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在以往的教学中,常常将数学知识抽象化的过程演变成“匆匆走过场,急忙奔结论”,这种做法体现了对“结果”过分重视,忽视了对“过程”的完美追求。
一位教师这样教学“比”的概念:(1)由2杯果汁和3杯牛奶的份数关系引出:果汁与牛奶杯数的比是2比3,牛奶与果汁杯数的比是3比2。(2)由两组路程、时间的数量求出速度,指出也可用比来表示路程和时间的关系,得出所走路程和时间的比。(3)提问学生两个数的比可以表示什么?
剖析上述案例,存在以下弊端:(1)感知材料单薄。教师提供给学生的实例仅有两个。(2)学生被动参与学习。学生没有自主探索的机会,缺乏对概念的真正的理解。(3)教师肤浅概括。教师让学生观察两实例,生硬地告诉学生:两个数的比实际上就表示两个数相除。如何让学生在对数学概念、性质、法则、公式等知识的抽象过程中经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维与操作过程呢?应从以下三方面努力:
第一、研究的样本要全一些
概念、性质、法则和公式的得出和推导过程实质是学生经历不完全归纳法的过程。首先,教师应该多为学生提供探究的样本和材料,或是引导学生参与举例和佐证,这样,结论的出现才更顺畅。可以这样重构比的感知材料:(1)由2杯果汁和3杯牛奶的份数关系引出:果汁与牛奶杯数的比是2比3,牛奶与果汁杯数的比是3比2。(2)已知两组路程、时间的数量,让学生求出速度,并指出也可用比来表示路程和时间的关系,得出所走路程和时间的比。(3)出示体育老师购买篮球和足球的数量和价钱,让学生说说可求出什么,如何用比来表示总价和数量的关系呢?(4)由张阿姨3天内加工校服的数量说说可求出什么,这里是否也有能用比来表示的关系呢?(5)让学生举例说说生活中还有哪些数量之间的关系也可用比来表示。用贴近学生生活的各类数量关系展示比的各种“面孔”,再利用精当的板书,如900÷15=900:15 350÷10=350:10启发学生领悟,至此,学生对“比表示两个数相除”这一本质属性的理解也就水到渠成了!
第二、猜想和验证要多一些
学生在对数学知识的抽象过程中离不开归纳。归纳是数学的基本思考方式,而归纳的起点是猜想。面对一个问题情境,首先应当对此情境进行仔细观察,通过对几个具体案例的比较、试验,发现其中蕴含着的数学模式,许多的数学发现就是在这个过程中“闪现”出来的。此时,“归纳猜测”也就在问题解决者的头脑中形成了,再通过形式化、符号化的数学表达,数学猜想也就完成了。再把已经得到的数学归纳猜想回到问题情境中进行检验,只有通过检验,归纳猜想才算有了初步的成果,其结果的正确性,需要数学的演绎推理进行证明,这个过程属于从特殊到一般的过程。
请看张齐华老师教学“运算律”的过程给我们的有益启示:课始,引导学生进行了如下的知识发现和探究过程:(1)口算,猜测规律。出示三组口算题,根据每两题得数相等的现象,让学生说出六道题有什么规律?进而发问:只有这三组算式得数相等吗?以此引出猜测:任意两个数相加,交换它们的位置,和都不变。(2)学生举例验证。(在此过程中。张老师不断启发学生多举例,还注意例子的全面性,即从一位数加一位数到两位数相加、三位数相加、多位数相加,从整数相加到分数相加甚至小数相加。)(3)引导归纳,得出加法交换律的结论。(4)类比联想,指向乘法交换律。(5)反思、反疑结论,演绎推理证明(介绍数学家证明乘法交换律的方法)。从张老师的课可以看出,他并没有急着进行规律的抽象,他更关注的是学生是否经历了完整的枚举归纳和推理的过程,更关注的是培养学生科学严谨的研究方法。
第三、追问和推敲要深一些
对概念、规律、性质的质疑和追问,体现了科学严谨的研究态度。这个结论正确吗?有没有特殊的例子?这些问题反映了人的一种反思意识,在实际教学中,反思问题往往容易为人们所疏忽。
我们应该像张老师一样,在加法交换律和乘法交换律的明确结论出来后,继续激发学生的思维:研究这两个规律,我们举100个例子够吗?10个呢?举1亿个例子够吗?1亿零1个呢?尽管学生凭借现有的水平证明不了,但这样的启发引导确实能增强学生进行科学证明的意识。
教学实践证明:通过追问和推敲,有助于引导学生关注结论的完整性,在商不变规律出来后,应追问:可以同时乘或除以任意的数吗?由此获得“0除外”这一结论,从而加深对商不变规律的全面认识。通过追问和推敲,学生的探究会继续深入,在长方形的周长公式出来后,追问:长方形里有没有特殊的?那么,正方形的周长计算公式呢?从而由求长方形周长公式推导出求正方形周长公式。通过追问和推敲,可以引导学生将结论在更多大范围内推广,在乘法分配律抽象成字母式子后,追问:是不是仅仅适合两个数的和乘一个数?通过追问和推敲,还能有效培养学生的类比思维,在比的基本性质出来后,追问:你是否有似曾相识的感觉?由此你想到了以前学过的哪些规律?从而促使学生思维不断深入,逐步完善知识的建构。尽管时间用得多了一些,技能的形成慢了一些,但长此以往,或许学生可以自己提出新的问题,并主动尝试解决。
让学生在数学抽象化的过程中有更大的探究空间和更多的思考时间,学生的数学化进程会更坚实一些。这种数学化进程也是学生在教师引导下的“再创造”过程,它对于促进学生数学思维能力的提高有着重要的意义,这也是数学教育的基本目标之一。
作者单位
江苏省海门市育才小学
责任编辑:曹文
一位教师这样教学“比”的概念:(1)由2杯果汁和3杯牛奶的份数关系引出:果汁与牛奶杯数的比是2比3,牛奶与果汁杯数的比是3比2。(2)由两组路程、时间的数量求出速度,指出也可用比来表示路程和时间的关系,得出所走路程和时间的比。(3)提问学生两个数的比可以表示什么?
剖析上述案例,存在以下弊端:(1)感知材料单薄。教师提供给学生的实例仅有两个。(2)学生被动参与学习。学生没有自主探索的机会,缺乏对概念的真正的理解。(3)教师肤浅概括。教师让学生观察两实例,生硬地告诉学生:两个数的比实际上就表示两个数相除。如何让学生在对数学概念、性质、法则、公式等知识的抽象过程中经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维与操作过程呢?应从以下三方面努力:
第一、研究的样本要全一些
概念、性质、法则和公式的得出和推导过程实质是学生经历不完全归纳法的过程。首先,教师应该多为学生提供探究的样本和材料,或是引导学生参与举例和佐证,这样,结论的出现才更顺畅。可以这样重构比的感知材料:(1)由2杯果汁和3杯牛奶的份数关系引出:果汁与牛奶杯数的比是2比3,牛奶与果汁杯数的比是3比2。(2)已知两组路程、时间的数量,让学生求出速度,并指出也可用比来表示路程和时间的关系,得出所走路程和时间的比。(3)出示体育老师购买篮球和足球的数量和价钱,让学生说说可求出什么,如何用比来表示总价和数量的关系呢?(4)由张阿姨3天内加工校服的数量说说可求出什么,这里是否也有能用比来表示的关系呢?(5)让学生举例说说生活中还有哪些数量之间的关系也可用比来表示。用贴近学生生活的各类数量关系展示比的各种“面孔”,再利用精当的板书,如900÷15=900:15 350÷10=350:10启发学生领悟,至此,学生对“比表示两个数相除”这一本质属性的理解也就水到渠成了!
第二、猜想和验证要多一些
学生在对数学知识的抽象过程中离不开归纳。归纳是数学的基本思考方式,而归纳的起点是猜想。面对一个问题情境,首先应当对此情境进行仔细观察,通过对几个具体案例的比较、试验,发现其中蕴含着的数学模式,许多的数学发现就是在这个过程中“闪现”出来的。此时,“归纳猜测”也就在问题解决者的头脑中形成了,再通过形式化、符号化的数学表达,数学猜想也就完成了。再把已经得到的数学归纳猜想回到问题情境中进行检验,只有通过检验,归纳猜想才算有了初步的成果,其结果的正确性,需要数学的演绎推理进行证明,这个过程属于从特殊到一般的过程。
请看张齐华老师教学“运算律”的过程给我们的有益启示:课始,引导学生进行了如下的知识发现和探究过程:(1)口算,猜测规律。出示三组口算题,根据每两题得数相等的现象,让学生说出六道题有什么规律?进而发问:只有这三组算式得数相等吗?以此引出猜测:任意两个数相加,交换它们的位置,和都不变。(2)学生举例验证。(在此过程中。张老师不断启发学生多举例,还注意例子的全面性,即从一位数加一位数到两位数相加、三位数相加、多位数相加,从整数相加到分数相加甚至小数相加。)(3)引导归纳,得出加法交换律的结论。(4)类比联想,指向乘法交换律。(5)反思、反疑结论,演绎推理证明(介绍数学家证明乘法交换律的方法)。从张老师的课可以看出,他并没有急着进行规律的抽象,他更关注的是学生是否经历了完整的枚举归纳和推理的过程,更关注的是培养学生科学严谨的研究方法。
第三、追问和推敲要深一些
对概念、规律、性质的质疑和追问,体现了科学严谨的研究态度。这个结论正确吗?有没有特殊的例子?这些问题反映了人的一种反思意识,在实际教学中,反思问题往往容易为人们所疏忽。
我们应该像张老师一样,在加法交换律和乘法交换律的明确结论出来后,继续激发学生的思维:研究这两个规律,我们举100个例子够吗?10个呢?举1亿个例子够吗?1亿零1个呢?尽管学生凭借现有的水平证明不了,但这样的启发引导确实能增强学生进行科学证明的意识。
教学实践证明:通过追问和推敲,有助于引导学生关注结论的完整性,在商不变规律出来后,应追问:可以同时乘或除以任意的数吗?由此获得“0除外”这一结论,从而加深对商不变规律的全面认识。通过追问和推敲,学生的探究会继续深入,在长方形的周长公式出来后,追问:长方形里有没有特殊的?那么,正方形的周长计算公式呢?从而由求长方形周长公式推导出求正方形周长公式。通过追问和推敲,可以引导学生将结论在更多大范围内推广,在乘法分配律抽象成字母式子后,追问:是不是仅仅适合两个数的和乘一个数?通过追问和推敲,还能有效培养学生的类比思维,在比的基本性质出来后,追问:你是否有似曾相识的感觉?由此你想到了以前学过的哪些规律?从而促使学生思维不断深入,逐步完善知识的建构。尽管时间用得多了一些,技能的形成慢了一些,但长此以往,或许学生可以自己提出新的问题,并主动尝试解决。
让学生在数学抽象化的过程中有更大的探究空间和更多的思考时间,学生的数学化进程会更坚实一些。这种数学化进程也是学生在教师引导下的“再创造”过程,它对于促进学生数学思维能力的提高有着重要的意义,这也是数学教育的基本目标之一。
作者单位
江苏省海门市育才小学
责任编辑:曹文