的原型是2014年广西崇左市的一道中考综合题，如果教师直接让学生完成这道题，很多学生在无法完全理解题意的情况下会产生畏惧心理，找不到解题的突破口，进而逐渐失去信心。教师的“讲”高于学生此时的学习深度，学生听得迷迷糊糊，根本无用。于是笔者通过小题组的形式，從题目呈现、变式练习、拓展训练直至最后的引向深处，分散思维难点，突破学生的思维障碍。挖掘有效的教学深度并非一味地追求教学难度，找准它们的平衡点才是关键。整个教学设置呈阶梯状，从易到难，让不同层次的学生都能有所得。 （2）以“错”导学，自主生成
教学过程中，笔者始终遵循让学生先个人思考，再小组交流，最后全班探讨的学习方式，在学生出现错误时，静下心来，听其言，观其行，引导他们自己发现错误。如学生在环节1中完成题②时迫不及待地报出答案，笔者故意让他到黑板上演示做题的过程，描完图像的一部分，学生自然会发现顶点处才是最值，而不是简单地直接用两端点代入，在主动参与的过程中感悟数形结合的思想方法。又如环节2中的变式2，学生很自信地口答，理由也说得头头是道，笔者还是让学生自主讲评。学生在操作演示的过程中发现，虽然两端点是空心的，但顶点处仍是最值，因此不能简单地将不等号改变。学生在“分析发现一纠正错误一自主完善”的过程中，逐步积累解题经验，内化解题能力，以“错”而导，重点突出思路、方法、错因的概括，在反思中自主生成，最大限度地驱动自身有效的学习深度。
（3）不断追问，有的放矢
教师在整个教学环节中，有在学生展示思维过程后的追问“你怎么知道的”，肯定其思维的闪光点：有在学生快速回答后的追问“你怎么这么快就知道了答案”，要求其思维的思辨性：有在学生解题后的追问“如何能快速、准确地解答这类题目”，促使学生反思其思维的不完善；也有在各个思维突破口上不同层次的追问。比如在环节3中，教师在学生已基本完成任务，思维也已具有一定深度的基础上追问：“m求出的值有4个吗？”一名学生分析得很详细，另一名学生却提出了疑惑，此时，教师就要抓住学生理解上的质疑和偏差，及时补充，引导学生再次感悟“以数助形”或“以形解数”的数形结合及分类讨论的思想方法。挖掘适合学生的有效教学深度，不能简单地停留在问题解决上，更要注重他们思维的深刻性和批判性。又如环节4中教师对学生追问：“这时候m值怎么求啊？”由于学习基础不同，一些学生在思考交流的过程中会习惯性地退缩，成为看客。这时，教师要适时并且有针对性地追问，满足他们的参与感和成就感，有的放矢，挖掘不同层次的教学深度，让学生“能够”而后“主动”。
3.反馈有效深度，体验成功愉悦
教师在课结束前安排了当堂检测，分层布置亦为了满足不同学生的需求，也反映出课堂中他们自身不同的有效学习深度，有利于教师课后及时进行辅导，同时也利于教师对下节内容做出调整和规划。
本课采用学案导学，在课堂的实际生成中有师生成功的喜悦，也留下了些许遗憾。由于教师对学生画图、识图及通过图像解决问题的能力估计不足，导致部分学生在做题时难以达到快速、规范、准确解题的程度。由此可见，挖掘有效的教学深度要求教师追求适合学生的教学深度，找准恰当的學习生长点，让学生一步步去探索，从“可能”到“我能”，努力优化知识的生成，完善自身的知识结构。