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【摘要】何谓“几何”？弗赖登塔尔认为，所谓几何就是把握空间，而这个空间对儿童来说，就是他们生活和运动的空间。因此，“几何”又称为“空间几何”，从严格意义上讲，空间几何主要就是研究事物的空间形式或关系的一门学科。
【关键词】小学数学 学好几何
1.小学几何学习的基本分析
这部分内容又分三个知识点：
1.1小学数学几何学习的基本内容：也就是我们所说的“空间与图形”，具体内容有：简单几何形体的认识、变换（包括平移、旋转和对称等）、位置、图形测量、简单图形的周长、面积与体积的计算、方向的认识以及平面坐标的初步体验等。
1.2小学数学几何学习的基本目标。
1.2.1从活动的特征表述：①能从实物的形状想像出几何图形，或由几何图形想像出实物的形状；②能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析出其中的基本元素及其关系；③能描述出实物或图形的运动和变化；④能采用适当的方式描述物体间的位置关系，或能运用图形形象地描述问题，并利用直观来进行思考。
1.2.2从内容的特征表述：①使学生获得有关线、角、简单平面图形和立体图形的知觉映象（空间表象）；②使学生能建立有关长度、面积或体积等的基本概念；③能够对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计；④能从较复杂的图形中辨别有各种特征的图形。
1.3小学数学几何学习的基本特点。
1.3.1经验是儿童几何学习的起点。儿童的几何学习与成人（或更高年级学生）不同，他们不是以几何的公理体系为起点的，而是以已有的经验为起点的。儿童在玩各种积木或玩具的过程中，在选择和使用各种生活用具的过程中，在接触到的各种自然现象中，甚至于他们在玩类似“过家家”的游戏中，逐渐感觉到了各种用具在几何方面的特点。
1.3.2操作是儿童构建空间表象的主要形式。儿童的几何不是论证几何，更多的是属于直观几何，而直观几何就是一种经验几何或实验几何，因此，儿童获得几何知识并形成空间观念，更多的是依靠他们的动手操作。儿童在这个过程中，是通过不断地尝试搭建、选择分类、组合分解等活动来增加自己的体验，积累自己的经验，丰富自己的想像的。
2.儿童形成空间观念的基本特征
发展儿童的空间观念是小学数学几何学习的基本价值。
所谓空间观念，就是指物体的形状、大小、位置、距离、方向等形象在人头脑中的映象，是空间知觉经过加工后所形成的表象。下面就结合实例从“思维发展”和“空间观念形成”两大方面具体谈谈“空间观念”。
2.1儿童几何思维水平的发展。
2.1.1水平0阶段（前认知阶段）。①直线和曲线（线能区分）；②正方形和平行四边形（面不能区分）。
2.1.2水平1阶段（直观化阶段）。①四边形和三角形（能从边的数量上去区分）；②正方形和菱形（不能从角的特征上去区分）；③长方形和长方体（不能区分面和体）。2.1.3水平2阶段（描述/分析阶段）。①长方形、四边形、三角形（不同分类方法代表不同水平）；②长方形是特殊的平行四边形（对图形内在性质和特征不能区分）。2.1.4水平3阶段（抽象/关联阶段）。①平行四边形剪拼成长方形；②三角形拼成平行四边形（能通过动手操作将新知转化为旧知进行学习）；③长方形与长方体（能区分面和体）。
2.2儿童空间观念形成与发展的基本特征。
2.2.1儿童空间想像力的发展。所谓的空间想像能力，就是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。
低年段儿童在学习空间图形时基本上是从认识“二维图形”开始的，但儿童积累的却是大量的“三维”的几何经验，他们在对“二维”图形的空间思考的过程中，往往就会依附相应的直观物体，比如让学生举例说说生活中有哪些物体的形状是长方形的？学生往往会举到诸如课桌之类的，很难抽象出桌面的形状才是长方形。甚至到了较高年级学习“圆的认识”时，还会受到直观物体“球”的干扰。
2.2.2儿童形成空间观念的主要心理特点。①对直观的依赖较大。“闭合的区域”往往比“开放的区域”更为直观。如对三角形的性质理解可能会比对角的性质认识更容易；对周长的理解可能会比面积更容易。正如我们听到许多教师上“面积与面积单位”时，总是让学生通过自己的手的触摸来体验“面”的大小，并与周长作出对比，逐步获得对“面积”的理解。②用经验来思考和描述性质或概念。无法运用精确语言来描述“圆”，对“圆上”、“圆内”或“圆外”等概念还只能建立在“圆圈上”、“圆的里面”和“圆的外面”等上面。③空间观念的形成依靠渐进的过程。学龄前儿童已经认识三角形，但这只是对形状的初步感知，到了低年段，能用“三条边围起来”这样的直观特征来辨识图形。到稍高年段，才开始逐渐获得“三角形”性质方面的认识。④容易感知图形的外显性较强的因素。对“角”的本质程度，也是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边的“张开”程度，甚至我前几天在问学生如果拿一个放大镜看角时，角的大小怎样时，学生居然说角会变大。⑤对图形性质间的关系有一个逐渐理解的过程。一年级时，学生只能辨认长方形、正方形、三角形、圆形的形状；二、三年级时，学生不仅能辨认长方形、正方形、梯形、平行四边形等平面图形，还能从这些图形的基本性质上分析，并对圆柱和球也有了初步的认识；到了四、五年级，能深入地分析图形的性质及关系；而到了六年级，学生则能较好地掌握立体图形的特征。可见学生对图形的掌握及空间观念的发展都是一个渐变的过程。⑥对图形的识别倚赖标准形式。一位老师在上“三角形的认识”时，为了让学生更好地理解“高”的概念，她先从一个正放的三角形入手，让学生画高；接着她把这个三角形旋转一下，变成倒放的三角形了，问学生这还是不是三角形的高，学生就觉得它不是高了。可见学生对图形的识别还仅仅依赖于标准形式，一旦变成了“变式图形”学生识别起来就比较困难了。⑦依据平面再造立体图形的空间想像能力是逐步形成的。有的教师在学生初次学习“长方体”时，用三根“拉杆天线”，将它们的三个点按“长”、“宽”、“高”这三个维度焊接在一起。然后不断地通过拉动天线的三个方向的长度，让学生在头脑中再造相应的形体大小的形象，以此来发展儿童的空间想像能力。
2.2.3儿童形成空间观念的主要知觉障碍。①空间识别障碍。空间识别能力表现出的是空间的方位感，它无论是在日常的生活中，还是在空间几何的学习中，都是一个非常重要的能力。比如估计出要去的某个地方的大致方位，就如平时非常重要的方向感；估计出两个物体之间的大致距离等等，都涉及到空间识别能力。而这些能力在我们今后的生活中作用是非常大的。②视觉知觉障碍。比如：让学生解决“教室粉刷墙壁和天花板，要粉刷多少面积”或是解决“游泳池铺瓷砖”等，其实都是关于长方体的表面积问题，由于学生看到教室是一个完整的长方体，他们就往往会忽略了有一个面不算在内的问题。
3.小学几何教学的主要策略
前面我在“几何学习的基本特点”中也已强调两点：经验是儿童几何学习的起点；操作是儿童构建空间表象的主要形式。针对这两大特点，在几何教学中应注意运用以下三点策略：
3.1注重儿童的生活经验。①利用操作体验来获得对象形状特征的认识。比如“三角形的分类”可以给定学生一些不同形状的三角形，让学生按自己的理解去分类，而不同的分类就显示着他们对对象形体特征的表征。②利用已经建立的有关图形形体经验帮助概括图形的性质。比如学习“平行四边形和梯形”时，是在学生学习了长方形、正方形之后的，学生自然会按分析长方形、正方形的方法，从边、角的方面去分析它们的特征。
3.2观察对象的形体特征是基础。①观察形体特征是获得对象性质的基础。比如长方体中有一种特殊的是有两个面是正方形的，让学生凭空去想象其余四个面有什么关系是十分困难的，必须通过实物的观察，让学生明白它的宽和高相等，因此其余四个面是大小完全相等的，从而获得性质，得出结论。②注意运用变式。正如前面提到的认识三角形的高时，应多采用变式，以加深学生对“高”的概念的理解。又如，认识圆的半径、直径时，不必过于强调概念，而是要多一些变式的练习，以反例来加强学生对半径、直径的认识。
3.2强化动手操作。①搭建活动。我在上“立体图形的整理和复习”时，让学生通过“搭一搭”帮助学生思考在立方体每个面都打一个直穿洞口的长方体，使学生较好地理解被挖掉的有7个小立方体。②剪拼与折叠活动。比如“三角形的内角和”一课，可以让学生通过剪拼、折叠的方法得出三角形的内角和是180度。③实物操作活动。在学习圆锥的体积公式时，必须让学生通过实物操作，发现等底等高的圆柱和圆锥之间的关系，从而得出圆锥体积计算公式。④测量活动。“三角形的内角和”一课，学生最初提出的验证三角形内角和是否为180度的方法都是量一量的方法，这个测量活动也是很有必要的，只有引发认知冲突，才会更深入地解决“误差”的问题，更好地引出剪拼、折叠的方法。⑤作图活动。
4.丰富的想像和有效的交流
发展儿童的空间想像能力是小学几何学习的重要任务，而丰富的想像是发展学生空间想像力的有效方式，空间想像力不仅包括对方位、立体图形的想像，还应该包括对平面表示的三维图形的透视能力，以及对图形的再造、组合或分解能力。（这让我想到一种三维图）有效交流也是促进学生几何语言发展的有效手段。
【关键词】小学数学 学好几何
1.小学几何学习的基本分析
这部分内容又分三个知识点：
1.1小学数学几何学习的基本内容：也就是我们所说的“空间与图形”，具体内容有：简单几何形体的认识、变换（包括平移、旋转和对称等）、位置、图形测量、简单图形的周长、面积与体积的计算、方向的认识以及平面坐标的初步体验等。
1.2小学数学几何学习的基本目标。
1.2.1从活动的特征表述：①能从实物的形状想像出几何图形，或由几何图形想像出实物的形状；②能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析出其中的基本元素及其关系；③能描述出实物或图形的运动和变化；④能采用适当的方式描述物体间的位置关系，或能运用图形形象地描述问题，并利用直观来进行思考。
1.2.2从内容的特征表述：①使学生获得有关线、角、简单平面图形和立体图形的知觉映象（空间表象）；②使学生能建立有关长度、面积或体积等的基本概念；③能够对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计；④能从较复杂的图形中辨别有各种特征的图形。
1.3小学数学几何学习的基本特点。
1.3.1经验是儿童几何学习的起点。儿童的几何学习与成人（或更高年级学生）不同，他们不是以几何的公理体系为起点的，而是以已有的经验为起点的。儿童在玩各种积木或玩具的过程中，在选择和使用各种生活用具的过程中，在接触到的各种自然现象中，甚至于他们在玩类似“过家家”的游戏中，逐渐感觉到了各种用具在几何方面的特点。
1.3.2操作是儿童构建空间表象的主要形式。儿童的几何不是论证几何，更多的是属于直观几何，而直观几何就是一种经验几何或实验几何，因此，儿童获得几何知识并形成空间观念，更多的是依靠他们的动手操作。儿童在这个过程中，是通过不断地尝试搭建、选择分类、组合分解等活动来增加自己的体验，积累自己的经验，丰富自己的想像的。
2.儿童形成空间观念的基本特征
发展儿童的空间观念是小学数学几何学习的基本价值。
所谓空间观念，就是指物体的形状、大小、位置、距离、方向等形象在人头脑中的映象，是空间知觉经过加工后所形成的表象。下面就结合实例从“思维发展”和“空间观念形成”两大方面具体谈谈“空间观念”。
2.1儿童几何思维水平的发展。
2.1.1水平0阶段（前认知阶段）。①直线和曲线（线能区分）；②正方形和平行四边形（面不能区分）。
2.1.2水平1阶段（直观化阶段）。①四边形和三角形（能从边的数量上去区分）；②正方形和菱形（不能从角的特征上去区分）；③长方形和长方体（不能区分面和体）。2.1.3水平2阶段（描述/分析阶段）。①长方形、四边形、三角形（不同分类方法代表不同水平）；②长方形是特殊的平行四边形（对图形内在性质和特征不能区分）。2.1.4水平3阶段（抽象/关联阶段）。①平行四边形剪拼成长方形；②三角形拼成平行四边形（能通过动手操作将新知转化为旧知进行学习）；③长方形与长方体（能区分面和体）。
2.2儿童空间观念形成与发展的基本特征。
2.2.1儿童空间想像力的发展。所谓的空间想像能力，就是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。
低年段儿童在学习空间图形时基本上是从认识“二维图形”开始的，但儿童积累的却是大量的“三维”的几何经验，他们在对“二维”图形的空间思考的过程中，往往就会依附相应的直观物体，比如让学生举例说说生活中有哪些物体的形状是长方形的？学生往往会举到诸如课桌之类的，很难抽象出桌面的形状才是长方形。甚至到了较高年级学习“圆的认识”时，还会受到直观物体“球”的干扰。
2.2.2儿童形成空间观念的主要心理特点。①对直观的依赖较大。“闭合的区域”往往比“开放的区域”更为直观。如对三角形的性质理解可能会比对角的性质认识更容易；对周长的理解可能会比面积更容易。正如我们听到许多教师上“面积与面积单位”时，总是让学生通过自己的手的触摸来体验“面”的大小，并与周长作出对比，逐步获得对“面积”的理解。②用经验来思考和描述性质或概念。无法运用精确语言来描述“圆”，对“圆上”、“圆内”或“圆外”等概念还只能建立在“圆圈上”、“圆的里面”和“圆的外面”等上面。③空间观念的形成依靠渐进的过程。学龄前儿童已经认识三角形，但这只是对形状的初步感知，到了低年段，能用“三条边围起来”这样的直观特征来辨识图形。到稍高年段，才开始逐渐获得“三角形”性质方面的认识。④容易感知图形的外显性较强的因素。对“角”的本质程度，也是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边的“张开”程度，甚至我前几天在问学生如果拿一个放大镜看角时，角的大小怎样时，学生居然说角会变大。⑤对图形性质间的关系有一个逐渐理解的过程。一年级时，学生只能辨认长方形、正方形、三角形、圆形的形状；二、三年级时，学生不仅能辨认长方形、正方形、梯形、平行四边形等平面图形，还能从这些图形的基本性质上分析，并对圆柱和球也有了初步的认识；到了四、五年级，能深入地分析图形的性质及关系；而到了六年级，学生则能较好地掌握立体图形的特征。可见学生对图形的掌握及空间观念的发展都是一个渐变的过程。⑥对图形的识别倚赖标准形式。一位老师在上“三角形的认识”时，为了让学生更好地理解“高”的概念，她先从一个正放的三角形入手，让学生画高；接着她把这个三角形旋转一下，变成倒放的三角形了，问学生这还是不是三角形的高，学生就觉得它不是高了。可见学生对图形的识别还仅仅依赖于标准形式，一旦变成了“变式图形”学生识别起来就比较困难了。⑦依据平面再造立体图形的空间想像能力是逐步形成的。有的教师在学生初次学习“长方体”时，用三根“拉杆天线”，将它们的三个点按“长”、“宽”、“高”这三个维度焊接在一起。然后不断地通过拉动天线的三个方向的长度，让学生在头脑中再造相应的形体大小的形象，以此来发展儿童的空间想像能力。
2.2.3儿童形成空间观念的主要知觉障碍。①空间识别障碍。空间识别能力表现出的是空间的方位感，它无论是在日常的生活中，还是在空间几何的学习中，都是一个非常重要的能力。比如估计出要去的某个地方的大致方位，就如平时非常重要的方向感；估计出两个物体之间的大致距离等等，都涉及到空间识别能力。而这些能力在我们今后的生活中作用是非常大的。②视觉知觉障碍。比如：让学生解决“教室粉刷墙壁和天花板，要粉刷多少面积”或是解决“游泳池铺瓷砖”等，其实都是关于长方体的表面积问题，由于学生看到教室是一个完整的长方体，他们就往往会忽略了有一个面不算在内的问题。
3.小学几何教学的主要策略
前面我在“几何学习的基本特点”中也已强调两点：经验是儿童几何学习的起点；操作是儿童构建空间表象的主要形式。针对这两大特点，在几何教学中应注意运用以下三点策略：
3.1注重儿童的生活经验。①利用操作体验来获得对象形状特征的认识。比如“三角形的分类”可以给定学生一些不同形状的三角形，让学生按自己的理解去分类，而不同的分类就显示着他们对对象形体特征的表征。②利用已经建立的有关图形形体经验帮助概括图形的性质。比如学习“平行四边形和梯形”时，是在学生学习了长方形、正方形之后的，学生自然会按分析长方形、正方形的方法，从边、角的方面去分析它们的特征。
3.2观察对象的形体特征是基础。①观察形体特征是获得对象性质的基础。比如长方体中有一种特殊的是有两个面是正方形的，让学生凭空去想象其余四个面有什么关系是十分困难的，必须通过实物的观察，让学生明白它的宽和高相等，因此其余四个面是大小完全相等的，从而获得性质，得出结论。②注意运用变式。正如前面提到的认识三角形的高时，应多采用变式，以加深学生对“高”的概念的理解。又如，认识圆的半径、直径时，不必过于强调概念，而是要多一些变式的练习，以反例来加强学生对半径、直径的认识。
3.2强化动手操作。①搭建活动。我在上“立体图形的整理和复习”时，让学生通过“搭一搭”帮助学生思考在立方体每个面都打一个直穿洞口的长方体，使学生较好地理解被挖掉的有7个小立方体。②剪拼与折叠活动。比如“三角形的内角和”一课，可以让学生通过剪拼、折叠的方法得出三角形的内角和是180度。③实物操作活动。在学习圆锥的体积公式时，必须让学生通过实物操作，发现等底等高的圆柱和圆锥之间的关系，从而得出圆锥体积计算公式。④测量活动。“三角形的内角和”一课，学生最初提出的验证三角形内角和是否为180度的方法都是量一量的方法，这个测量活动也是很有必要的，只有引发认知冲突，才会更深入地解决“误差”的问题，更好地引出剪拼、折叠的方法。⑤作图活动。
4.丰富的想像和有效的交流
发展儿童的空间想像能力是小学几何学习的重要任务，而丰富的想像是发展学生空间想像力的有效方式，空间想像力不仅包括对方位、立体图形的想像，还应该包括对平面表示的三维图形的透视能力，以及对图形的再造、组合或分解能力。（这让我想到一种三维图）有效交流也是促进学生几何语言发展的有效手段。