解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们在数列学习方面应达到的目标.
　　例1 已知a1=3且an=Sn-1+2n,求an及Sn.
　　解:∵an=Sn-Sn-1,∴Sn-2Sn-1=2n,∴Sn2n-Sn-12n-1=1
　　设bn=Sn2n则bn是公差为1的等差数列,∴bn=b1+n-1又∵b1=S12=a12=32,
　　∴Sn2n=n+12,∴Sn=(2n+1)2n-1,∴当n≥2时an=Sn-Sn-1=(2n+3)2n-2
　　∴an=3(2n+3)•2n-2(n=1)(n≥2),Sn=(2n+1)2n-1
　　注①函数思想:很多数列的通项公式与求和公式都可以看作是n的函数,所以有关数列的某些问题可以化为函数问题求解.这一点在求有关递推数列时尤为重要。
　　注②分类讨论思想:已知Sn求an时,也要进行分类;
　　例2 已知a1=1,Sn=n2an(n≥1),求an及Sn.
　　解:an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1从而有an=n-1n+1an-1
　　∵a1=1,∴a2=13,a3=24×13,a4=35×24×13,a5=46×35×24×13,
　　∴an=(n-1)(n-2)•…×3×2×1(n+1)n(n-1)•…×4×3=2n(n+1),∴Sn=n2an=2nn+1
　　数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容.数列求和的常用方法主要有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。对于性质主要是理解(也就是说自己能推导出来),具体运用时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项公式的“累积”法,是我们求其他数列通项公式的一种经验.又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是数列求和的重要技巧.
　　例3 求和1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n.
　　解:am=112+3+…+n=2(1n-1n+1)
　　∴Sn=2(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1
　　注3:本题的关键是找数列的通项结构。重点把握通项公式和前n项和公式
　　例4 求和:S=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1.
　　解:Sn=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1①
　　xSn=x+2x2+3x3+……+n-1xn-1+nxn②
　　①(②1-xSn=1+x+x2+……+xn-1-nxn,
　　当x≠1时,1-xSn=1-xn1-x-nxn=1-xn-nxn+nxn+11-x=1-1+nxn+nxn+11-x
　　∴Sn=1-1+nxn+nxn+11-x2;
　　当x=1时,Sn=1+2+3+4+……n=n1+n2
　　注4:用等比数列求和公式应分为Sn=a1(1-qn)1-q(q≠1)及Sn=na1(q=1);
　　解决有关等差数列问题时,要注意an,Sn,d,n,a1之间的关系以及等差数列的性质。
　　例5 一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差.
　　解一:设首项为a1,公差为d则12a1+12×112d=3546(a1+d)+6×52×2d6a1+6×52×2d=3217d=5
　　解二:S奇+S偶=354S偶S奇=3227S偶=192S奇=162由S偶-S奇=6dd=5
　　例6 设数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,
　　Tn为数列{Snn}的前n项和,求Tn.
　　法一:利用基本元素分析法
　　设{an}首项为a1,公差为d,则S7=7a1+7×62d=7S15=15a1+15×142d=75∴a1=-2d=1
　　∴Sn=-2+n(n-1)2∴Snn=-2+n-12=n2-52此式为n的一次函数
　　∴{Snn}为等差数列∴Tn=14n2-94n
　　法二:{an}为等差数列,设Sn=An2+Bn∴S7=A×72+7B=7S15=A×152+15B=75
　　解之得:A=12B=-52∴Sn=12n2-52n,下略
　　注5:法二利用了等差数列前n项和的性质。
　　
　　解决有关等比数列问题时,要注意an,Sn,q,n,a1之间的关系以及等比数列的性质。
　　例7 在等比数列an中,a2=-2,a5=54,求a8
　　解:a8=a5q3=a5•a5a2=54×54-2=-1458
　　另解:∵a5是a2与a8的等比中项,∴542=a8×-2∴a8=-1458
　　例8 三数成等比数列,若将第三个数减去32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个数减去4,则又成等比数列,求原来三个数.
　　解:设原来三个数为a,aq,aq2则必有2aq=a+(aq2-32)①,(aq-4)2=a(aq2-32)②
　　由①:q=4a+2a代入②得:a=2或a=59从而q=5或13
　　∴原来三个数为2,10,50或29,269,3389
　　利用有关数列知识和方法来解决.解答数列题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.