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[摘 要]数学错误是学生数学思维不成熟、不严密的外显形式。数学错误是一种重要的教学资源。在小学数学课堂教学中，教师可通过赋予情境、引导纠正、适当放大等策略使学生的错误转化为有效的教学资源，并以此为教学切入点，深化学生的数学思维。
[关键词]错误资源 深化 数学思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-051
在学习过程中，任何人都会犯错误。通过不断改正错误，人们会逐渐走向成熟，逐渐完善自我。在数学学习过程中，错误是学生数学思维不成熟、不严密的外在表现形式。面对这些错误，是让它们自生自灭还是使之为课堂教学所用，取决于教师是否能临危不乱和冷静思考。数学错误是一种重要的教学资源，教师要善于将学生的数学错误转化为教学资源，从而深化他们的数学思维。
一、赋予情境——激活数学思维
数学这门学科具有很强的抽象性，学生的思维却是以形象思维为主，因此他们往往难以理解抽象的数学知识，进而在学习过程中犯各种各样的错误。教学中，针对学生出现的错误，教师要善于创设恰当的情境辅助学生理解，从而激活他们的数学思维。
1.赋予“错误”以生活化的情境
实践证明，无论教师将课堂预设做得多么完美，学生仍然避免不了出现错误。错误出现时，只要教师冷静观察和分析，就能发现这些错误正好暴露了学生学习的短板所在。这时，教师可在学生的错误处创设生活化的情境辅助学生进行理解。
例如，教学“减法的性质”时，我出了一道计算题：“99-55-35=？”在计算过程中，我发现有部分学生算得的结果是79，对于这个答案我感到很疑惑。通过详细询问和检查，我发现这部分学生认为反正都是做减法，先算55减35正好能得到一个整十数，这就更方便了后面的计算。分析原因，我了解到他们没有真正理解减法运算的性质。于是我创设生活化的情境让学生重新理解和掌握减法运算的性质：“老师为学生做了99朵小红花，一到学校就被一班的学生要去了55朵，后来二班的学生要去了35朵，现在还剩多少朵给三班呢？”在熟悉的场景下，学生立马想到只要将一班和二班要去的数量相加，再用总数减去，，就正好得到三班的小红花数量了。通过这样的情境创设，他们认识到犯错的原因，很快就改正过来。
2.赋予“错误”以对比性的情境
在小学数学教学中，学生由于知识水平有限，很容易受到外在信息的影响，发生知识的负迁移，从而导致无法发挥正常思维水平。这时候，教师要善于为学生创设具有对比性的情境，引导学生的数学思维朝优化的方向发展。
例如，教学“分数的应用”后，我给出了一道练习题：“老师准备用小红花铺一条长15米的花路。在大家的努力下，现在已经铺好了■米，还剩多少米？”学生很快得出算式15-15×■=5（米）。面对学生的回答，我没有马上评价对错，而是又出示一道题：“老师准备用小红花铺一条长15米的花路，在大家的努力下已经铺好了■，还剩多少米？”一些学生马上喊：“这和前面那个题目不是一样的吗？”眼尖的学生发现：“呀，是我太粗心了，第一题算错了。”但还有部分学生坚持认为两题的计算式子都应该是15-15×■=5（米）。
师：你们有什么发现吗？
生1：前一题的■后面有单位，后一题没有。
师：对了，既然大家知道这一点，为什么还说两题一样呢？现在你们觉得第一题算对了吗？
生2：算错了，我们忽略了它的单位。第一题没有我们想的那么复杂，只需要用15减去■就可以了。
生3：是的，第二题才应该用刚才的算式。
师：嗯，能意识到自己的错误并且改正，这就值得表扬。大家下次做题的时候可要看清楚了，虽然只是多了一个单位，但得到的结果却大不相同。
第一道题本身是没有难度的，但为什么却有那么多的学生做错了呢？仔细分析原因，不难发现，平时练习的题目都是问“已经铺好了”，大家对这样的题目已经形成了刻板印象，导致大家容易想当然地就凭着经验去计算。通过教师巧妙的点拨，学生不但发现自己上了当，还深深认识到仔细审题的重要性，很好地培养了学生的反思能力。
二、引导纠正——培养数学思维
对于学生在数学学习过程中出现的错误，教师要在找准学生出错原因的基础上引导学生进行自主纠正，让他们自己发现错误、分析错误、纠正错误，从而深化他们的数学思维。
1.就地治错，引导分析
出现错误时，学生往往无法很快意识到自己的错误，有时甚至会进入死胡同，抓不住问题的重点。而且，学生因为对于问题的认识不足，思考不深入，往往无法准确判断问题所在。这时候，教师必须采用“就地分析、就地治错”的方法，让学生自己分析并改正错误，促进思维的发展。
例如，教学“认识三角形”时，有一道题：有一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是2厘米和5厘米，求这个三角形的周长是多少。学生的计算结果有两种，一种是5 2 2=9（厘米），一种是5 5 2=12（厘米）。还有的学生觉得两个答案都是正确的。针对这两个答案，我没有立刻进行评价，而是问学生：“同学们还记得三角形的三条边之间有什么关系吗？”很快有学生回答：“三角形的两边之和必须大于第三边。”答完后，学生立刻意识到问题所在。经过讨论，他们得出新的结论：“假如第一个式子正确，那么2 2=4，小于5，所以这种假设不成立。第二个式子中，任意两边之和都大于第三边，因此三角形的周长应该是5 5 2=12（厘米）。”
在这一案例中，针对学生的错误，我没有直接否定，而是引导学生自主思考，利用所学知识去判断，从而发现自己的错误，并且进行改正。这种方式有利于加深学生的印象，也有利于让学生更清楚地认识到问题所在。
2.自我批判，引导思辨
批判性思维指的是把握问题关键，进行科学分析，运用自身智慧进行有效判断的思维方式。数学教育的一个重点是让学生养成批判性思维的习惯。引导学生对数学错误进行批判，能有效促使学生展开思辨。 例如，教学“圆锥的体积”时，我将书上的结论换成以下的表达方式：圆柱的体积是圆锥的三倍，由此可知，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。
师：你们认为这个结论正确吗？
生：正确。
师：那我们来做个实验验证看看吧。大家可要仔细看好了。
（事先准备好圆柱和圆锥（两者底面积不等），将圆锥装满水后倒入圆柱，一共倒了5次才将圆柱装满）
师：这是怎么回事呢？难道这个结论是错误的吗？
生1：老师你用的圆锥太小了，没有和圆柱等底等高。
生2：刚才的结论条件不足，我们粗心了。
最后，在共同探讨下，学生得出了“在圆锥和圆柱底面积一致且高度相等的情况下，圆锥的体积才是圆柱的三分之一”的结论。这样的教学方式，不但让学生学到知识，同时还培养了学生的批判性思维，实现了优质的数学教学。
三、适当放大——深化数学思维
对于学生在数学学习过程中出现的一些错误，教师可把它视为有效的教学资源进行适当放大，以此深化他们的数学思维。
1.举一反三，拓展思维
学生知识的积累不能完全从教师那里被动地接受，还要经过自身的认真思考。不同学生的思维习惯和方式存在一定的差异，因此对同一问题的看法也会不同，出现的错误也并不完全一致。针对学生的错误，教师应仔细分析，及时引导，这样才能让学生在错误中前进，提高学习效率。
例如，有一道关于计算图形面积的题目：王大爷的果园呈梯形状，其中上底6米，下底5米，高2米，请你根据这些数据计算王大爷果园的面积。由于学生已经掌握了梯形的面积公式，根据这一公式，可列式（6 5）×2÷2=11（平方米）。虽然学生都得出了一致的答案，但为了了解学生对公式的理解程度，检验是否有学生不理解这一公式，我抽查了几个学生，让他们到黑板上将公式写出来，然后进行计算。他们写完之后，讲台下面立刻传来一阵笑声。我仔细一看，原来有个学生的计算结果是6 5=11（平方米）。
师：你为什么会这样算呢？
生：我认为梯形的高为2，而且公式后面还需要除以2，两者正好可以相互抵消，所以我就直接用6 5。
这样计算非常简单，其他学生听完之后，也都十分赞同这一说法。针对这一观点，我提出问题：“假如将它的高改成4米，还可以这样计算吗？”听到我的疑问，学生开始思考。不一会儿，他们终于明白，这种计算方式只有当梯形的高是2的时候才适用。
2.引导辩论，拓宽思维
针对学生普遍会犯的错误，假如单纯依靠教师的纠正，学生很难留下深刻的印象，再遇到这种情况，很可能还会继续犯错。那么，采取什么方式才能让学生加深印象，并且不再犯同样的错误呢？我觉得可以采用“辩论”的方式去实现，让学生针对错误进行探讨，在相互交流之中发现问题，解决问题。
例如，教学“比的应用”后，我让学生解决这一问题：“有甲、乙两杯奶茶，甲杯中奶和茶的比例是2∶3，乙中的奶和茶的比为4∶5，假如将这两杯奶茶进行融合，那么融合之后的奶茶中奶和茶的比例是多少呢？”学生经过思考和讨论，最终得出了两种答案——3∶4和19∶26。基于第一种答案，学生的想法是将甲和乙进行充分融合，奶一共有2 4=6，茶一共有3 5=8。学生的第二个观点则是，首先要计算出两杯中奶和茶的具体值，然后才能相加。针对这两种观点，我让学生进行讨论，表达自己的看法。这样，错误的学生就能在讨论中认识到问题所在，而且学生之间的交流也有利于营造积极向上的学习氛围。
总之，错误是难以避免的。学生出现错误时，教师应当采用科学的方法进行引导，帮助学生通过自主思考发现错误，从而将错误转化为有效的教学资源，深化学生的数学思维。
（责编 吴美玲）
[关键词]错误资源 深化 数学思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-051
在学习过程中，任何人都会犯错误。通过不断改正错误，人们会逐渐走向成熟，逐渐完善自我。在数学学习过程中，错误是学生数学思维不成熟、不严密的外在表现形式。面对这些错误，是让它们自生自灭还是使之为课堂教学所用，取决于教师是否能临危不乱和冷静思考。数学错误是一种重要的教学资源，教师要善于将学生的数学错误转化为教学资源，从而深化他们的数学思维。
一、赋予情境——激活数学思维
数学这门学科具有很强的抽象性，学生的思维却是以形象思维为主，因此他们往往难以理解抽象的数学知识，进而在学习过程中犯各种各样的错误。教学中，针对学生出现的错误，教师要善于创设恰当的情境辅助学生理解，从而激活他们的数学思维。
1.赋予“错误”以生活化的情境
实践证明，无论教师将课堂预设做得多么完美，学生仍然避免不了出现错误。错误出现时，只要教师冷静观察和分析，就能发现这些错误正好暴露了学生学习的短板所在。这时，教师可在学生的错误处创设生活化的情境辅助学生进行理解。
例如，教学“减法的性质”时，我出了一道计算题：“99-55-35=？”在计算过程中，我发现有部分学生算得的结果是79，对于这个答案我感到很疑惑。通过详细询问和检查，我发现这部分学生认为反正都是做减法，先算55减35正好能得到一个整十数，这就更方便了后面的计算。分析原因，我了解到他们没有真正理解减法运算的性质。于是我创设生活化的情境让学生重新理解和掌握减法运算的性质：“老师为学生做了99朵小红花，一到学校就被一班的学生要去了55朵，后来二班的学生要去了35朵，现在还剩多少朵给三班呢？”在熟悉的场景下，学生立马想到只要将一班和二班要去的数量相加，再用总数减去，，就正好得到三班的小红花数量了。通过这样的情境创设，他们认识到犯错的原因，很快就改正过来。
2.赋予“错误”以对比性的情境
在小学数学教学中，学生由于知识水平有限，很容易受到外在信息的影响，发生知识的负迁移，从而导致无法发挥正常思维水平。这时候，教师要善于为学生创设具有对比性的情境，引导学生的数学思维朝优化的方向发展。
例如，教学“分数的应用”后，我给出了一道练习题：“老师准备用小红花铺一条长15米的花路。在大家的努力下，现在已经铺好了■米，还剩多少米？”学生很快得出算式15-15×■=5（米）。面对学生的回答，我没有马上评价对错，而是又出示一道题：“老师准备用小红花铺一条长15米的花路，在大家的努力下已经铺好了■，还剩多少米？”一些学生马上喊：“这和前面那个题目不是一样的吗？”眼尖的学生发现：“呀，是我太粗心了，第一题算错了。”但还有部分学生坚持认为两题的计算式子都应该是15-15×■=5（米）。
师：你们有什么发现吗？
生1：前一题的■后面有单位，后一题没有。
师：对了，既然大家知道这一点，为什么还说两题一样呢？现在你们觉得第一题算对了吗？
生2：算错了，我们忽略了它的单位。第一题没有我们想的那么复杂，只需要用15减去■就可以了。
生3：是的，第二题才应该用刚才的算式。
师：嗯，能意识到自己的错误并且改正，这就值得表扬。大家下次做题的时候可要看清楚了，虽然只是多了一个单位，但得到的结果却大不相同。
第一道题本身是没有难度的，但为什么却有那么多的学生做错了呢？仔细分析原因，不难发现，平时练习的题目都是问“已经铺好了”，大家对这样的题目已经形成了刻板印象，导致大家容易想当然地就凭着经验去计算。通过教师巧妙的点拨，学生不但发现自己上了当，还深深认识到仔细审题的重要性，很好地培养了学生的反思能力。
二、引导纠正——培养数学思维
对于学生在数学学习过程中出现的错误，教师要在找准学生出错原因的基础上引导学生进行自主纠正，让他们自己发现错误、分析错误、纠正错误，从而深化他们的数学思维。
1.就地治错，引导分析
出现错误时，学生往往无法很快意识到自己的错误，有时甚至会进入死胡同，抓不住问题的重点。而且，学生因为对于问题的认识不足，思考不深入，往往无法准确判断问题所在。这时候，教师必须采用“就地分析、就地治错”的方法，让学生自己分析并改正错误，促进思维的发展。
例如，教学“认识三角形”时，有一道题：有一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是2厘米和5厘米，求这个三角形的周长是多少。学生的计算结果有两种，一种是5 2 2=9（厘米），一种是5 5 2=12（厘米）。还有的学生觉得两个答案都是正确的。针对这两个答案，我没有立刻进行评价，而是问学生：“同学们还记得三角形的三条边之间有什么关系吗？”很快有学生回答：“三角形的两边之和必须大于第三边。”答完后，学生立刻意识到问题所在。经过讨论，他们得出新的结论：“假如第一个式子正确，那么2 2=4，小于5，所以这种假设不成立。第二个式子中，任意两边之和都大于第三边，因此三角形的周长应该是5 5 2=12（厘米）。”
在这一案例中，针对学生的错误，我没有直接否定，而是引导学生自主思考，利用所学知识去判断，从而发现自己的错误，并且进行改正。这种方式有利于加深学生的印象，也有利于让学生更清楚地认识到问题所在。
2.自我批判，引导思辨
批判性思维指的是把握问题关键，进行科学分析，运用自身智慧进行有效判断的思维方式。数学教育的一个重点是让学生养成批判性思维的习惯。引导学生对数学错误进行批判，能有效促使学生展开思辨。 例如，教学“圆锥的体积”时，我将书上的结论换成以下的表达方式：圆柱的体积是圆锥的三倍，由此可知，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。
师：你们认为这个结论正确吗？
生：正确。
师：那我们来做个实验验证看看吧。大家可要仔细看好了。
（事先准备好圆柱和圆锥（两者底面积不等），将圆锥装满水后倒入圆柱，一共倒了5次才将圆柱装满）
师：这是怎么回事呢？难道这个结论是错误的吗？
生1：老师你用的圆锥太小了，没有和圆柱等底等高。
生2：刚才的结论条件不足，我们粗心了。
最后，在共同探讨下，学生得出了“在圆锥和圆柱底面积一致且高度相等的情况下，圆锥的体积才是圆柱的三分之一”的结论。这样的教学方式，不但让学生学到知识，同时还培养了学生的批判性思维，实现了优质的数学教学。
三、适当放大——深化数学思维
对于学生在数学学习过程中出现的一些错误，教师可把它视为有效的教学资源进行适当放大，以此深化他们的数学思维。
1.举一反三，拓展思维
学生知识的积累不能完全从教师那里被动地接受，还要经过自身的认真思考。不同学生的思维习惯和方式存在一定的差异，因此对同一问题的看法也会不同，出现的错误也并不完全一致。针对学生的错误，教师应仔细分析，及时引导，这样才能让学生在错误中前进，提高学习效率。
例如，有一道关于计算图形面积的题目：王大爷的果园呈梯形状，其中上底6米，下底5米，高2米，请你根据这些数据计算王大爷果园的面积。由于学生已经掌握了梯形的面积公式，根据这一公式，可列式（6 5）×2÷2=11（平方米）。虽然学生都得出了一致的答案，但为了了解学生对公式的理解程度，检验是否有学生不理解这一公式，我抽查了几个学生，让他们到黑板上将公式写出来，然后进行计算。他们写完之后，讲台下面立刻传来一阵笑声。我仔细一看，原来有个学生的计算结果是6 5=11（平方米）。
师：你为什么会这样算呢？
生：我认为梯形的高为2，而且公式后面还需要除以2，两者正好可以相互抵消，所以我就直接用6 5。
这样计算非常简单，其他学生听完之后，也都十分赞同这一说法。针对这一观点，我提出问题：“假如将它的高改成4米，还可以这样计算吗？”听到我的疑问，学生开始思考。不一会儿，他们终于明白，这种计算方式只有当梯形的高是2的时候才适用。
2.引导辩论，拓宽思维
针对学生普遍会犯的错误，假如单纯依靠教师的纠正，学生很难留下深刻的印象，再遇到这种情况，很可能还会继续犯错。那么，采取什么方式才能让学生加深印象，并且不再犯同样的错误呢？我觉得可以采用“辩论”的方式去实现，让学生针对错误进行探讨，在相互交流之中发现问题，解决问题。
例如，教学“比的应用”后，我让学生解决这一问题：“有甲、乙两杯奶茶，甲杯中奶和茶的比例是2∶3，乙中的奶和茶的比为4∶5，假如将这两杯奶茶进行融合，那么融合之后的奶茶中奶和茶的比例是多少呢？”学生经过思考和讨论，最终得出了两种答案——3∶4和19∶26。基于第一种答案，学生的想法是将甲和乙进行充分融合，奶一共有2 4=6，茶一共有3 5=8。学生的第二个观点则是，首先要计算出两杯中奶和茶的具体值，然后才能相加。针对这两种观点，我让学生进行讨论，表达自己的看法。这样，错误的学生就能在讨论中认识到问题所在，而且学生之间的交流也有利于营造积极向上的学习氛围。
总之，错误是难以避免的。学生出现错误时，教师应当采用科学的方法进行引导，帮助学生通过自主思考发现错误，从而将错误转化为有效的教学资源，深化学生的数学思维。
（责编 吴美玲）