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摘 要：数列是高中数学的七大内容之一，是大学离散数学的必备基础知识，是高考数学的热点和必考点。而数列的通项是数列的灵魂，因而求数列通项公式问题成了高考命题中颇受青睐的考查内容。本文通过运用累加法、累积法、待定系数法、构造法等方法，根据近几年的高考数学介绍了几种常见类型数列的通项公式的求法。
关键词：数列 递推公式 通项公式
【引语】数列在高中数学人教A版必修5第二章，数列的通项的定义是：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。在选修2-2第二章：推理与证明，由归纳推理，知道数列的递推公式归纳这个数列的通项公式。由此研究数列的首要任务是求出它的一个通项公式，最常用的数学思想是化归与转化的思想（转化为基本的等差数列或等比数列）、模型思想、构造思想、方程思想等，要体会实现转化的技巧与手段。
一、累差法
即一个数列的前一项与后一项的差满足一个函数关系式，有的递推公式需要作适当的变形。如果一个数列由递推公式 （n=1，2，3，…）（1）〔其中f（n）为n的已知函数，a是常数〕,那么：an=a+f（1）+f（2）+…+f（n-1） =a+ f（k）。
证明（累差法）：由(1)式中的递推式可得：
an-an-1=f（n-1）,an-1-an-2=f（n-2），…,a3-a2=f（2）,a2-a1=f（1）。
将上面（n-1）个等式的两边分别相加有:an-a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）。
由于a1=a, 所以an=a+ f（k）。
1.an+1=an+g（n）型可以直接应用公式:an-a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）进行求解。
例1：（2008年四川16题）设数列{an}中a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=_____。
分析：由累差法得an-a1=2+3+4+…+nan=a1+2+3+…+nan= + +1。
2.an+1=pan+qn型，等式两边同除以pn+1，再用累差法。
分析：an+1=pan+qn
例2：（2009年全国卷1第20题）（本小题满分12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+ ）an+ 。
（I）设bn= ，求数列{bn}的通项公式。（II）求数列{an}的前n项和Sn。
分析：（I）由已知有 = + ，∴bn+1-bn= 。利用
累差迭加 把（n-1）个式子相加得：bn-b1=
＋ +…+ ，
即可求出数列{bn}的通项公式:bn=2- (n∈N*)
（II）由（I）知an=2n- ,∴Sn= （2k- ）= （2k）- 。而 （2k）=n（n+1）,又 是一個典型的错位相减法模型，易得 =4- ，∴Sn=n（n+1）+ -4。
2009年高考理科数学全国(一)试题将数例题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为压轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法、基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
3.an+1=pan+pn+1g（n）型，等式两边同除以pn+1，再用累差法。
分析：an+1=pan+png（n）
例3：（2010重庆理数21）在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1），（n∈N*），其中实数c≠0。
（I）求{an}的通项公式；（II）若对一切k∈N*有a2k>a2k-1，求c的取值范围。
分析：第（I）小题应用转化与化归、函数与方程的数学思想，对an+1=can+cn+1（2n+1）进行变形，然后利用累差法。
两边除以cn+1得 - =2n+1，设bn= ，则有bn+1-bn=2n+1。
对n≥2时bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+(b2-b1)+b1=3+5+…+2n-1+ =n2-1+ 。
因此an=（n2-1）cn+cn-1，当n=1时，上式仍然成立；
所以对任意k∈N*有an=（n2-1）cn+cn-1。
（II）（略）。
二、累积法
即一个数列的前一项与后一项的商满足一个函数关系式。如果一个数列由下列条件决定 （n=1，2，3，…）(2)〔其中f（n）为n的已知函数，a是非零常数〕,
那么：an=a1·f（1）·f（2）…f（n-1）(n≥2)
=a1 f（k-1）。
证明（累积法）：在递推公式an+1=f（n）an中，分别令n取1,2,3，…，（n-1），得an=an-1·f（n-1），an-1=an-2·f（n-2），…，a2=a1·f（1）。
再把（n-1）个等式相乘有：an=a1·f（1）·f（2）…f（n-1）。
由于a1=a，所以an=a f（k）。
例4：（2008年天津理数第22题）在数列{an}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和sn满足nsn+1-（n-3）sn=0.2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*。
（I）求a2、b2的值；（II）求{bn}与{an}的通项公式；（III）（略）。
解:由nsn+1-（n+3）sn=0 = ，n≥2 = × ×…× × = sn= ，n≥3。
上式对n=1、2也成立，所以an=sn-sn-1= ,n≥2对于bn与上面解法相同。
三、待定系数法：
已知数列的递推公式an+1=kan+b及a1（其中k、b、a1为常数），求这个数列的通项公式。 这是一种常见的数列，等差数列和等比数列都是它的特例。事实上：
当k=1时，{an}是以b为公差的等比数列；
当b=0且k≠0时，{an}是以k为公比的等比数列。
（a）当k=1时，an=a1+（n-1）b；（b）当k≠1时，an=（a1- ）kn-1+ 。
k=1时公式是显然的，对k≠1可用如下方法加以证明。
证明（待定系数法）：设an-c=k（an-1-c）an=kan-1+c（1-k）。
而an=kan-1+b，應有c（1-k）=bc= （k≠0）。
从而新数列{an-c}是以a1-c为首项、k为公比的等比数列。所以：an-c=（a1-c）kn-1an=c+（a1-c）kn-1。将c= （k≠0）代入得an= ＋（a1- ）kn-1。
例5：（2007年全国卷2第21题）设数列{an}的首项a1∈（0，1），an= ，n=1、2、3、4、…
（I）求{an}的通项公式；（II）bn=an 3-2an，证明：bn 分析：应用待定系数法转化为等比数列。
（I）解：an-c=- （an-1-c）an=- an-1+ ，这与an=- an-1+ 相比较得c=1，所以an-1=- （an-1-1）。数列{an-1}是以1-a1为首项、- 为公比的等比数列，得an=1-（- ）n-1（1-a1）。
（II）（略）。
四、构造法
1.an+1=kan+ban-1型。
已知数列的递推公式an+1=kan+ban-1及a1、a2，求这个数列的通项公式。应用化归与转化、函数与方程的数学思想，采用构造成等比数列或等差数列，从而解决这个问题。
证明：设an+1=（β-a）an+aβan-1，与已知an+1=kan+ban-1相比较，
得
当a2+aa1≠0时，是以a2+aa1为首项、β为公比的等比数列，即an+1+aan=βn-1（a2+aa1）。
两边除以an+1得
记cn+1= ，则cn= ，
于是有cn+1-cn= （a2+aa1），利用累差法容易求出{cn}的通项公式。
例6：（2009全国卷2）19题（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和sn，且a1=1，sn+1=4an+2。
（I）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；（II）求数列{an}的通项公式。
分析：本题是一阶线性递推数列的通项求法，利用已知条件，构造等比数列进行求解。
（I）sn+1=4an+2……① sn=4an-1+2，n≥2……②
①-②得an+1=4an-4an-1，bn=an+1-2an，an+1-2an=2（an-2an-1）。
所以{bn}是以3为首项、2为公比的等比数列。
（II）由（I）可得bn=3×2n-1an+1-2an=3×2n-1，这就要求构造成等比或等差数列进行求解。两边除以2n+1得bn=an+1-2an=3×2n-1， - = 。
∴数列{ }是首项为 、公差为 的等差数列，∴ = + （n-1），∴an=（3n-1）×2n-2。
2.an+1=pan2（p>0）型，两边取对数，构造等差数列即可。
例7：（2003年高考江苏卷）已知a1>0，an+1= an2（a为正常数），用a1、a表示an。
分析：an+1=pan2（p>0）1gan+1=21gan+1gp，再应用待定系数法。
设1gan+1+c=2（1gan+c）c=1gp1gan+1+1gp=2（1gan+1gp）{1gan+1gp}是以2为公比、1ga1+1gp为首项的等比数列1gan+1gp=（1ga1+1gp）×2n-11gpan=2n-1×1gpa1an= 。
通过上面可以看出，数列通项的考查自实施新课改以后，考试难度有所下降，只需注意两种基本数列的通项求法，只需教会学生对通性和通法的掌握，淡化技能技巧的强化，与新课程标准的模式进行对接。今年是自2007年新课改第一次高考的第六年，对于数列通项的求法在复习中只要注意对学生进行函数与方程的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、构造思想等的传授，定能取得事半功倍的效果。
参考文献
[1]武瑞雪 几种类型递推数列通项的求法[J].考试(高考理科版),2007,(11)。
[2]羊明亮 递归数列的通项公式[J].中学生百科,2007,(29)。
[3]张智忱 由几种典型的递推式构造新数列求通项的方法[J].数学通讯，2002,(17)。
[4]周超峰 以问题带动思考，由思考提升能力.数学大世界，2012,(6)。
[5]孔令霞 递推数列通项公式求法探讨[J].中学数学教学参考，2004,(8)。
[6]试题调研 高考5年真题分类详解（文科）,2010。
[7]李春雷 求递推数列通项公式的十种策略[J].数学教学通讯,2006,(6)。
[8]藏海鹏 李长河 主编 中国2008高考年鉴（数学卷）.2008年7月。
关键词：数列 递推公式 通项公式
【引语】数列在高中数学人教A版必修5第二章，数列的通项的定义是：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。在选修2-2第二章：推理与证明，由归纳推理，知道数列的递推公式归纳这个数列的通项公式。由此研究数列的首要任务是求出它的一个通项公式，最常用的数学思想是化归与转化的思想（转化为基本的等差数列或等比数列）、模型思想、构造思想、方程思想等，要体会实现转化的技巧与手段。
一、累差法
即一个数列的前一项与后一项的差满足一个函数关系式，有的递推公式需要作适当的变形。如果一个数列由递推公式 （n=1，2，3，…）（1）〔其中f（n）为n的已知函数，a是常数〕,那么：an=a+f（1）+f（2）+…+f（n-1） =a+ f（k）。
证明（累差法）：由(1)式中的递推式可得：
an-an-1=f（n-1）,an-1-an-2=f（n-2），…,a3-a2=f（2）,a2-a1=f（1）。
将上面（n-1）个等式的两边分别相加有:an-a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）。
由于a1=a, 所以an=a+ f（k）。
1.an+1=an+g（n）型可以直接应用公式:an-a1=f（1）+f（2）+…+f（n-1）进行求解。
例1：（2008年四川16题）设数列{an}中a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=_____。
分析：由累差法得an-a1=2+3+4+…+nan=a1+2+3+…+nan= + +1。
2.an+1=pan+qn型，等式两边同除以pn+1，再用累差法。
分析：an+1=pan+qn
例2：（2009年全国卷1第20题）（本小题满分12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+ ）an+ 。
（I）设bn= ，求数列{bn}的通项公式。（II）求数列{an}的前n项和Sn。
分析：（I）由已知有 = + ，∴bn+1-bn= 。利用
累差迭加 把（n-1）个式子相加得：bn-b1=
＋ +…+ ，
即可求出数列{bn}的通项公式:bn=2- (n∈N*)
（II）由（I）知an=2n- ,∴Sn= （2k- ）= （2k）- 。而 （2k）=n（n+1）,又 是一個典型的错位相减法模型，易得 =4- ，∴Sn=n（n+1）+ -4。
2009年高考理科数学全国(一)试题将数例题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为压轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法、基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
3.an+1=pan+pn+1g（n）型，等式两边同除以pn+1，再用累差法。
分析：an+1=pan+png（n）
例3：（2010重庆理数21）在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1），（n∈N*），其中实数c≠0。
（I）求{an}的通项公式；（II）若对一切k∈N*有a2k>a2k-1，求c的取值范围。
分析：第（I）小题应用转化与化归、函数与方程的数学思想，对an+1=can+cn+1（2n+1）进行变形，然后利用累差法。
两边除以cn+1得 - =2n+1，设bn= ，则有bn+1-bn=2n+1。
对n≥2时bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+(b2-b1)+b1=3+5+…+2n-1+ =n2-1+ 。
因此an=（n2-1）cn+cn-1，当n=1时，上式仍然成立；
所以对任意k∈N*有an=（n2-1）cn+cn-1。
（II）（略）。
二、累积法
即一个数列的前一项与后一项的商满足一个函数关系式。如果一个数列由下列条件决定 （n=1，2，3，…）(2)〔其中f（n）为n的已知函数，a是非零常数〕,
那么：an=a1·f（1）·f（2）…f（n-1）(n≥2)
=a1 f（k-1）。
证明（累积法）：在递推公式an+1=f（n）an中，分别令n取1,2,3，…，（n-1），得an=an-1·f（n-1），an-1=an-2·f（n-2），…，a2=a1·f（1）。
再把（n-1）个等式相乘有：an=a1·f（1）·f（2）…f（n-1）。
由于a1=a，所以an=a f（k）。
例4：（2008年天津理数第22题）在数列{an}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和sn满足nsn+1-（n-3）sn=0.2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*。
（I）求a2、b2的值；（II）求{bn}与{an}的通项公式；（III）（略）。
解:由nsn+1-（n+3）sn=0 = ，n≥2 = × ×…× × = sn= ，n≥3。
上式对n=1、2也成立，所以an=sn-sn-1= ,n≥2对于bn与上面解法相同。
三、待定系数法：
已知数列的递推公式an+1=kan+b及a1（其中k、b、a1为常数），求这个数列的通项公式。 这是一种常见的数列，等差数列和等比数列都是它的特例。事实上：
当k=1时，{an}是以b为公差的等比数列；
当b=0且k≠0时，{an}是以k为公比的等比数列。
（a）当k=1时，an=a1+（n-1）b；（b）当k≠1时，an=（a1- ）kn-1+ 。
k=1时公式是显然的，对k≠1可用如下方法加以证明。
证明（待定系数法）：设an-c=k（an-1-c）an=kan-1+c（1-k）。
而an=kan-1+b，應有c（1-k）=bc= （k≠0）。
从而新数列{an-c}是以a1-c为首项、k为公比的等比数列。所以：an-c=（a1-c）kn-1an=c+（a1-c）kn-1。将c= （k≠0）代入得an= ＋（a1- ）kn-1。
例5：（2007年全国卷2第21题）设数列{an}的首项a1∈（0，1），an= ，n=1、2、3、4、…
（I）求{an}的通项公式；（II）bn=an 3-2an，证明：bn
（I）解：an-c=- （an-1-c）an=- an-1+ ，这与an=- an-1+ 相比较得c=1，所以an-1=- （an-1-1）。数列{an-1}是以1-a1为首项、- 为公比的等比数列，得an=1-（- ）n-1（1-a1）。
（II）（略）。
四、构造法
1.an+1=kan+ban-1型。
已知数列的递推公式an+1=kan+ban-1及a1、a2，求这个数列的通项公式。应用化归与转化、函数与方程的数学思想，采用构造成等比数列或等差数列，从而解决这个问题。
证明：设an+1=（β-a）an+aβan-1，与已知an+1=kan+ban-1相比较，
得
当a2+aa1≠0时，是以a2+aa1为首项、β为公比的等比数列，即an+1+aan=βn-1（a2+aa1）。
两边除以an+1得
记cn+1= ，则cn= ，
于是有cn+1-cn= （a2+aa1），利用累差法容易求出{cn}的通项公式。
例6：（2009全国卷2）19题（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和sn，且a1=1，sn+1=4an+2。
（I）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；（II）求数列{an}的通项公式。
分析：本题是一阶线性递推数列的通项求法，利用已知条件，构造等比数列进行求解。
（I）sn+1=4an+2……① sn=4an-1+2，n≥2……②
①-②得an+1=4an-4an-1，bn=an+1-2an，an+1-2an=2（an-2an-1）。
所以{bn}是以3为首项、2为公比的等比数列。
（II）由（I）可得bn=3×2n-1an+1-2an=3×2n-1，这就要求构造成等比或等差数列进行求解。两边除以2n+1得bn=an+1-2an=3×2n-1， - = 。
∴数列{ }是首项为 、公差为 的等差数列，∴ = + （n-1），∴an=（3n-1）×2n-2。
2.an+1=pan2（p>0）型，两边取对数，构造等差数列即可。
例7：（2003年高考江苏卷）已知a1>0，an+1= an2（a为正常数），用a1、a表示an。
分析：an+1=pan2（p>0）1gan+1=21gan+1gp，再应用待定系数法。
设1gan+1+c=2（1gan+c）c=1gp1gan+1+1gp=2（1gan+1gp）{1gan+1gp}是以2为公比、1ga1+1gp为首项的等比数列1gan+1gp=（1ga1+1gp）×2n-11gpan=2n-1×1gpa1an= 。
通过上面可以看出，数列通项的考查自实施新课改以后，考试难度有所下降，只需注意两种基本数列的通项求法，只需教会学生对通性和通法的掌握，淡化技能技巧的强化，与新课程标准的模式进行对接。今年是自2007年新课改第一次高考的第六年，对于数列通项的求法在复习中只要注意对学生进行函数与方程的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、构造思想等的传授，定能取得事半功倍的效果。
参考文献
[1]武瑞雪 几种类型递推数列通项的求法[J].考试(高考理科版),2007,(11)。
[2]羊明亮 递归数列的通项公式[J].中学生百科,2007,(29)。
[3]张智忱 由几种典型的递推式构造新数列求通项的方法[J].数学通讯，2002,(17)。
[4]周超峰 以问题带动思考，由思考提升能力.数学大世界，2012,(6)。
[5]孔令霞 递推数列通项公式求法探讨[J].中学数学教学参考，2004,(8)。
[6]试题调研 高考5年真题分类详解（文科）,2010。
[7]李春雷 求递推数列通项公式的十种策略[J].数学教学通讯,2006,(6)。
[8]藏海鹏 李长河 主编 中国2008高考年鉴（数学卷）.2008年7月。