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【摘要】当我们在银行存钱时，银行为什么要用单利计息而不用复利计息？当我们向银行贷款时，银行为什么用复利计息而不用单利计息？贷款利息为什么按月计息？住房按揭贷款中，银行为什么要在贷款合同中要求借款人最初六个月内不得提前还款，否则将收违约金？本文将会用数学的方法来解释银行这三种行为背后的原因。
【关键词】单利计息；复利计息；按月计息；撇脂策略
一、存款为什么用单利计息方式，而贷款用复利计息方式
单利计息方式是指银行每一期都以一个固定本金为基数，乘以一个固定的利率，得出利息。所以，单利计息方式下的每一期利息都相同。
复利计息方式是指银行将第一期的本金乘以一个固定的利率得到第一期的利息，再把第一期的本金与第一期的利息相加，计为第二期的本金，银行再将第二期的本金乘以那个固定的利率得到第二期的利息，再把第二期的本金与第二期的利息相加，计为第三期的本金，就这样重复下次。很显然，往后各期的本金是越来越大，利息也会越来越高。
这里我们用 P表示第一期的本金，用n表示银行的计息期数，用 i表示银行的存（贷）款固定利率，tF表示第 t期的本利和（本金与利息之和），其中 t =1、2、3……n。以上两种计息方式可以用数学的语言来进行表达。
单利计息：
我们还是以2012年7月6日中国人民银行公布的商业贷款（5年以上）名义利率6.55%为例，如果计息次数趋向于无穷大，把名义利率代入（2-2）中，实际利率的极限值为6.77%。如果按月计息，按照公式（2-1）计算，可得实际利率为6.75%，这个结果已经很接近实际利率的极限值了，对于银行来说，按月计息已经可以使其利息接近最大化了，这也就是为什么银行贷款一般要按月计息的原因了。
这里我们继续那个10万元五年定期存款的例子，银行拿着这笔10万元的存款放贷给资金短缺者们，用的正是按月计息的方式计算本利和。
在没有考虑名义利率和实际利率的转换问题时，银行能赚13580.59元，现在银行选择了按月计息的方式，能赚14875.99元，多赚了1295.40元，银行每吸纳一元钱的存款就可以为自己带来约0.15元的回报。
这个例子中贷款时间仅仅五年，本金仅仅10万元，在第五年末，借款人就要向银行支付138625.99元的本利和，其中利息高达38625.99元，占到本金的38.63%。在办理住房按揭贷款的实际情况中，我们通常的贷款期限20至30年，按月支付贷款本金和利息，贷款总额一般都在60万元左右（以南昌市现行房价情况估算），因为时间更长，支付方式更细化，贷款总额更高，此时的利息总额一定会更高。在这样的情况下，作为一位理性的借款人来说，他一定会选择提前部分或全部还贷，以减轻高额利息带来的压力，但为什么此时银行又会要求借款人最初六个月内不能提前还款呢？接下来我们就来解释银行这种行为的原因。
三、银行为什么要求借款人最初六个月内不能提前还款
住房按揭贷款还款方法主要有两种，分别是等额本息还款法（CPM，Constant Payment Mortgage）和等额本金还款法（CAM，Constant Amortization Mortgage）。
等额本息还款法（CPM），每月还款额相同，但每个月还款额中的本金与利息的构成都在变化，随着时间的推移，每月还款额中的本金部分逐渐增加（增加的速度先慢后快），每月还款额中的利息部分逐渐减少（减少的速度先慢后快）。
等额本金还款法（CAM），每月所还的本金相同，但每个月的利息都在逐渐减少，减少的速度是匀速的，使得每个月的还款额也在以匀速的方式减少（减少的速度也较慢）。
无论是等额本息还款法还是等额本金还款法，它们的利息从第一个月开始就是一个高位数字，然后才开始逐渐减少，这是一个共同的特点。如果借款人提前还款，银行就会遭受利息上的损失，银行必须采取撇脂策略，在利息处于高位，没有出现快速下降趋势之前，就拿走那部分高额利息，问题的关键是利息什么时候出现快速下降的趋势呢？
因为等额本金还款法的月还款额是匀速减少的，所以我们这里主要讨论的是等额本息还款法的月利息变化趋势。
如果我们把月份作为横轴，把月利息作为纵轴，建立平面直角坐标系，那么，我们曲线会因为时间比较长（20年到30年）的情况下变得很平滑，发生快速下降的时间也会出现得比较晚，对于我们的讨论没有意义，所以，我们应当选择贷款时间较短的情况，例如，一年和两年的情况。这样更容易看出月利息快速下降的时间转折点。
根据2012年7月6日中国人民银行公布的商业性贷款利率表查得，一年期的贷款利率是6%，一至三年期的贷款利率是6.15%，我们以10万元贷款总额为例，分别计算一年和两年期限的贷款月利息的变化情况。
等额本息还款法中，月还款额的计算公式如下（公式推导过程省略），其中，A为月还款额，i为月利率，n为总月数，P为贷款总额。
从上表中的最后一列能看出，快速下降的转折点出现在第六个月和第七个月之间，每两个月的利息差额之差绝对值从0.10变为了0.11，利息下降的速度变快了。
通过一年期和两年期贷款月利息递减情况的数据表明，银行选择撇脂策略的结束时间最好是安排在第六个月的时候，此时月利息就开始加速下降了。这也就解释了为什么银行要求借款人至少要还够六个月后才可以提前还贷的原因。
【关键词】单利计息；复利计息；按月计息；撇脂策略
一、存款为什么用单利计息方式，而贷款用复利计息方式
单利计息方式是指银行每一期都以一个固定本金为基数，乘以一个固定的利率，得出利息。所以，单利计息方式下的每一期利息都相同。
复利计息方式是指银行将第一期的本金乘以一个固定的利率得到第一期的利息，再把第一期的本金与第一期的利息相加，计为第二期的本金，银行再将第二期的本金乘以那个固定的利率得到第二期的利息，再把第二期的本金与第二期的利息相加，计为第三期的本金，就这样重复下次。很显然，往后各期的本金是越来越大，利息也会越来越高。
这里我们用 P表示第一期的本金，用n表示银行的计息期数，用 i表示银行的存（贷）款固定利率，tF表示第 t期的本利和（本金与利息之和），其中 t =1、2、3……n。以上两种计息方式可以用数学的语言来进行表达。
单利计息：
我们还是以2012年7月6日中国人民银行公布的商业贷款（5年以上）名义利率6.55%为例，如果计息次数趋向于无穷大，把名义利率代入（2-2）中，实际利率的极限值为6.77%。如果按月计息，按照公式（2-1）计算，可得实际利率为6.75%，这个结果已经很接近实际利率的极限值了，对于银行来说，按月计息已经可以使其利息接近最大化了，这也就是为什么银行贷款一般要按月计息的原因了。
这里我们继续那个10万元五年定期存款的例子，银行拿着这笔10万元的存款放贷给资金短缺者们，用的正是按月计息的方式计算本利和。
在没有考虑名义利率和实际利率的转换问题时，银行能赚13580.59元，现在银行选择了按月计息的方式，能赚14875.99元，多赚了1295.40元，银行每吸纳一元钱的存款就可以为自己带来约0.15元的回报。
这个例子中贷款时间仅仅五年，本金仅仅10万元，在第五年末，借款人就要向银行支付138625.99元的本利和，其中利息高达38625.99元，占到本金的38.63%。在办理住房按揭贷款的实际情况中，我们通常的贷款期限20至30年，按月支付贷款本金和利息，贷款总额一般都在60万元左右（以南昌市现行房价情况估算），因为时间更长，支付方式更细化，贷款总额更高，此时的利息总额一定会更高。在这样的情况下，作为一位理性的借款人来说，他一定会选择提前部分或全部还贷，以减轻高额利息带来的压力，但为什么此时银行又会要求借款人最初六个月内不能提前还款呢？接下来我们就来解释银行这种行为的原因。
三、银行为什么要求借款人最初六个月内不能提前还款
住房按揭贷款还款方法主要有两种，分别是等额本息还款法（CPM，Constant Payment Mortgage）和等额本金还款法（CAM，Constant Amortization Mortgage）。
等额本息还款法（CPM），每月还款额相同，但每个月还款额中的本金与利息的构成都在变化，随着时间的推移，每月还款额中的本金部分逐渐增加（增加的速度先慢后快），每月还款额中的利息部分逐渐减少（减少的速度先慢后快）。
等额本金还款法（CAM），每月所还的本金相同，但每个月的利息都在逐渐减少，减少的速度是匀速的，使得每个月的还款额也在以匀速的方式减少（减少的速度也较慢）。
无论是等额本息还款法还是等额本金还款法，它们的利息从第一个月开始就是一个高位数字，然后才开始逐渐减少，这是一个共同的特点。如果借款人提前还款，银行就会遭受利息上的损失，银行必须采取撇脂策略，在利息处于高位，没有出现快速下降趋势之前，就拿走那部分高额利息，问题的关键是利息什么时候出现快速下降的趋势呢？
因为等额本金还款法的月还款额是匀速减少的，所以我们这里主要讨论的是等额本息还款法的月利息变化趋势。
如果我们把月份作为横轴，把月利息作为纵轴，建立平面直角坐标系，那么，我们曲线会因为时间比较长（20年到30年）的情况下变得很平滑，发生快速下降的时间也会出现得比较晚，对于我们的讨论没有意义，所以，我们应当选择贷款时间较短的情况，例如，一年和两年的情况。这样更容易看出月利息快速下降的时间转折点。
根据2012年7月6日中国人民银行公布的商业性贷款利率表查得，一年期的贷款利率是6%，一至三年期的贷款利率是6.15%，我们以10万元贷款总额为例，分别计算一年和两年期限的贷款月利息的变化情况。
等额本息还款法中，月还款额的计算公式如下（公式推导过程省略），其中，A为月还款额，i为月利率，n为总月数，P为贷款总额。
从上表中的最后一列能看出，快速下降的转折点出现在第六个月和第七个月之间，每两个月的利息差额之差绝对值从0.10变为了0.11，利息下降的速度变快了。
通过一年期和两年期贷款月利息递减情况的数据表明，银行选择撇脂策略的结束时间最好是安排在第六个月的时候，此时月利息就开始加速下降了。这也就解释了为什么银行要求借款人至少要还够六个月后才可以提前还贷的原因。