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高中数学中有许多关于“点”的概念,几何意义的偏多,也有代数意义的.在高考中涉及这些概念的题目很多,必须对这些概念理解准确,涉及到的方法掌握熟练.本文以现行苏教版教材要求为依据,从众多含“点”的概念中略选一二加以阐述.
1.曲线上的点
例1 已知映射f:(x,y)→(x+3y,3x-y).对于直线l上任意一点A,在映射f的作用下,对应的点B仍在直线l上.试求出所有满足条件的直线l的方程.
解析:设直线l的方程为Ax+By+C=0,直线上任一点A(a,b),则B(a+3b,3a-b).根据题意有Aa+Bb+C=0 (1)A(a+3b)+B(3a-b)+C=0 (2)
当B=0时,易得A=0,显然不适合题意;
当B≠0时,由(1)式得b=-Aa+CB
代入(2)式,整理成关于a的式子,得
(2A+3B-3A2B)a+2C-3ACB=0(*)
∵(*)式是关于a的恒等式
∴2A+3B-3A2B=0(3)2C-3ACB=0(4)
由(3)得,AB=-33或3
由(4)得,C=0或AB=233
∴所求直线方程为y=33x或y=-3x.
点评:(1)对于“曲线上的点”这一概念,通常是设点的坐标,将点的坐标代入曲线方程;(2)由A(a,b)是直线上的任意一点,转化为关于a的恒等式是解决本题的关键所在,也是分析过程中的难点,充分体现了转化与化归这一重要数学思想.
2.零点、极值点
这两个概念本质上是数,不是点.零点是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标,极值点是函数y=f(x)取得极值时自变量x的取值.理解了这两个概念的本质,解题方法因此而产生.
例2 试讨论函数f(x)=a|x|-x-a(a>0)的零点个数.
解析:由f(x)=0得a|x|=x+a
两边同除以a,得|x|=1ax+1
分别设g(x)=|x|,h(x)=1ax+1在同一坐标系中分别画出g(x)和h(x)的图像.
易得,当0 当a>1时,斜率0 点评:根据零点的概念将零点转化为方程f(x)=0的根,通过合理移项,变形,将“一个函数与x轴的交点个数问题”变成“两个函数的交点个数问题”,进行求解,一系列过程充分体现了转化与化归、数形结合等重要数学思想.
3.交点
例3 设A1、A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的左、右两个顶点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点.求直线A1P1与A2P2的交点P的轨迹方程.
解析:A1(-a,0),A2(a,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0),且y0≠0,
由P1、P2在椭圆上,将坐标代入,解得:y02x02-a2=-b2a2
又直线A1P1的方程:y=y0x0+a(x+a)直线A2P2的方程:y=-y0x0-a(x-a)
两式相乘,得y2=-y02x02-a2(x2-a2)
所以,所求轨迹方程是x2a2-y2b2=1(y≠0)
点评:交点就是联立方程组,体现方程思想.求两条直线交点的轨迹方程,是将两条直线方程联立,求出交点坐标,后消去x0,y0得到x,y之间的等量关系.上述过程简化为两式直接相乘,(x,y)就是两直线的交点,所得方程就是交点的轨迹方程.这就是解决交点轨迹问题的“交轨法”.
4.对称点、中点
苏教版必修2.P95第21题:已知M(-1,3),N(6,2).点P在x轴上,且使PM+PN取最小值,求点P的坐标.
解析:M关于x轴的对称点是M′(-1,-3),从而PM+PN=PM′+PN≥M′N,当且仅当P、M′、N三点共线时,PM+PN取得最小值M′N.设P(x,0),根据kM′N=kPN,解得P(165,0).
点评:通过对称点将问题化归为两点之间线段最短这一数学常识,问题很容易得到解决.在求已知点关于已知直线对称的点的坐标问题的一般情形中,设对称点的坐标为(x0,y0),利用“一个中点和一个垂直”两个条件建立关于x0和y0的方程组求解.这里使用了方程的思想解决“设点求点”问题.
5.定点
动曲线过定点问题在考试中常出现.
例如:不论m取何值,直线l:x+y-1+m(2x-y+1)=0恒过定点 .
解析一:从代数意义看其本质,直线方程就是关于m的恒等式.
故有2x-y+1=0x+y-1=0,解得x=0,y=1.
此方程组的几何意义就是两直线的交点,该点就是动直线l所经过的定点(0,1).
解析二:从特殊化处理策略研究本题.取m=0,1,分别得到直线l1:x+y-1=0,l2:x=0,l1、l2的交点为(0,1).代入直线l的方程检验,等式成立与m无关,故为定点.
点评:两种角度都切入题设条件的本质,运用基本的数学思想方法进行思维训练必然有利于在考试中迅速找到解题思路.2008年江苏高考第18题第(3)小问:x2+y2+2x-(b+1)y+b=0过定点问题自然会迎刃而解.下面的例4是2009南京一模第18题,就是由这道高考题改编,我们看其中有关问题.
例4 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2 px上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点C是抛物线上的动点.若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证:圆C过定点.
解析:在第(2)问中,设C(t24,t),求出圆C的方程:x2+y2-t22x-2ty+t2-4=0.
(方法一)因为圆C是动圆.
所以当t=0时,圆C的方程为x2+y2-4=0,①
当t=2时,圆C的方程为x2+y2-2x-4y=0.②
联立①②,得x2+y2-4=0,x2+y2-2x-4y=0.解得x=2,y=0,或x=-65,y=85.
把(2,0)代入圆C方程,左边=22+02-t22-2t•0+t2-4=0=右边,方程成立,所以圆C恒过定点(2,0).
把(-65,35)代入圆C的方程得,左边=85t2-165t不恒为0,即随着t的变化而变化.
故点(-65,85)可能不在圆C上.
所以圆C恒过定点(2,0).
(方法二)将方程x2+y2-t22x-2ty+t2-4=0整理为
(1-x2)t2-2yt+(x2+y2-4)=0.①
①式对任意实数t都成立的充要条件是1-x2=0,-2y=0,x2+y2-4=0.即x=2,y=0.
所以圆C恒过定点(2,0).
6.切点
例5 已知曲线C:y=13x3上一点P(2,83),则过点P的曲线C的切线方程是.
解析:设切点为A(x0,13x03).以A为切点的切线方程为y-13x03=x02(x-x0),又切线过P(2,83),所以将P点代入切线方程,解得x0=-1或2.
所以所求切线方程:3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.
点评:虽然点P在曲线C上,所求切线可以P为切点,但根据题设要求,显然P不一定为切点.“过某点的切线问题”的正确解法是设切点.
可以发现,教材中这些“点”的内涵丰富,由此衍生出的问题千变万化,不胜枚举.在教材中,还有“定比分点”、“三角形的心”等其他含“点”的概念,通过基本概念进行数学语言转换作为解题的切入点,充分体现了函数与方程、数形结合、转化与化归等重要数学思想和解题策略.
(作者:谭爱平,江苏省泰兴市第三高级中学)
1.曲线上的点
例1 已知映射f:(x,y)→(x+3y,3x-y).对于直线l上任意一点A,在映射f的作用下,对应的点B仍在直线l上.试求出所有满足条件的直线l的方程.
解析:设直线l的方程为Ax+By+C=0,直线上任一点A(a,b),则B(a+3b,3a-b).根据题意有Aa+Bb+C=0 (1)A(a+3b)+B(3a-b)+C=0 (2)
当B=0时,易得A=0,显然不适合题意;
当B≠0时,由(1)式得b=-Aa+CB
代入(2)式,整理成关于a的式子,得
(2A+3B-3A2B)a+2C-3ACB=0(*)
∵(*)式是关于a的恒等式
∴2A+3B-3A2B=0(3)2C-3ACB=0(4)
由(3)得,AB=-33或3
由(4)得,C=0或AB=233
∴所求直线方程为y=33x或y=-3x.
点评:(1)对于“曲线上的点”这一概念,通常是设点的坐标,将点的坐标代入曲线方程;(2)由A(a,b)是直线上的任意一点,转化为关于a的恒等式是解决本题的关键所在,也是分析过程中的难点,充分体现了转化与化归这一重要数学思想.
2.零点、极值点
这两个概念本质上是数,不是点.零点是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标,极值点是函数y=f(x)取得极值时自变量x的取值.理解了这两个概念的本质,解题方法因此而产生.
例2 试讨论函数f(x)=a|x|-x-a(a>0)的零点个数.
解析:由f(x)=0得a|x|=x+a
两边同除以a,得|x|=1ax+1
分别设g(x)=|x|,h(x)=1ax+1在同一坐标系中分别画出g(x)和h(x)的图像.
易得,当0
3.交点
例3 设A1、A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的左、右两个顶点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点.求直线A1P1与A2P2的交点P的轨迹方程.
解析:A1(-a,0),A2(a,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0),且y0≠0,
由P1、P2在椭圆上,将坐标代入,解得:y02x02-a2=-b2a2
又直线A1P1的方程:y=y0x0+a(x+a)直线A2P2的方程:y=-y0x0-a(x-a)
两式相乘,得y2=-y02x02-a2(x2-a2)
所以,所求轨迹方程是x2a2-y2b2=1(y≠0)
点评:交点就是联立方程组,体现方程思想.求两条直线交点的轨迹方程,是将两条直线方程联立,求出交点坐标,后消去x0,y0得到x,y之间的等量关系.上述过程简化为两式直接相乘,(x,y)就是两直线的交点,所得方程就是交点的轨迹方程.这就是解决交点轨迹问题的“交轨法”.
4.对称点、中点
苏教版必修2.P95第21题:已知M(-1,3),N(6,2).点P在x轴上,且使PM+PN取最小值,求点P的坐标.
解析:M关于x轴的对称点是M′(-1,-3),从而PM+PN=PM′+PN≥M′N,当且仅当P、M′、N三点共线时,PM+PN取得最小值M′N.设P(x,0),根据kM′N=kPN,解得P(165,0).
点评:通过对称点将问题化归为两点之间线段最短这一数学常识,问题很容易得到解决.在求已知点关于已知直线对称的点的坐标问题的一般情形中,设对称点的坐标为(x0,y0),利用“一个中点和一个垂直”两个条件建立关于x0和y0的方程组求解.这里使用了方程的思想解决“设点求点”问题.
5.定点
动曲线过定点问题在考试中常出现.
例如:不论m取何值,直线l:x+y-1+m(2x-y+1)=0恒过定点 .
解析一:从代数意义看其本质,直线方程就是关于m的恒等式.
故有2x-y+1=0x+y-1=0,解得x=0,y=1.
此方程组的几何意义就是两直线的交点,该点就是动直线l所经过的定点(0,1).
解析二:从特殊化处理策略研究本题.取m=0,1,分别得到直线l1:x+y-1=0,l2:x=0,l1、l2的交点为(0,1).代入直线l的方程检验,等式成立与m无关,故为定点.
点评:两种角度都切入题设条件的本质,运用基本的数学思想方法进行思维训练必然有利于在考试中迅速找到解题思路.2008年江苏高考第18题第(3)小问:x2+y2+2x-(b+1)y+b=0过定点问题自然会迎刃而解.下面的例4是2009南京一模第18题,就是由这道高考题改编,我们看其中有关问题.
例4 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2 px上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点C是抛物线上的动点.若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证:圆C过定点.
解析:在第(2)问中,设C(t24,t),求出圆C的方程:x2+y2-t22x-2ty+t2-4=0.
(方法一)因为圆C是动圆.
所以当t=0时,圆C的方程为x2+y2-4=0,①
当t=2时,圆C的方程为x2+y2-2x-4y=0.②
联立①②,得x2+y2-4=0,x2+y2-2x-4y=0.解得x=2,y=0,或x=-65,y=85.
把(2,0)代入圆C方程,左边=22+02-t22-2t•0+t2-4=0=右边,方程成立,所以圆C恒过定点(2,0).
把(-65,35)代入圆C的方程得,左边=85t2-165t不恒为0,即随着t的变化而变化.
故点(-65,85)可能不在圆C上.
所以圆C恒过定点(2,0).
(方法二)将方程x2+y2-t22x-2ty+t2-4=0整理为
(1-x2)t2-2yt+(x2+y2-4)=0.①
①式对任意实数t都成立的充要条件是1-x2=0,-2y=0,x2+y2-4=0.即x=2,y=0.
所以圆C恒过定点(2,0).
6.切点
例5 已知曲线C:y=13x3上一点P(2,83),则过点P的曲线C的切线方程是.
解析:设切点为A(x0,13x03).以A为切点的切线方程为y-13x03=x02(x-x0),又切线过P(2,83),所以将P点代入切线方程,解得x0=-1或2.
所以所求切线方程:3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.
点评:虽然点P在曲线C上,所求切线可以P为切点,但根据题设要求,显然P不一定为切点.“过某点的切线问题”的正确解法是设切点.
可以发现,教材中这些“点”的内涵丰富,由此衍生出的问题千变万化,不胜枚举.在教材中,还有“定比分点”、“三角形的心”等其他含“点”的概念,通过基本概念进行数学语言转换作为解题的切入点,充分体现了函数与方程、数形结合、转化与化归等重要数学思想和解题策略.
(作者:谭爱平,江苏省泰兴市第三高级中学)