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【摘要】教学中，教师要养成针对学生概念理解中的易错点开发拓展课内容的意识和习惯。“周长”教学后，学生容易将“周长”与“面积”概念相混淆。拓展课《抽牌游戏》的开发，能帮助学生突破思维认知难点，夯实对周长概念的理解。
【关键词】拓展课;周长;纸牌游戏;实践
数学拓展课是对基础性课程的补充、延伸、拓展与整合，要让这种补充做到合理、优质、高效，需要教师对教材的知识序列、学生的认知过程有清晰的了解。日常教学中，教师要养成将学生概念理解中的易错点开发为拓展课内容的意识和习惯，有效利用拓展课帮助学生加深对概念的理解和辨析。
笔者以《抽牌游戏》为例，介绍一节数学拓展课开发的实践与思考。
【课前思考】
周长与面积是一组联系紧密的概念，学生经常混淆。按照人教版教材的安排，学生在三年级上学期学习周长，在三年级下学期学习面积。单独学习周长概念时，由于学生有较为丰富的生活体验，理解概念并不难，所以解决问题的正确率一股都比较高，较少暴露出在概念理解和知识掌握方面的问题。但学习完面积概念以后，学生中就普遍出现将两者相混淆的现象，解决问题的错误率也快速上升。
基于此，在三年级“周长”教学以后、“面积”学习以前，教师可设计一节周长的变式拓展课《抽牌游戏》，作为教学内容的补充，以帮助学生夯实对周长概念的认知，为后续面积概念的学习奠定基础，以降低学生在两个概念区分上的难度。
拓展课《抽牌游戏》的教学目标如下。
1.借助抽扑克牌的互动游戏，经历正确寻找图形周长、用能量柱正确表示蚂蚁爬行路线长度的过程。在确保周长不变的情况下，能够正确地抽出至少1张牌。
2.经历观察、想象、操作、验证等过程，并在游戏中初步感受消失路线和新增路线之间的关系，建立周长不变的数学模型，积累活动经验。
3.在数学游戏活动中，感受成功的喜悦。学会独立思考，能与他人进行有效的合作交流，逐步养成良好的课堂学习习惯。
【教学实践】
（一）介绍游戏规则
师：今天我们一起玩一个游戏——“抽牌游戏”。首先了解一下游戏的规则（课件出示）：蚂蚁沿着1张扑克牌的外侧爬行，它爬行扑克牌的一条宽边，需要消耗一格蓝色的能量（动态演示，如图1）。它爬行扑克牌的一条长边，需要消耗一格红色能量（动态演示）。这只蚂蚁绕着这张扑克牌爬行一周，需要消耗多少能量？
生：两个红格加上两个蓝格。
师：把蚂蚁爬行一圈所消耗的能量用一条能量柱来表示，就是这样的（课件呈现，如图2）。你能看懂吗？
生：两格蓝色的表示爬了两个宽，两格红色的表示爬了两个长。
（设计意图：通过游戏规则的介绍，让学生了解游戏与数学直接的表达关系，为后续活动的开展做好铺垫。把扑克牌的宽和长标注为两段不同颜色的能量柱，而非用数据和文字表达，是为了更好地激发学生的学习兴趣，直观且容易理解。）
（二）提出猜想，初步感知模型
师出示问题：6张扑克牌组成一个大长方形（如图3），一只蚂蚁沿着它的外侧爬一圈，需要消耗多少能量？
生：6个蓝色能量柱和4个红色能量柱。
（教师呈现能量柱，图略）
师：想一想，如果抽掉其中1张牌，蚂蚁爬一圈消耗的能量会有怎样的变化？
生：应该会减少。
生：我猜不会变化。
师：现在有两种不同的答案，你同意哪一種呢？请你通过练习纸和扑克牌独立研究一下，并试着说明自己的观点。（教师出示学习要求）
1.画一画，用画“×”的方式表示抽掉的这张扑克牌。
2.算一算，蚂蚁绕着剩下的扑克牌爬行一圈所需要的能量柱。
3.比一比，消耗的能量柱与抽牌之前有没有发生变化。
教师对学生的反馈作出概括：抽掉的牌的位置不一样，答案也不一样。如果抽掉角落处的牌（如图4），抽掉后蚂蚁爬一圈，仍旧消耗6个蓝色能量柱和4个红色能量柱，与抽掉前一样。但如果抽掉上下排中间处的1张牌（如图5），蚂蚁需要消耗的能量柱不但没有减少，反而增加了。
（设计意图：通过对比让学生意识到，抽掉1张不同位置的牌，在扑克牌数量即总面积减少的情况下，消耗的总能量可能会有不同的变化。）
（三）探究联系，构建数学模型
1.抽取单张牌，初建数学模型
教师出示问题情境，请学生尝试解决。
一只蚂蚁沿着12张扑克牌的外侧爬一图，①计算蚂蚁需要消耗多少能量柱。②抽掉其中l张牌，让蚂蚁爬行消耗的能量柱数量不变。
交流反馈：
（1）去掉某一角落的一张牌（如图6），消耗的能量柱不变。
（学生交流原因）
生：把新增的能量柱（蓝色和红色线段）平移到消失的能量柱位置，正好相等，所以消耗的能量柱的数量没有发生变化。
（师动态演示学生的思考过程）
（2）哪些位置的扑克牌也是可以抽掉的，为什么？
生：四个角上的扑克牌都属于这一情况。
小结：通过计算拿掉扑克牌之前和之后分别用了多少能量柱，可以判断消耗的能量有没有发生变化，但同学们发现了一种更简便更清晰的方法，就是利用平移的方式进行说明，如果消失的路线等于新增的路线，能量柱的总量就不会发生变化，这是一种非常好的思考方式。
（设计意图：在动态演示的过程中，学生能够清晰地体会到角落的牌抽掉后，消失的路线和新增的路线同样长，所以消耗的能量柱也同样多。这为后面探究“继续抽掉角落的牌会不会仍旧不变”这个问题提供了思考的基础，也为后续的模型建立指明了方向。）
2.抽取多张牌，构建数学模型
（1）思考：能否继续抽取1张或更多的牌，让蚂蚁爬行消耗的能量不变？ 生：要是在角落里再抽取1张，应该也不变。
生：不一定。
（2）引导学生动手操作、实践验证，完成后反馈，逐一展示学生作品（如图7）。
通过边展示边讨论边演示，引导学生体会：只要消失的路线和新增的路线同样长，蚂蚁消耗的能量柱就同样多。
（设计意图：学生通过猜测、操作、验证、交流，逐步发现扑克牌数量在减少，大小、形状在变化，但边的总长度之和也就是周长，没有发生变化。）
3.小组合作玩游戏，应用数学模型
（四）整理学习方法，拓展学习内容
教师引导：通过今天这节课的学习，你有什么收获？你能运用今天学习到的方法去研究抽牌游戏的另一种现象吗？（能量柱发生变化的情况）
（设计意图：在本节课的最后环节，教师引导学生将获得的数学知识、方法和基本活动经验类比应用到新的学习内容中，使他们的能力和思维真正获得提升。）
【教学反思】
（一）设趣设疑，让学习过程更加自主
1.从学习形式上激发学生学习的兴趣
贴近学生现实生活的问题，往往更能激发学生学习的兴趣。“抽牌游戏”从学生非常熟悉的扑克牌出发，让学生研究由扑克牌组成的图形的一周之长。这是基于学生生活基础，学生能够探究也乐于探究的问题。学生投入的学习状态为后续建构模型做好了积极的心理准备。
2.从内在设计上唤醒学生学习的欲望
如果说“游戏”这种活动形式是激发学生学习兴趣的外在因素，那么设置好的游戏内容则是激发学生学习动力的内在因素。“抽牌游戏”起点低开放度大，扑克牌数量从6张逐步拓展到12张，抽牌活动从抽掉1张牌逐步拓展到抽掉2张牌、5张牌甚至更多。在所研究的要素逐步增加的过程中，学生的思维也在接受更高层次的挑战，而每一次活动又都能让学生“跳一跳，摘到桃子”。这样的内容设计既避免了游戏的单调和无聊，又提升了学生的思维水平。
（二）有效沟通，让模型构建更富内涵
1.让推理成为沟通的手段
猜想和验证是比较常见的研究方式，也是发展学生思维与推理能力的重要手段。在“抽牌游戏”中，学生思考、表达抽掉扑克牌消耗的能量是否发生变化的过程本质上就是推理的过程，借助“能量柱”对“抽掉若干张扑克牌”前后图形的周长变化情况进行描述，不仅形象生动、寓教于乐，且与周长概念的本质和转化思想非常契合。
2.让想象成为构建的桥梁
想象是发展学生空间观念的一种重要方式。在教学过程中，教师应有意识地关注学生想象能力的培养，无论是独立研究，还是互动交流，教师都要引导学生先想象“抽掉牌”以后图形的样子，想象什么变了什么没变，然后再与实际的运动结果进行比较，通过不断完善、调整的过程，积累线段平移的想象经验，让想象成为促进学生知识建构的桥梁。
（三）多次“重构”，让学生理解更趋深刻
1.对标原型，让课堂更有数学味
“抽牌游戏”是在学生学习周长内容之后补充的一节变式拓展课，游戏中所涉及的“能量柱”信息和周长的概念相吻合。这一设计旨在帮助学生建立牢固的周长概念认知基础，并通过拿掉牌（减少面）的体验为后续面积概念的学习夯实基础，以降低学生在两个概念区分上的难度。
2.突显矛盾，让思维主动碰撞
学生学习的过程是一个打破原有知识结构、建立新知识结构的过程。“打破”的关键在于制造认知冲突。整节课的教学主要有两处认知冲突：一是从6张扑克牌中任意抽取1张，消耗的能量柱是否发展变化;二是从12张扑克牌中抽取6张牌（学生生成的抽法），消耗的能量柱是否发生变化。第一处冲突和学生追求唯一答案的解题习惯有关，抽取1张牌后能量柱总数不变的抽取方法存在着多种情况，这可以打破学生被“唯一答案”的思维禁锢;第二处冲突和学生原有的生活经验有关，抽掉6张牌后，直觉经验告诉他们，图形“变小了”，而实际上能量柱总数没有发生变化，这可以唤起学生寻求原因的好奇心。这些认知冲突进一步激发了学生学习和表达的意愿，为学生的思维发展提供了帮助。
从拓展课《抽牌游戏》开发的过程中可以得出拓展课开发的一种策略，即教师要根据学生对知识的掌握情况，针对他们学习中的易错点开发拓展课教学内容。比如计量单位及進率换算、立体图形表面积与体积变式等问题中也都存在着学生普遍的易错点，可以有针对性地进行拓展课开发。教师要形成从开发一节课到开发一类课的思维方式，让拓展课的开发显现出事半功倍的效果。
【关键词】拓展课;周长;纸牌游戏;实践
数学拓展课是对基础性课程的补充、延伸、拓展与整合，要让这种补充做到合理、优质、高效，需要教师对教材的知识序列、学生的认知过程有清晰的了解。日常教学中，教师要养成将学生概念理解中的易错点开发为拓展课内容的意识和习惯，有效利用拓展课帮助学生加深对概念的理解和辨析。
笔者以《抽牌游戏》为例，介绍一节数学拓展课开发的实践与思考。
【课前思考】
周长与面积是一组联系紧密的概念，学生经常混淆。按照人教版教材的安排，学生在三年级上学期学习周长，在三年级下学期学习面积。单独学习周长概念时，由于学生有较为丰富的生活体验，理解概念并不难，所以解决问题的正确率一股都比较高，较少暴露出在概念理解和知识掌握方面的问题。但学习完面积概念以后，学生中就普遍出现将两者相混淆的现象，解决问题的错误率也快速上升。
基于此，在三年级“周长”教学以后、“面积”学习以前，教师可设计一节周长的变式拓展课《抽牌游戏》，作为教学内容的补充，以帮助学生夯实对周长概念的认知，为后续面积概念的学习奠定基础，以降低学生在两个概念区分上的难度。
拓展课《抽牌游戏》的教学目标如下。
1.借助抽扑克牌的互动游戏，经历正确寻找图形周长、用能量柱正确表示蚂蚁爬行路线长度的过程。在确保周长不变的情况下，能够正确地抽出至少1张牌。
2.经历观察、想象、操作、验证等过程，并在游戏中初步感受消失路线和新增路线之间的关系，建立周长不变的数学模型，积累活动经验。
3.在数学游戏活动中，感受成功的喜悦。学会独立思考，能与他人进行有效的合作交流，逐步养成良好的课堂学习习惯。
【教学实践】
（一）介绍游戏规则
师：今天我们一起玩一个游戏——“抽牌游戏”。首先了解一下游戏的规则（课件出示）：蚂蚁沿着1张扑克牌的外侧爬行，它爬行扑克牌的一条宽边，需要消耗一格蓝色的能量（动态演示，如图1）。它爬行扑克牌的一条长边，需要消耗一格红色能量（动态演示）。这只蚂蚁绕着这张扑克牌爬行一周，需要消耗多少能量？
生：两个红格加上两个蓝格。
师：把蚂蚁爬行一圈所消耗的能量用一条能量柱来表示，就是这样的（课件呈现，如图2）。你能看懂吗？
生：两格蓝色的表示爬了两个宽，两格红色的表示爬了两个长。
（设计意图：通过游戏规则的介绍，让学生了解游戏与数学直接的表达关系，为后续活动的开展做好铺垫。把扑克牌的宽和长标注为两段不同颜色的能量柱，而非用数据和文字表达，是为了更好地激发学生的学习兴趣，直观且容易理解。）
（二）提出猜想，初步感知模型
师出示问题：6张扑克牌组成一个大长方形（如图3），一只蚂蚁沿着它的外侧爬一圈，需要消耗多少能量？
生：6个蓝色能量柱和4个红色能量柱。
（教师呈现能量柱，图略）
师：想一想，如果抽掉其中1张牌，蚂蚁爬一圈消耗的能量会有怎样的变化？
生：应该会减少。
生：我猜不会变化。
师：现在有两种不同的答案，你同意哪一種呢？请你通过练习纸和扑克牌独立研究一下，并试着说明自己的观点。（教师出示学习要求）
1.画一画，用画“×”的方式表示抽掉的这张扑克牌。
2.算一算，蚂蚁绕着剩下的扑克牌爬行一圈所需要的能量柱。
3.比一比，消耗的能量柱与抽牌之前有没有发生变化。
教师对学生的反馈作出概括：抽掉的牌的位置不一样，答案也不一样。如果抽掉角落处的牌（如图4），抽掉后蚂蚁爬一圈，仍旧消耗6个蓝色能量柱和4个红色能量柱，与抽掉前一样。但如果抽掉上下排中间处的1张牌（如图5），蚂蚁需要消耗的能量柱不但没有减少，反而增加了。
（设计意图：通过对比让学生意识到，抽掉1张不同位置的牌，在扑克牌数量即总面积减少的情况下，消耗的总能量可能会有不同的变化。）
（三）探究联系，构建数学模型
1.抽取单张牌，初建数学模型
教师出示问题情境，请学生尝试解决。
一只蚂蚁沿着12张扑克牌的外侧爬一图，①计算蚂蚁需要消耗多少能量柱。②抽掉其中l张牌，让蚂蚁爬行消耗的能量柱数量不变。
交流反馈：
（1）去掉某一角落的一张牌（如图6），消耗的能量柱不变。
（学生交流原因）
生：把新增的能量柱（蓝色和红色线段）平移到消失的能量柱位置，正好相等，所以消耗的能量柱的数量没有发生变化。
（师动态演示学生的思考过程）
（2）哪些位置的扑克牌也是可以抽掉的，为什么？
生：四个角上的扑克牌都属于这一情况。
小结：通过计算拿掉扑克牌之前和之后分别用了多少能量柱，可以判断消耗的能量有没有发生变化，但同学们发现了一种更简便更清晰的方法，就是利用平移的方式进行说明，如果消失的路线等于新增的路线，能量柱的总量就不会发生变化，这是一种非常好的思考方式。
（设计意图：在动态演示的过程中，学生能够清晰地体会到角落的牌抽掉后，消失的路线和新增的路线同样长，所以消耗的能量柱也同样多。这为后面探究“继续抽掉角落的牌会不会仍旧不变”这个问题提供了思考的基础，也为后续的模型建立指明了方向。）
2.抽取多张牌，构建数学模型
（1）思考：能否继续抽取1张或更多的牌，让蚂蚁爬行消耗的能量不变？ 生：要是在角落里再抽取1张，应该也不变。
生：不一定。
（2）引导学生动手操作、实践验证，完成后反馈，逐一展示学生作品（如图7）。
通过边展示边讨论边演示，引导学生体会：只要消失的路线和新增的路线同样长，蚂蚁消耗的能量柱就同样多。
（设计意图：学生通过猜测、操作、验证、交流，逐步发现扑克牌数量在减少，大小、形状在变化，但边的总长度之和也就是周长，没有发生变化。）
3.小组合作玩游戏，应用数学模型
（四）整理学习方法，拓展学习内容
教师引导：通过今天这节课的学习，你有什么收获？你能运用今天学习到的方法去研究抽牌游戏的另一种现象吗？（能量柱发生变化的情况）
（设计意图：在本节课的最后环节，教师引导学生将获得的数学知识、方法和基本活动经验类比应用到新的学习内容中，使他们的能力和思维真正获得提升。）
【教学反思】
（一）设趣设疑，让学习过程更加自主
1.从学习形式上激发学生学习的兴趣
贴近学生现实生活的问题，往往更能激发学生学习的兴趣。“抽牌游戏”从学生非常熟悉的扑克牌出发，让学生研究由扑克牌组成的图形的一周之长。这是基于学生生活基础，学生能够探究也乐于探究的问题。学生投入的学习状态为后续建构模型做好了积极的心理准备。
2.从内在设计上唤醒学生学习的欲望
如果说“游戏”这种活动形式是激发学生学习兴趣的外在因素，那么设置好的游戏内容则是激发学生学习动力的内在因素。“抽牌游戏”起点低开放度大，扑克牌数量从6张逐步拓展到12张，抽牌活动从抽掉1张牌逐步拓展到抽掉2张牌、5张牌甚至更多。在所研究的要素逐步增加的过程中，学生的思维也在接受更高层次的挑战，而每一次活动又都能让学生“跳一跳，摘到桃子”。这样的内容设计既避免了游戏的单调和无聊，又提升了学生的思维水平。
（二）有效沟通，让模型构建更富内涵
1.让推理成为沟通的手段
猜想和验证是比较常见的研究方式，也是发展学生思维与推理能力的重要手段。在“抽牌游戏”中，学生思考、表达抽掉扑克牌消耗的能量是否发生变化的过程本质上就是推理的过程，借助“能量柱”对“抽掉若干张扑克牌”前后图形的周长变化情况进行描述，不仅形象生动、寓教于乐，且与周长概念的本质和转化思想非常契合。
2.让想象成为构建的桥梁
想象是发展学生空间观念的一种重要方式。在教学过程中，教师应有意识地关注学生想象能力的培养，无论是独立研究，还是互动交流，教师都要引导学生先想象“抽掉牌”以后图形的样子，想象什么变了什么没变，然后再与实际的运动结果进行比较，通过不断完善、调整的过程，积累线段平移的想象经验，让想象成为促进学生知识建构的桥梁。
（三）多次“重构”，让学生理解更趋深刻
1.对标原型，让课堂更有数学味
“抽牌游戏”是在学生学习周长内容之后补充的一节变式拓展课，游戏中所涉及的“能量柱”信息和周长的概念相吻合。这一设计旨在帮助学生建立牢固的周长概念认知基础，并通过拿掉牌（减少面）的体验为后续面积概念的学习夯实基础，以降低学生在两个概念区分上的难度。
2.突显矛盾，让思维主动碰撞
学生学习的过程是一个打破原有知识结构、建立新知识结构的过程。“打破”的关键在于制造认知冲突。整节课的教学主要有两处认知冲突：一是从6张扑克牌中任意抽取1张，消耗的能量柱是否发展变化;二是从12张扑克牌中抽取6张牌（学生生成的抽法），消耗的能量柱是否发生变化。第一处冲突和学生追求唯一答案的解题习惯有关，抽取1张牌后能量柱总数不变的抽取方法存在着多种情况，这可以打破学生被“唯一答案”的思维禁锢;第二处冲突和学生原有的生活经验有关，抽掉6张牌后，直觉经验告诉他们，图形“变小了”，而实际上能量柱总数没有发生变化，这可以唤起学生寻求原因的好奇心。这些认知冲突进一步激发了学生学习和表达的意愿，为学生的思维发展提供了帮助。
从拓展课《抽牌游戏》开发的过程中可以得出拓展课开发的一种策略，即教师要根据学生对知识的掌握情况，针对他们学习中的易错点开发拓展课教学内容。比如计量单位及進率换算、立体图形表面积与体积变式等问题中也都存在着学生普遍的易错点，可以有针对性地进行拓展课开发。教师要形成从开发一节课到开发一类课的思维方式，让拓展课的开发显现出事半功倍的效果。