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借“题”发挥是指教师在读懂教材内涵，尊重教材教学要求的基础上，根据学生学习的实际发展需求，以数学课本中的题材为教学依据，在教学过程中对教材进行适度开发，丰富学习资源，达到启迪学生智慧，发展学生思维的目的。
一、活用“插图”。唤醒认知经验
以主题图的形式设计与学生生活紧密联系、富有儿童情趣的主题场景，是义务教育课程标准实验教科书的一大特色。它沟通了数学与生活的联系，拉近了数学与学生的距离，体现了“要从学生已有的知识经验出发”教学的基本理念。教学前，我们必须对主题图场景进行分析，达到对主题图的内涵理解到位，在课堂教学中灵活呈现主题图的学习材料，激活学生已有的认知经验，激发学生的求知欲望，提高教学效率。
张齐华老师执教三年级数学上册(凤凰版)“认识分数”一课时，对教材主题图情景这样处理：
师：叮叮和当当在一次郊游中遇到一些与数学有关的问题，我们一起来看一看。(媒体出示课本主题图)谁能帮他们把东西分一分?4个苹果怎么分?
生：把4个苹果平均分成2份，他们每人分到2个苹果。(媒体出示分的过程。)
师：怎样分2瓶水呢?(生答略。)每样东西分得同样多，在数学上我们把它叫做——
生(齐)：平均分。
师：可是蛋糕只有一个，还能平均分给两个同学吗?
生：能。
师：每人分得多少?
生：每人分得蛋糕的一半。
师：是这样分吗?(媒体演示将一个蛋糕平均分成2份)把蛋糕平均分成2份，每份都是蛋糕的一半，可是这“一半”该用什么数来表示呢?
通过多媒体动画，变“静”为“动”，充分展示了主题图情景的数学内涵，唤醒了学生头脑中已有的知识和生活经验，并由此引发学生的认知冲突(该用什么数来表示)，激发学生的数学思考。
在四年级数学“混合运算”第一课时中，教材主题图呈现学生熟悉的购物情景，把混合运算的学习与解决简单的实际问题相融合，帮助学生借助实际问题中的事理和数量关系，理解混合运算的运算顺序，体现把“解决实际问题的教学和计算教学”相结合的新课程教学要求。分析教材时，教师应认识到，引导学生结合课本提供的素材，理解题中的事理和把握常见的基本数量关系是学生正确列式的基础，是帮助学生认识运算顺序的“搭手架”，是学生进行数学思维的凭借。因此，在学习新知前，帮助学生弄清事理，复习数量关系，就显得非常重要。在课堂教学中，笔者采用“情景前置”的方式，设置“复习”这一教学环节：
课件显示课本主题图(上图)，并出示小军提的问题：我买笔记本用了多少元钱?
生：小军用了5元。
师：你是怎么想的?
生：图上写的是笔记本售价5元。
师：(指着图上的标价)这个5元就是指小军买笔记本用的钱数吗?
生：不是，它是指笔记本的单价，也就是买一本笔记本用的钱数。我认为小军提的这个问题不好解答，他没有说明买了几本笔记本。
师：要计算商品的总价，需要知道哪些条件?
生：要知道单价和数量。
(课件出示——小军：我买3本笔记本用了多少元钱?)
师：现在可以回答了吗?
生：3x5=15(元)，也就是说小军买3本笔记本，一共用了15元。
(课件显示——小晴：我买2盒水彩笔花了多少元钱?)
生：不能算。因为不知道每盒水彩笔的价钱。
(课件呈现每盒水彩笔的价钱：18元。)
生：18x2=36(元)，也就是说小晴买2盒水彩笔一共用了36元。
课件显示——小晴：我买2盒水彩笔应找回多少元?
生：需要知道小晴付给营业员多少钱，才能用付出的钱数减去买水彩笔的钱数，算出找回的钱数。
(课件显示——小晴：我买2盒水彩笔，付了50元，应找回多少元?
生：50-36=14(元)。
上面的教学设计根据学生的认知需要，充分利用课本提供的图文资源，经过适当改编，就成为一个非常有效的课程教学资源。这样既帮助教师了解学生的数学现实水平，有利于对课堂教学进行调控，又帮助学生唤醒已有知识经验，起到“先行组织者”的作用。“陷阱”式的问题，改变了常规的提问形式，激发了学生的“思辨”意识，增强了学生的“思辨”能力，让课堂呈现更强的思维活力。
二、改编例题，培养创新思维
数学课本中的例题是数学知识、数学思想方法和数学基本技能的承载体，是教师教学的主要参考依据。由于受篇幅的限制，课本中的例题通常只能以简练的编排方式呈现一定的教学内容，给教师留下了较大的自主阅读和理解的空间。这就要求教师不应只是教材的忠实执行者，还应是教材的开发者和创造者。教师要结合所教学生的认知特点和思维发展的需求，根据教学的知识点在知识体系中的地位和作用，通过改变原题条件、结论、情境等方法来加强学生对所学知识和解题方法的理解、掌握和变通，由此及彼，培养学生的创造性思维。
例如教学六年级数学上册中“替换的策略”，教材要求学生根据“倍数”关系和“差数”关系灵活运用替换的策略解决问题。但课本例题是这样的：“小明把720毫升是汁倒人6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的1/3。小杯和大杯的容量各多少毫升?”这是根据倍数关系来进行等量替换，学生还是比较容易解决的。如果只停留在“教教材”的层面，学生的思维是狭窄的、模式化的。碰到课本“练一练”中根据“差数”关系运用替换的策略解决问题时，大部分学生就会出现思维的“僵滞”，找不到解题的路径。教师应充分借用本例题的素材资源，在学生已有知识和经验的基础上进行引导和启发：
师：如果把题中“小杯的容量是大杯的1/3”这个条件改变成“大杯的容量比小杯的容量多160毫升”，还能用替换的策略来解决问题吗?
生：只要把6个小杯换成6个大杯就能解决问题。
(课件显示：把6个小杯换成6个大杯。)
师：我们来看看，这时候再倒果汁会发生什么情况?
生：这时候把6个小杯里的果汁倒入6个大杯，果汁就不够。
师：每个大杯还能装多少果汁?
生：还能装160毫升的果汁。
师：6个大杯一共还能多装多少果汁?原来这720毫升的果汁够装满这7个大杯吗?
生：小杯换成大杯，一个大杯就要多装160毫升果汁，6个大杯就要多装960毫升果汁。720毫升肯定不够。
师：要装满这7个大杯，咋办呢?
生：再去买960毫升果汁就可以装满了。
师：也就是说，要装满这7个大杯，需要多少果汁?
生：720毫升加960毫升，就是需要1680毫升果汁。
师：知道7个大杯装1680毫升果汁，问题可以解决了吗?(答：略。)
只要用好、用活例题素材，一题 多变，由此及彼，举一反三，丰富例题内涵，拓展知识外延，就能发展学生的数学思维。
三、妙用习题。完善认知结构
这里的文本习题专指教材里的数学练习题，它是教材的重要组成部分。学生数学学习离不开数学习题的练习。习题研究专家戴再平指出：“数学习题有着知识的功能、教育的功能和评价的功能。学生一旦进入解题这一过程，就接受着一种‘思维的体操’的训练。”通过数学习题的练习，可以使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能技巧，更可以发展学生的智力，特别是能帮助学生触类旁通，在练习过程中不断完善认知结构，形成科学的思维方式，养成良好的思维习惯，提高学生的思维品质。因此，我们在教学时，就需要认真研究每一道习题，把握其教学要义，发挥每一道习题的最大效能，做到“题尽其能”。
五年级数学上册“多边形面积的计算·整理与练习”中有这样一道习题：下面四个图形的面积有什么关系?你是怎样想的?
教学时，我没有简单地让学生“就题做题”、“静态思考”，而借助多媒体设计成动画形式的一组习题，让学生在动态中观察、比较、分析和思考，完善认知结构。
1 课件：
在长方形ABCD中线段CD不变，移动线段AB，可以形成多个平行四边形ABCD。这些平行四边形的面积和长方形ABCD的面积有什么关系?为什么?(使学生清晰地认识到等底等高的平行四边形与长方形之间的面积关系。)
2 课件：
在长方形ABCD中，ABf：有一点P，移动P点，形成多个三角形CPD。这些三角形的面积有什么关系?为什么?它们和长方形ABCD的面积有什么关系?为什么?(使学生清晰地认识到等底等高的三角形之间的面积关系，以及每个三角形面积与长方形面积间的关系。)
3 课件：
在长方形ABCD中，移动A点形成图1～图4图形。它们都是什么图形?面积怎样计算?
当A和B重合时形成图4，形成什么图形?面积怎样计算?
梯形ABCD和三角形CBD的面积计算是否也可以像计算梯形的面积那样来计算?如果可行，上底、下底和高又分别是多少?(通过多媒体动画演示，挑战性思考，使学生对长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式有一个整体和辩证的认识。)
4 回到课本习题。
先分别用学过的面积计算方法计算出四个图形的面积(见前习题)，再试一试能不能用梯形面积计算的方法计算出长方形、平行四边形、三角形的面积，比较两次计算的结果，说说你有什么发现?(引导学生发现，长方形、平行四边形、三角形的面积计算都可以用梯形的面积计算方法来计算；在高相等的条件下，面积的大小决定于上底与下底之和的大小。)
5 你会用上面的发现来思考，在点子图上画出面积和平行四边形一样大小的三角形和梯形吗?
通过这样的教学设计，不仅能帮助学生完成本课习题，有效地进行了“整理与练习”，更重要的是教师发挥了主观能动性，让学生较完整地认识了各知识点之间的内在联系，丰富和完善了学生的认知结构，使学生的数学知识系统化，有效地发展了学生的数学思维。
一、活用“插图”。唤醒认知经验
以主题图的形式设计与学生生活紧密联系、富有儿童情趣的主题场景，是义务教育课程标准实验教科书的一大特色。它沟通了数学与生活的联系，拉近了数学与学生的距离，体现了“要从学生已有的知识经验出发”教学的基本理念。教学前，我们必须对主题图场景进行分析，达到对主题图的内涵理解到位，在课堂教学中灵活呈现主题图的学习材料，激活学生已有的认知经验，激发学生的求知欲望，提高教学效率。
张齐华老师执教三年级数学上册(凤凰版)“认识分数”一课时，对教材主题图情景这样处理：
师：叮叮和当当在一次郊游中遇到一些与数学有关的问题，我们一起来看一看。(媒体出示课本主题图)谁能帮他们把东西分一分?4个苹果怎么分?
生：把4个苹果平均分成2份，他们每人分到2个苹果。(媒体出示分的过程。)
师：怎样分2瓶水呢?(生答略。)每样东西分得同样多，在数学上我们把它叫做——
生(齐)：平均分。
师：可是蛋糕只有一个，还能平均分给两个同学吗?
生：能。
师：每人分得多少?
生：每人分得蛋糕的一半。
师：是这样分吗?(媒体演示将一个蛋糕平均分成2份)把蛋糕平均分成2份，每份都是蛋糕的一半，可是这“一半”该用什么数来表示呢?
通过多媒体动画，变“静”为“动”，充分展示了主题图情景的数学内涵，唤醒了学生头脑中已有的知识和生活经验，并由此引发学生的认知冲突(该用什么数来表示)，激发学生的数学思考。
在四年级数学“混合运算”第一课时中，教材主题图呈现学生熟悉的购物情景，把混合运算的学习与解决简单的实际问题相融合，帮助学生借助实际问题中的事理和数量关系，理解混合运算的运算顺序，体现把“解决实际问题的教学和计算教学”相结合的新课程教学要求。分析教材时，教师应认识到，引导学生结合课本提供的素材，理解题中的事理和把握常见的基本数量关系是学生正确列式的基础，是帮助学生认识运算顺序的“搭手架”，是学生进行数学思维的凭借。因此，在学习新知前，帮助学生弄清事理，复习数量关系，就显得非常重要。在课堂教学中，笔者采用“情景前置”的方式，设置“复习”这一教学环节：
课件显示课本主题图(上图)，并出示小军提的问题：我买笔记本用了多少元钱?
生：小军用了5元。
师：你是怎么想的?
生：图上写的是笔记本售价5元。
师：(指着图上的标价)这个5元就是指小军买笔记本用的钱数吗?
生：不是，它是指笔记本的单价，也就是买一本笔记本用的钱数。我认为小军提的这个问题不好解答，他没有说明买了几本笔记本。
师：要计算商品的总价，需要知道哪些条件?
生：要知道单价和数量。
(课件出示——小军：我买3本笔记本用了多少元钱?)
师：现在可以回答了吗?
生：3x5=15(元)，也就是说小军买3本笔记本，一共用了15元。
(课件显示——小晴：我买2盒水彩笔花了多少元钱?)
生：不能算。因为不知道每盒水彩笔的价钱。
(课件呈现每盒水彩笔的价钱：18元。)
生：18x2=36(元)，也就是说小晴买2盒水彩笔一共用了36元。
课件显示——小晴：我买2盒水彩笔应找回多少元?
生：需要知道小晴付给营业员多少钱，才能用付出的钱数减去买水彩笔的钱数，算出找回的钱数。
(课件显示——小晴：我买2盒水彩笔，付了50元，应找回多少元?
生：50-36=14(元)。
上面的教学设计根据学生的认知需要，充分利用课本提供的图文资源，经过适当改编，就成为一个非常有效的课程教学资源。这样既帮助教师了解学生的数学现实水平，有利于对课堂教学进行调控，又帮助学生唤醒已有知识经验，起到“先行组织者”的作用。“陷阱”式的问题，改变了常规的提问形式，激发了学生的“思辨”意识，增强了学生的“思辨”能力，让课堂呈现更强的思维活力。
二、改编例题，培养创新思维
数学课本中的例题是数学知识、数学思想方法和数学基本技能的承载体，是教师教学的主要参考依据。由于受篇幅的限制，课本中的例题通常只能以简练的编排方式呈现一定的教学内容，给教师留下了较大的自主阅读和理解的空间。这就要求教师不应只是教材的忠实执行者，还应是教材的开发者和创造者。教师要结合所教学生的认知特点和思维发展的需求，根据教学的知识点在知识体系中的地位和作用，通过改变原题条件、结论、情境等方法来加强学生对所学知识和解题方法的理解、掌握和变通，由此及彼，培养学生的创造性思维。
例如教学六年级数学上册中“替换的策略”，教材要求学生根据“倍数”关系和“差数”关系灵活运用替换的策略解决问题。但课本例题是这样的：“小明把720毫升是汁倒人6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的1/3。小杯和大杯的容量各多少毫升?”这是根据倍数关系来进行等量替换，学生还是比较容易解决的。如果只停留在“教教材”的层面，学生的思维是狭窄的、模式化的。碰到课本“练一练”中根据“差数”关系运用替换的策略解决问题时，大部分学生就会出现思维的“僵滞”，找不到解题的路径。教师应充分借用本例题的素材资源，在学生已有知识和经验的基础上进行引导和启发：
师：如果把题中“小杯的容量是大杯的1/3”这个条件改变成“大杯的容量比小杯的容量多160毫升”，还能用替换的策略来解决问题吗?
生：只要把6个小杯换成6个大杯就能解决问题。
(课件显示：把6个小杯换成6个大杯。)
师：我们来看看，这时候再倒果汁会发生什么情况?
生：这时候把6个小杯里的果汁倒入6个大杯，果汁就不够。
师：每个大杯还能装多少果汁?
生：还能装160毫升的果汁。
师：6个大杯一共还能多装多少果汁?原来这720毫升的果汁够装满这7个大杯吗?
生：小杯换成大杯，一个大杯就要多装160毫升果汁，6个大杯就要多装960毫升果汁。720毫升肯定不够。
师：要装满这7个大杯，咋办呢?
生：再去买960毫升果汁就可以装满了。
师：也就是说，要装满这7个大杯，需要多少果汁?
生：720毫升加960毫升，就是需要1680毫升果汁。
师：知道7个大杯装1680毫升果汁，问题可以解决了吗?(答：略。)
只要用好、用活例题素材，一题 多变，由此及彼，举一反三，丰富例题内涵，拓展知识外延，就能发展学生的数学思维。
三、妙用习题。完善认知结构
这里的文本习题专指教材里的数学练习题，它是教材的重要组成部分。学生数学学习离不开数学习题的练习。习题研究专家戴再平指出：“数学习题有着知识的功能、教育的功能和评价的功能。学生一旦进入解题这一过程，就接受着一种‘思维的体操’的训练。”通过数学习题的练习，可以使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能技巧，更可以发展学生的智力，特别是能帮助学生触类旁通，在练习过程中不断完善认知结构，形成科学的思维方式，养成良好的思维习惯，提高学生的思维品质。因此，我们在教学时，就需要认真研究每一道习题，把握其教学要义，发挥每一道习题的最大效能，做到“题尽其能”。
五年级数学上册“多边形面积的计算·整理与练习”中有这样一道习题：下面四个图形的面积有什么关系?你是怎样想的?
教学时，我没有简单地让学生“就题做题”、“静态思考”，而借助多媒体设计成动画形式的一组习题，让学生在动态中观察、比较、分析和思考，完善认知结构。
1 课件：
在长方形ABCD中线段CD不变，移动线段AB，可以形成多个平行四边形ABCD。这些平行四边形的面积和长方形ABCD的面积有什么关系?为什么?(使学生清晰地认识到等底等高的平行四边形与长方形之间的面积关系。)
2 课件：
在长方形ABCD中，ABf：有一点P，移动P点，形成多个三角形CPD。这些三角形的面积有什么关系?为什么?它们和长方形ABCD的面积有什么关系?为什么?(使学生清晰地认识到等底等高的三角形之间的面积关系，以及每个三角形面积与长方形面积间的关系。)
3 课件：
在长方形ABCD中，移动A点形成图1～图4图形。它们都是什么图形?面积怎样计算?
当A和B重合时形成图4，形成什么图形?面积怎样计算?
梯形ABCD和三角形CBD的面积计算是否也可以像计算梯形的面积那样来计算?如果可行，上底、下底和高又分别是多少?(通过多媒体动画演示，挑战性思考，使学生对长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式有一个整体和辩证的认识。)
4 回到课本习题。
先分别用学过的面积计算方法计算出四个图形的面积(见前习题)，再试一试能不能用梯形面积计算的方法计算出长方形、平行四边形、三角形的面积，比较两次计算的结果，说说你有什么发现?(引导学生发现，长方形、平行四边形、三角形的面积计算都可以用梯形的面积计算方法来计算；在高相等的条件下，面积的大小决定于上底与下底之和的大小。)
5 你会用上面的发现来思考，在点子图上画出面积和平行四边形一样大小的三角形和梯形吗?
通过这样的教学设计，不仅能帮助学生完成本课习题，有效地进行了“整理与练习”，更重要的是教师发挥了主观能动性，让学生较完整地认识了各知识点之间的内在联系，丰富和完善了学生的认知结构，使学生的数学知识系统化，有效地发展了学生的数学思维。