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我在进行四年级的数学教学中就遇到两道认为需要与同仁沟通交流的题目,这些题目虽然权威性不是很强,但是提出来交流讨论是可以的。其一是北京教育出版集团出版的《同步练习》第52页中的一道题,原题是这样的:
在下图的长方形框架上有4枚钉子,在钉子间拉上6条线段:框架内共有( )个三角形,其中有( )个锐角三角形,( )个直角三角形,()个钝角三角形。
对于这道题,要解决的第一个问题是框架内一共有多少个三角形,这里的框架应当是长方形框架,学生都能数出有12个三角形,这是毫无置疑的。第二个问题是有几个锐角三角形,学生通过观察,再进行测量,得出的结论是0个锐角三角形,我看见学生都写上0,我不相信,就亲自用量角器量了一下,结果与学生的一模一样,在12个三角形中没有锐角三角形。可是我还是不敢确定这个答案。于是,我查找相关的资料看看是否有此类题目,在江苏版《特级教师教案优化设计》(新疆青少年出版社)上看见了这道题,查找参考答案,答案是2个锐角三角形,4个直角三角形,2个钝角三角形。另外,学生的答案是8个直角三角形,4个钝角三角形。我把两种答案填入括号后更清楚的对比:
1、学生的答案:框架内共有(12)个三角形,其中有(0)个锐角三角形,(8)个直角三角形,(4)个钝角三角形。
2、江苏版《特级教师教案优化设计》的答案:框架内共有(12)个三角形,其中有(2)个锐角三角形,(4)个直角三角形,(2)个钝角三角形。
通过对比就发现学生的答案应当是正确的,其理由是框架内有12个三角形,那么把它分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,由题中的“其中”就可以知道,是把这12个三角形按角来分,分了以后的个数0+8+4=12与总个数12相吻合,学生的答案满足了这个条件。现在我们假设图形不是很标准,那么要检查学生的答案究竟正确与否,则只要看分了以后的个数与总个数是否吻合,如果不吻合,就判断他的答案不正确。江苏版《特级教师教案优化设计》的答案就有争议,它分了以后的个数2+4+2=8与总个数12不吻合,那么另外的4个三角形去哪儿呢?我与几位老师交流讨论,得到的意见是它的第一问(由几个三角形)是在大框架内进行,即“框架内有(12)个三角形”;而后面的部分在小的框架(4枚钉子围成的框架内的8个三角形,并且图形不标准)内进行,即其中有(2)个锐角三角形,(4)个直角三角形,(2)个钝角三角形,按角分的个数2+4+2=8与小框架内的个数8是吻合的。因此题目犯了在同一个问题中用了不同的条件去解答。
其二是一道值得探索的题目,题目在苏教版的四年级数学下册第9页:用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大,应该是哪两个数?要使乘积最小呢。
我们在完成这道思考题的时候,老师们都是把教参书的答案告诉学生,或者要求学生课后计算填出答案。如果我们要学生回去计算,他就要计算很多次,学生即使运用计算器也需要大量的时间。其实这道题有它规律可循,首先我们使这五个数字组成一个两位数和一个三位数的乘积最大,两位数的十位就必须是5,三位数的百位必须是4,这样就把计算的次数减少到只有6次,学生计算就容易,他很快的就知道431×52=22421的乘积最大。同样的道理,学生要计算出这五个数字组成一个两位数和一个三位数的乘积最小,两位数的十位就必须是1,三位数的百位必须是2,计算次数也减少到只有6次,也轻易的知道245×13=185的乘积最小。当把这道题完成的时候我就想,我简简单单的把答案告诉学生,在以后的练习以及检测中学生要做出来就要花费大量的时间。于是我把这道题仔细的观察、琢磨,得出这样一个规律:要使乘积最大,在它的三位数与两位数中,首先把三位数的百位确定,它是五个数字中第二大的数字。再把两位数的十位确定,它是五个数字中最大的数字,把剩下的三个数中的较大的数与较小的数又组合成一个大的两位数放在首先要求的三位数的后面,那么最后剩下的一个数放在首先要求的两位数的个位,得到的乘积就是最大的。对于组成的最小的数也有规律:五个数字中最小的数放在两位数的十位,第二小的数字放在三位数的百位,剩下的三个数中较大的两个数组合成一个小的两位数放在三位数的后面,最后剩下的一个数放在两位数的个位后,这样计算出的乘积就是最小的。求最大值与最小值就完成了。
现在我们任意写出五个正整数,这五个数都在10以内,不妨举例来试试:用3、4、7、8、9这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大,应该是哪两个数?根据刚才的探索,三位数的百位是五个数字中第二大的数字8,两位数的十位是五个数字中最大的数字9,剩下的三个数中的较大的数7与较小的数3又组合成一个大的两位数73放在首先要求的三位数的后面就是873,那么最后剩下的数字4放在首先要求的两位数的个位就是94 ,873×94=82062就是最大。对于组成的最小的数也有规律:(以上面例题的数字)五个数字中最小的数3放在两位数的十位,第二小的数字4放在三位数的百位,剩下的三个数中较大的两个数9、8组合成一个小的两位数89放在三位数的后面就是489,最后剩下的一个数7放在两位数的个位后是37,老师们不妨计算它组成的数是不是最小。
质疑、思考、探索是我们教育教学中的三部曲,要在教育教学中作出一点成效,我们就必须奏好这三部曲,如果老师们在自己的工作中有质疑的地方,要善于思考,学会探索。
在下图的长方形框架上有4枚钉子,在钉子间拉上6条线段:框架内共有( )个三角形,其中有( )个锐角三角形,( )个直角三角形,()个钝角三角形。
对于这道题,要解决的第一个问题是框架内一共有多少个三角形,这里的框架应当是长方形框架,学生都能数出有12个三角形,这是毫无置疑的。第二个问题是有几个锐角三角形,学生通过观察,再进行测量,得出的结论是0个锐角三角形,我看见学生都写上0,我不相信,就亲自用量角器量了一下,结果与学生的一模一样,在12个三角形中没有锐角三角形。可是我还是不敢确定这个答案。于是,我查找相关的资料看看是否有此类题目,在江苏版《特级教师教案优化设计》(新疆青少年出版社)上看见了这道题,查找参考答案,答案是2个锐角三角形,4个直角三角形,2个钝角三角形。另外,学生的答案是8个直角三角形,4个钝角三角形。我把两种答案填入括号后更清楚的对比:
1、学生的答案:框架内共有(12)个三角形,其中有(0)个锐角三角形,(8)个直角三角形,(4)个钝角三角形。
2、江苏版《特级教师教案优化设计》的答案:框架内共有(12)个三角形,其中有(2)个锐角三角形,(4)个直角三角形,(2)个钝角三角形。
通过对比就发现学生的答案应当是正确的,其理由是框架内有12个三角形,那么把它分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,由题中的“其中”就可以知道,是把这12个三角形按角来分,分了以后的个数0+8+4=12与总个数12相吻合,学生的答案满足了这个条件。现在我们假设图形不是很标准,那么要检查学生的答案究竟正确与否,则只要看分了以后的个数与总个数是否吻合,如果不吻合,就判断他的答案不正确。江苏版《特级教师教案优化设计》的答案就有争议,它分了以后的个数2+4+2=8与总个数12不吻合,那么另外的4个三角形去哪儿呢?我与几位老师交流讨论,得到的意见是它的第一问(由几个三角形)是在大框架内进行,即“框架内有(12)个三角形”;而后面的部分在小的框架(4枚钉子围成的框架内的8个三角形,并且图形不标准)内进行,即其中有(2)个锐角三角形,(4)个直角三角形,(2)个钝角三角形,按角分的个数2+4+2=8与小框架内的个数8是吻合的。因此题目犯了在同一个问题中用了不同的条件去解答。
其二是一道值得探索的题目,题目在苏教版的四年级数学下册第9页:用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大,应该是哪两个数?要使乘积最小呢。
我们在完成这道思考题的时候,老师们都是把教参书的答案告诉学生,或者要求学生课后计算填出答案。如果我们要学生回去计算,他就要计算很多次,学生即使运用计算器也需要大量的时间。其实这道题有它规律可循,首先我们使这五个数字组成一个两位数和一个三位数的乘积最大,两位数的十位就必须是5,三位数的百位必须是4,这样就把计算的次数减少到只有6次,学生计算就容易,他很快的就知道431×52=22421的乘积最大。同样的道理,学生要计算出这五个数字组成一个两位数和一个三位数的乘积最小,两位数的十位就必须是1,三位数的百位必须是2,计算次数也减少到只有6次,也轻易的知道245×13=185的乘积最小。当把这道题完成的时候我就想,我简简单单的把答案告诉学生,在以后的练习以及检测中学生要做出来就要花费大量的时间。于是我把这道题仔细的观察、琢磨,得出这样一个规律:要使乘积最大,在它的三位数与两位数中,首先把三位数的百位确定,它是五个数字中第二大的数字。再把两位数的十位确定,它是五个数字中最大的数字,把剩下的三个数中的较大的数与较小的数又组合成一个大的两位数放在首先要求的三位数的后面,那么最后剩下的一个数放在首先要求的两位数的个位,得到的乘积就是最大的。对于组成的最小的数也有规律:五个数字中最小的数放在两位数的十位,第二小的数字放在三位数的百位,剩下的三个数中较大的两个数组合成一个小的两位数放在三位数的后面,最后剩下的一个数放在两位数的个位后,这样计算出的乘积就是最小的。求最大值与最小值就完成了。
现在我们任意写出五个正整数,这五个数都在10以内,不妨举例来试试:用3、4、7、8、9这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大,应该是哪两个数?根据刚才的探索,三位数的百位是五个数字中第二大的数字8,两位数的十位是五个数字中最大的数字9,剩下的三个数中的较大的数7与较小的数3又组合成一个大的两位数73放在首先要求的三位数的后面就是873,那么最后剩下的数字4放在首先要求的两位数的个位就是94 ,873×94=82062就是最大。对于组成的最小的数也有规律:(以上面例题的数字)五个数字中最小的数3放在两位数的十位,第二小的数字4放在三位数的百位,剩下的三个数中较大的两个数9、8组合成一个小的两位数89放在三位数的后面就是489,最后剩下的一个数7放在两位数的个位后是37,老师们不妨计算它组成的数是不是最小。
质疑、思考、探索是我们教育教学中的三部曲,要在教育教学中作出一点成效,我们就必须奏好这三部曲,如果老师们在自己的工作中有质疑的地方,要善于思考,学会探索。