论文部分内容阅读
荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔提出：数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是在教学过程中，让学生自己亲身实践，而抓住其发展规律，学会抽象化、形式化的方法。
传统的数学领域之间界限的日趋消失，一贯奉为严密性的典范的几何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数學领域之间起着联络的作用;正如康德（Kant）所说：没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。
大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的n维空间甚至无限维空间的直观形象，或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。
倒数是数与代数领域中“数的认识”的一个内容。下面是我对于景山版教材五年级上册《倒数》一课的反思。
1我的思考
1.1只为“除以一个数相当于，乘这个数的倒数”这样的一句话
倒数的认识是学生学习了分数乘法，即将要学习分数除法前的一个知识点。可以看作是分数乘法与除法知识间的一个衔接，起到了承上启下的作用。我们在认识分数除法时，最终会用一句话来概括：“除以一个数相当于，乘这个数的倒数。”为了这句话，我们必须要讲倒数，而且需要学生熟练掌握求一个数倒数的方法。主要是为了解决分数除法的计算问题。以往教学这部分内容时的感觉：倒数就像是认识分数除法的“序曲，认为学生学习的难点在于求一个数倒数的方法，倒数的含义重视不够。重视程度不如分数乘法意义和分数除法的意义。而且教学过程中，也会将练习求一个数的倒数作为教学的重点，几乎要把倒数的认识看成一节纯技能课了。
通过对教材的研究，发现倒数属于数与代数领域中的概念。从认识到应用几乎都没有离开数与代数的研究范围。我想倒数是不是只能局限于此呢？倒数的概念——“乘积是1的两个数互为倒数”从变量的角度来思考，乘积是1的两个量互为反比例。如果理解为反比例的关系，反比例关系的特征是否能初步探究一下呢？分析到这，我很想利用反比例关系来从图形的角度来突出“倒数”是两种变量的一种关系。从数与代数领域来理解是不是就足够充分了，是否可以从几何的领域中获得不同的感受和认识呢？接着又想到了乘法模型中的矩形模型。借助长方形面积和长、宽的关系，从几何的层面理解倒数关系。这样学生对倒数的理解会更加饱满，而且加深了“互为”倒数的理解。利用多元表征不仅可以解决教学中的难点，而且还可突出难点。比如教学0没有倒数的时候，我们以往的做法更多的是利用0与任何数乘积都不为1来解释，或者用[10]没有意义来解释0没有倒数的。这样的理解优点是很严谨，但是缺少直观性。在小学数学教学中，很重视数形结合，在倒数的问题上，我想尝试着将矩形模型加入本节课中来，帮助学生感受利用数形结合研究关系的魅力。
1.2对比教材后的思考
1.2.1分数除法单元的对比
对景山版教材与人教版教材进行了对比。首先景山版教材和人教版教材（2014版）都将“认识倒数”安排在分数除法单元的第一课时。新版人教版教材（2014版）将“倒数的认识”由原实验教材的“分数乘法”单元移到“分数除法”单元，并独立成一节，作为分数除法教学的准备内容。可见认识倒数对于理解分数除法的重要性。提到“分数除法”它又是整个单元的教学重点。单元教学目标中明确提出：要让学生经历探究方法——明确算理——总结算法的过程。在这一过程中，由具体题目的计算到一般方法的抽象概括，在理解算理的基础上归纳算法，培养学生的概括总结能力。为了使学生参与探索分数除法计算方法的过程中有所发现，有所感悟。教师要利用直观手段，给学生充分提供动手的机会和时间，让更多的学生在操作、观察的过程中，凭借直观，理解算理，发现算法。要提高教学活动的有效性，引导学生将数与形结合，边操作，边观察，边思考，并通过讨论、交流，在理解的基础上总结和掌握算法。
1.2.2“倒数”的对比
人教版教材对于倒数的认识首先给出四个乘积是1的乘法算式，提出问题：“先计算，再观察，看看有什么规律”。人教版教材是把倒数看作一种规律来研究和讨论的。学生在观察规律后会发现“两个数相乘的积都是1”和“两个因数分子、分母的位置颠倒了”的特征。从而形成“乘积是1的两个数互为倒数。”的概念。然后对于互为倒数进行了举例说明。接着还让学生想一想“互为倒数的两个数有什么特点？”突出倒数是两个数的一种关系。在解决了以上研究后，才出现正式的例题部分，进行“下面哪两个数互为倒数？”的研究。例题主要解决求一个数倒数方法的问题，整个过程中一直在强化倒数是两个数的一种关系。没有完全脱离开倒数的概念，去单独研究求一个数倒数的方法。
1.2.3变化
根据两版教材的对比。我初步感觉倒数概念的理解对于学生来说，并不难。发现求一个数倒数的方法，掌握求一个数（分数、整数、小数）倒数的一般方法，不是很困难的事情。因为学生已经具有分数（还包括百分数）、小数、整数的互化能力。而对于1的倒数是1，0没有倒数的理解，也完全可以利用代数思想来完成解释。根据对于教材的分析和个人教学经验我初步判断，对于学生来说“倒数的认识”真正难点在于倒数是两个数的一种关系。
1.3学生调研后的思考
调研题目：根据要求填空。
（ ）×（ ）=1 （ ）×（ ）=1 （ ）×（ ）=1
（ ）×（ ）=1 （ ）×（ ）=1 （ ）×（ ）=1 调研结果：
30名学生做对的有28人，正确率较高。所有学生中，有16位同学写了“1×1=1”的例子。写错的2个学生，一个是“0×1=1”错了一个问题。还有一个学生六道题都写成一个数与1相乘的形式。
观察发现学生写出的算式，更多的是根据乘法中，一个因数扩大几倍，要使乘积不变另一个因数就缩小几倍的规律来写的。教学中要帮助学生明确倒数首先是在研究两个数间的关系，而乘积是1是互为倒数的条件（避免出现孤立研究一个个数字的情况）。
2实践
经历上述问题的思考，从以下两个方面进行教学实践：一是教学内容方面，从倒数概念本身进行细化;二是课堂教学设计与实施方面，进行课堂教学的设计和实施，落实知识与技能目标的同时，促进学生可持续发展。
2.1从倒数概念本身进行细化
乘积是1是倒数的特征，围绕“什么样的两个数乘积是1呢？”展开研究。在不限定学生研究对象是什么数的情况下，学生可以自由选择研究对象（可以使分数、整数、小数）。这样更能调动学生的学习积极性，可以照顾不同水平学生的认知水平。在汇报过程中，分层汇报“分数——整数——小数”。突出分数模型的重要性。
2.2课堂结构重组——课堂教学设计和实施
总之，倒数的认识这节课要体现出倒数是两个数之间的一种特殊关系（反比例关系），要充分理解倒数的意义;明确互为倒数的两个数它们的特征。在认识倒数的过程中，突出倒数是两个数间的关系和渗透模型思想作为这节课的核心。
3感受
“乘积是1的两个数互为倒数”强调了倒数是两个数间的关系。我的教学设计中，重视倒数关系的感受和理解。不仅从数与代数领域来理解互为关系，还从图形与几何领域获得感受和理解。利用乘法模型中的矩形模型：借助长方形面积和长、宽的关系，从图形变化的角度理解两个数之间互为倒数的關系。学生对倒数的理解更加饱满，对“互为倒数”的理解也会更加深刻。
借助几何直观帮助学生突破学习的难点，并提高了学生的模型思想。以往在学生认识0没有倒数的时候，最常用的方式是利用0与任何数乘积都不为1来解释，或者用[10]没有意义来解释0没有倒数。我重视借助图像来理解0没有倒数，互为倒数的两个数有无限多（帮助学生体会几何直观的价值）。培养学生从变量的角度来思考，乘积是1的两个量成反比例关系（不对反比例关系进行解释，只是初步感知）。利用反比例图像的特点，鼓励学生从图像中感受“变”与“不变”更直观的体会倒数关系，加深对互为倒数的理解。此环节的比重不大，但帮助学生深刻理解互为倒数的关系，会起到重要的作用。
传统的数学领域之间界限的日趋消失，一贯奉为严密性的典范的几何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数學领域之间起着联络的作用;正如康德（Kant）所说：没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。
大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的n维空间甚至无限维空间的直观形象，或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。
倒数是数与代数领域中“数的认识”的一个内容。下面是我对于景山版教材五年级上册《倒数》一课的反思。
1我的思考
1.1只为“除以一个数相当于，乘这个数的倒数”这样的一句话
倒数的认识是学生学习了分数乘法，即将要学习分数除法前的一个知识点。可以看作是分数乘法与除法知识间的一个衔接，起到了承上启下的作用。我们在认识分数除法时，最终会用一句话来概括：“除以一个数相当于，乘这个数的倒数。”为了这句话，我们必须要讲倒数，而且需要学生熟练掌握求一个数倒数的方法。主要是为了解决分数除法的计算问题。以往教学这部分内容时的感觉：倒数就像是认识分数除法的“序曲，认为学生学习的难点在于求一个数倒数的方法，倒数的含义重视不够。重视程度不如分数乘法意义和分数除法的意义。而且教学过程中，也会将练习求一个数的倒数作为教学的重点，几乎要把倒数的认识看成一节纯技能课了。
通过对教材的研究，发现倒数属于数与代数领域中的概念。从认识到应用几乎都没有离开数与代数的研究范围。我想倒数是不是只能局限于此呢？倒数的概念——“乘积是1的两个数互为倒数”从变量的角度来思考，乘积是1的两个量互为反比例。如果理解为反比例的关系，反比例关系的特征是否能初步探究一下呢？分析到这，我很想利用反比例关系来从图形的角度来突出“倒数”是两种变量的一种关系。从数与代数领域来理解是不是就足够充分了，是否可以从几何的领域中获得不同的感受和认识呢？接着又想到了乘法模型中的矩形模型。借助长方形面积和长、宽的关系，从几何的层面理解倒数关系。这样学生对倒数的理解会更加饱满，而且加深了“互为”倒数的理解。利用多元表征不仅可以解决教学中的难点，而且还可突出难点。比如教学0没有倒数的时候，我们以往的做法更多的是利用0与任何数乘积都不为1来解释，或者用[10]没有意义来解释0没有倒数的。这样的理解优点是很严谨，但是缺少直观性。在小学数学教学中，很重视数形结合，在倒数的问题上，我想尝试着将矩形模型加入本节课中来，帮助学生感受利用数形结合研究关系的魅力。
1.2对比教材后的思考
1.2.1分数除法单元的对比
对景山版教材与人教版教材进行了对比。首先景山版教材和人教版教材（2014版）都将“认识倒数”安排在分数除法单元的第一课时。新版人教版教材（2014版）将“倒数的认识”由原实验教材的“分数乘法”单元移到“分数除法”单元，并独立成一节，作为分数除法教学的准备内容。可见认识倒数对于理解分数除法的重要性。提到“分数除法”它又是整个单元的教学重点。单元教学目标中明确提出：要让学生经历探究方法——明确算理——总结算法的过程。在这一过程中，由具体题目的计算到一般方法的抽象概括，在理解算理的基础上归纳算法，培养学生的概括总结能力。为了使学生参与探索分数除法计算方法的过程中有所发现，有所感悟。教师要利用直观手段，给学生充分提供动手的机会和时间，让更多的学生在操作、观察的过程中，凭借直观，理解算理，发现算法。要提高教学活动的有效性，引导学生将数与形结合，边操作，边观察，边思考，并通过讨论、交流，在理解的基础上总结和掌握算法。
1.2.2“倒数”的对比
人教版教材对于倒数的认识首先给出四个乘积是1的乘法算式，提出问题：“先计算，再观察，看看有什么规律”。人教版教材是把倒数看作一种规律来研究和讨论的。学生在观察规律后会发现“两个数相乘的积都是1”和“两个因数分子、分母的位置颠倒了”的特征。从而形成“乘积是1的两个数互为倒数。”的概念。然后对于互为倒数进行了举例说明。接着还让学生想一想“互为倒数的两个数有什么特点？”突出倒数是两个数的一种关系。在解决了以上研究后，才出现正式的例题部分，进行“下面哪两个数互为倒数？”的研究。例题主要解决求一个数倒数方法的问题，整个过程中一直在强化倒数是两个数的一种关系。没有完全脱离开倒数的概念，去单独研究求一个数倒数的方法。
1.2.3变化
根据两版教材的对比。我初步感觉倒数概念的理解对于学生来说，并不难。发现求一个数倒数的方法，掌握求一个数（分数、整数、小数）倒数的一般方法，不是很困难的事情。因为学生已经具有分数（还包括百分数）、小数、整数的互化能力。而对于1的倒数是1，0没有倒数的理解，也完全可以利用代数思想来完成解释。根据对于教材的分析和个人教学经验我初步判断，对于学生来说“倒数的认识”真正难点在于倒数是两个数的一种关系。
1.3学生调研后的思考
调研题目：根据要求填空。
（ ）×（ ）=1 （ ）×（ ）=1 （ ）×（ ）=1
（ ）×（ ）=1 （ ）×（ ）=1 （ ）×（ ）=1 调研结果：
30名学生做对的有28人，正确率较高。所有学生中，有16位同学写了“1×1=1”的例子。写错的2个学生，一个是“0×1=1”错了一个问题。还有一个学生六道题都写成一个数与1相乘的形式。
观察发现学生写出的算式，更多的是根据乘法中，一个因数扩大几倍，要使乘积不变另一个因数就缩小几倍的规律来写的。教学中要帮助学生明确倒数首先是在研究两个数间的关系，而乘积是1是互为倒数的条件（避免出现孤立研究一个个数字的情况）。
2实践
经历上述问题的思考，从以下两个方面进行教学实践：一是教学内容方面，从倒数概念本身进行细化;二是课堂教学设计与实施方面，进行课堂教学的设计和实施，落实知识与技能目标的同时，促进学生可持续发展。
2.1从倒数概念本身进行细化
乘积是1是倒数的特征，围绕“什么样的两个数乘积是1呢？”展开研究。在不限定学生研究对象是什么数的情况下，学生可以自由选择研究对象（可以使分数、整数、小数）。这样更能调动学生的学习积极性，可以照顾不同水平学生的认知水平。在汇报过程中，分层汇报“分数——整数——小数”。突出分数模型的重要性。
2.2课堂结构重组——课堂教学设计和实施
总之，倒数的认识这节课要体现出倒数是两个数之间的一种特殊关系（反比例关系），要充分理解倒数的意义;明确互为倒数的两个数它们的特征。在认识倒数的过程中，突出倒数是两个数间的关系和渗透模型思想作为这节课的核心。
3感受
“乘积是1的两个数互为倒数”强调了倒数是两个数间的关系。我的教学设计中，重视倒数关系的感受和理解。不仅从数与代数领域来理解互为关系，还从图形与几何领域获得感受和理解。利用乘法模型中的矩形模型：借助长方形面积和长、宽的关系，从图形变化的角度理解两个数之间互为倒数的關系。学生对倒数的理解更加饱满，对“互为倒数”的理解也会更加深刻。
借助几何直观帮助学生突破学习的难点，并提高了学生的模型思想。以往在学生认识0没有倒数的时候，最常用的方式是利用0与任何数乘积都不为1来解释，或者用[10]没有意义来解释0没有倒数。我重视借助图像来理解0没有倒数，互为倒数的两个数有无限多（帮助学生体会几何直观的价值）。培养学生从变量的角度来思考，乘积是1的两个量成反比例关系（不对反比例关系进行解释，只是初步感知）。利用反比例图像的特点，鼓励学生从图像中感受“变”与“不变”更直观的体会倒数关系，加深对互为倒数的理解。此环节的比重不大，但帮助学生深刻理解互为倒数的关系，会起到重要的作用。