论文部分内容阅读
摘要
近年来，对课堂教学的研究，逐渐从章中课拓展到章首课和章尾课，分别对应“前建构”“中建构”和“后建构”，进而形成了完整的整章教学系统。现以“中心对称图形——平行四边形”章尾复习课为例，具体阐述“后建构课堂”的内容和方法：建构基础知识结构、建构思想方法结构、聚焦能力素养立意。
关键词
后建构课堂 章尾复习课 中心对称图形 平行四边形
一、比赛之后的思考
2017年11月，江苏省青年教师优秀课（初中数学）从“前建构”视角确定赛题;2018年11月，江苏省青年教师教学基本功大赛（初中数学）从“后建构”视角确定赛题。赛后总结会上，董林伟先生介绍：学习的一般规律是，先进行“前建构”，再局部深入，最后通过反思进行“后建构”，形成整体认识。
他认为，“前建构”要解决三个问题：为什么学（知识的重要性与必要性），学什么（知识技能、思想方法），怎么学（提供学习基本线索、基本支架）。相应地，笔者认为，“后建构”也要解决三个问题：知识之间有何实质性联系（基础知识结构），这些知识如何运用（思想方法结构），知识运用的智慧在哪里（能力素养立意）。
事實上，章尾课通常包括数学活动、数学实验、综合实践、章复习课等课型。本文以“中心对称图形——平行四边形”的复习为例，具体阐述后建构课堂的章尾复习课的设计方法。
二、后建构课堂的设计
从“后建构课堂”的视角来看章尾复习课，首先要“建构基础知识结构”，其次要“建构思想方法结构”，最后要“聚焦能力素养立意”。
1.建构基础知识结构。
在此之前，学生已学习了“图形的平移”“轴对称和轴对称图形”，积累了一定的图形运动变化的学习经验，在此基础上，本章继续发展了学生的空间观念、几何直观、分析推理等数学素养。
在本章的章首课和章中课中，教师从生动的现实情境出发，通过操作、实验、观察、思考、交流等数学活动，引导学生经历合情推理和演绎推理的探索过程，学生初步具备了探寻知识之间内在联系的基本能力、运用单个知识的能力以及对一些简单问题进行抽象、推理、探究的活动经验。但是，知识体系在学生头脑中还未形成，存在模糊不清的地方（如四种特殊四边形之间的关系）、似是而非的地方（如判定和性质的混淆）、记忆不深的地方（如中点四边形的形状等），有些方法（如中点的联想、模型的迁移等）还不够熟练，有些能力（如运用运动变换解决问题）比较薄弱。复习前，孤立、分离的知识和模糊的认识，有必要整理，串线，连片，结网，纵横联系形成系统，分析并建立整章的系统知识结构。
例如，本章内容由三块组成：探索图形的旋转、中心对称与中心对称图形的性质;平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质与判定;利用图形的旋转研究三角形的中位线。教材以中心对称为主线，展开对平行四边形和三角形中位线这两个方面的研究，其中将平行四边形特殊化，分别研究了矩形、菱形、正方形的性质与判定，还将三角形的中位线进行拓展，研究了特殊四边形的中点四边形的形状。教师分析并建立整章的系统知识结构（如图1），有助于全面考虑教学内容，有针对性地设计复习环节，促进学生把握知识之间的内在联系，对一章内容形成整体而系统的认知。如此，就把握了本章的整体知识结构。
2.建构思想方法结构。
加强数学思想方法的培养，是全面提高学生数学素质的重要途径。在关注知识整体建构的同时，更要关注知识结构赖以形成的思想方法。
数学学习不仅包括知识结果，更包括结果形成过程中的思想方法。在一章学习中，学生既经历了知识的形成过程，也经历了知识的运用过程，体会一章的主导思想方法在“获取数学知识、运用数学知识、解决问题”中的作用，是“温故知新”的“新”之所在。在章尾课中建构思想方法结构，更能引导学生“用数学的方式理解世界”，感受数学学习的内在魅力。
本章中，借助旋转探究图形的性质，理解旋转运动，需要空间想象;探索特殊四边形的判定、理清特殊四边形之间的关系，需要观察操作、归纳猜想和推理;分析复杂的图形，往往需要从中剥离基本图形，需要模型思想;运用性质判定进行问题的解决，往往需要借助图形的运动、条件的转化、模型的迁移等方法。对这些思想方法的揭示（如图2），有利于知识与能力的巩固和提升，使其内化为学生的解题经验与思维习惯。
3.聚焦能力素养。
2011年版《义务教育数学课程标准》（以下简称“课标”）指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”后建构课堂强调对学习过程的反思和对应用过程的体悟，重视对知识的综合贯通、灵活组合和创新应用，教学立意更关注知识的应用价值以及知识运用中蕴含的思想方法，训练高阶思维，增强创新能力和实践能力。
本章突出了图形的旋转运动。一方面作为知识的起点，串联了中心对称的性质、特殊四边形的性质、中位线的性质;另一方面作为解题思路的起点，利用旋转，转移边或角的位置，体现了转化的思想。这两方面对落实“几何直观”“推理能力”“模型思想”等数学核心素养有重要价值。
4.课堂教学环节设计。
基于上述分析，本章章尾复习课的教学目标确定如下：（1）回顾本章所学内容，能从旋转的角度梳理几种平行四边形之间的关系，对本章知识有全面、系统的认识;（2）以旋转运动为突破口，进一步掌握分析、推理的思考方法，熟练掌握综合法的书写格式;（3）经历图形运动变换的过程，积累解决问题的经验，进一步发展空间观念。其中，目标（1）为重点，目标（2）为难点。设计简案如下。
环节1 建构系统知识结构
问题1 观察图3-1中△AOB的运动，你能找到哪些等量关系？
问题2 若将旋转角度定为180°，如图3-2，你能找到哪些其他的关系？ 问题3 你能以文字的形式归纳旋转、中心对称的性质吗？
【说明】通过几何直观，在观察的基础上唤起记忆，回顾并梳理旋转及中心对称的定义、性质，培养学生的归纳概括能力。
问题4 利用中心对称的性质，我们是如何研究特殊四边形的性质的呢？阅读教材八年级下册第64—65页，以探究平行四边形的性质为例，用你自己的话说说研究的思路。
【说明】重读教材，既体会数学研究方法，建构中心对称与平行四边形的联系，又引导学生重视教材学习的基础作用。
问题5 填表——梳理平行四边形与矩形、菱形、正方形的性质。
【说明】表格能更直观地做对比。通过四个方面的比较，梳理四类特殊四边形的性质的异同点，帮助学生理清模糊点和混淆点。
问题6 如图4，利用中心对称的性质，我们还研究了三角形的什么问题？
问题7 画一些不同形状的四边形，分别连接它们四边的中点构成四边形（叫作中点四边形），说说中点四边形分别是什么形状，并说明理由。
【说明】通过中心对称回顾中位线的性质，并运用中位线的性质拓展中点四边形的知识，完善整章知识结构。
环节2 建构思想方法结构
例1 如图5，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，再将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△FEC，连接DA、EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。
变式1 如果AB=AC，四边形ADEF是何特殊四边形？
变式2 如果∠BAC=150°，四边形ADEF是何特殊四边形？
变式3 △ABC满足什么条件，四边形ADEF会是正方形？
问题：平行四边形与矩形、菱形、正方形有何关系？
【说明】在问题解决过程中领悟四类特殊四边形之间的联系，挖掘解决问题的基本方法，积累旋转问题的解决经验，渗透从特殊到一般的数学归纳思想，达成学习目标（1）。
例2 如图6，在正方形ABCD中，点P、Q分别在边AB、AD上，且CQ平分∠DCP。求证：CP=BP+DQ。
问题：有其他方法解决问题吗？
【说明】指向目标（2），鼓励学生大胆想象、大胆尝试，从旋转运动的角度寻找解决问题的突破口，积累解题经验，感悟图形运动中的不变量，体悟“图形运动是演绎推理思路的源”，同时与等腰三角形知识相关联，打通数学内部不同章节知识之间的内在联系，培养综合运用的能力。
例3 如图7，四边形ABCD为正方形，△CEF为等腰直角三角形，连接AE、AF，M是AE的中点，DM的延长线交AF于点N，求证：DN⊥AF。
问题1 你能用思维导图的形式表达你对“中点”的联想思路吗？
问题2 对于“中点”，你还能联想到什么？有其他方法解决此题吗？
【说明】例3是本节课的难点——题目条件、结论看似零散，它们之间如何建立联系？引导学生经历联想与转化的有序思维串是突破问题的关键，例如中点→中位线→平行线→角关系→互余→垂直。引导学生在交流中碰撞思维，加深对运用旋转理解图形、解决问题的认识。教师还可以提炼△BFC与△DCE构成的“手拉手模型”，培养模型思想，为以后解题积累经验。
环节3 建构能力素养结构
经过本节课的复习，你对旋转或本章知识有了哪些新的认识？对于今天的解题，你有何感受？
【说明】知识再认识、方法再提炼、思想再升华、能力再提高是复习课中最重要的方面。引导学生对课堂学习进行小结，反思数学学习过程，体悟应用过程，帮助学生积累基本活动经验，感悟基本数学思想，提升数学情感，丰富和完善能力素养结构。
三、课例设计说明
“后建构课堂”的章尾复习课强调在整体把握整章知识的基础上，遵循学生的认知规律，将点状知识纵横联系，形成结构。深入挖掘知识形成和应用过程中所蕴含的思想方法，建立思想方法结构，发展能力素养，提高单元复习效益。
本节课以旋转为切入点，利用现代信息技术手段，呈现出生动活泼的动态画面，丰富了学生的几何直观，为梳理几类特殊四边形的性质，建构系统知识结构提供了有利条件;以旋转为演绎推理之源对典型例题进行剖析，并通过追问和变式的方式，引领学生再发现、再创造，体悟知识的本质，延伸思维和方法，自然建构思想方法结构;通过小结交流，引导学生表达自己的学习感受，深化方法内涵，丰富情感体验，发展能力素养，体现教学立意。
四、后继研究展望
从李庾南老师“学材再建构”开始，“单元教学”逐渐进入了研究者的视野。笔者认为章、单元、节都是用于“分段叙事”的“叙事”段群，它们共同构成了教材编写的三级结构。一章可以划分为若干单元，一个单元由若干节组成，有必要分别从“前建构”“中建构”“后建构”的视角研究章首课、章中课和章尾课的设计。
专题复习作为一类复习课，旨在构建同类异形问题的解决通法，是一种“后建构”;“综合与实践”注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识之间的联系和综合应用，也是一种“后建构”。综合三类课型的特征，笔者认为：后建构课堂是指在后建构主义理论指导下，在新知识教学结束后，帮助学生建构系统知识结构、思想方法结构、能力素养结构的课堂。其内涵的发展也是需要继续深入研究的重要方面。
章建跃先生为前建构的章首教学指明了方向：构建“先行组织者”，明确一章主线;突出课时重点，掌握关键内容;落实知识发生发展的过程教学，强化研究方法指导，潜移默化地引导学生学会“数学地认识问题和解决问题的方法”。本文则为章尾教学提供了一个抛砖引玉的样例。但是，本课直接进入知识梳理，开始全章复习，没有设计教学情境。实践中，没有情境的复习课，极易成为知识的简单罗列、题目的盲目堆砌，“悟”的过程太短甚至没有，“知识”量大但缺乏联系性、灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌成为解决问题的包袱，后果是学生为了考试不得不学，缺乏独自面对问题的勇气和能力。有专家提出后建构课也需要设计教学情境。如果需要，那么什么样的情境既能凸现全章价值、统领回顾全章，又能自然過渡到知识梳理？这也是需要研究者继续深入思考的地方。
本文系2020年江苏省中小学课程基地与学校文化建设项目“基于融合思维的初中数学课程基地建设”、江苏省教育科学“十三五”规划重点自筹课题“初中数学深度学习资源建设的理论与实践研究”（编号：B—b/2016/02/155）、无锡市教育科学规划课题“促进学生思维深度参与的中学数学课堂教学实践研究”（课题批准号D/D/2018/002）阶段性研究成果。
【参考文献】
[1]卓斌.善用类比方法 构建整体框架——“分式”单元教学课的特色与亮点[J].初中生世界，2018（12）.
[2]钟鸣.草根教师对复习课的探索——以有理数复习为例[J].基础教育论坛，2015（9）.
[3]周建勋.发展学生的思维能力是数学教学的核心任务[J].中学数学教学参考（中旬），2018（9）.
[4]章建跃.从数学整体观看“同底数幂的乘法”的教学[J].中国数学教育，2013（7—8）.
近年来，对课堂教学的研究，逐渐从章中课拓展到章首课和章尾课，分别对应“前建构”“中建构”和“后建构”，进而形成了完整的整章教学系统。现以“中心对称图形——平行四边形”章尾复习课为例，具体阐述“后建构课堂”的内容和方法：建构基础知识结构、建构思想方法结构、聚焦能力素养立意。
关键词
后建构课堂 章尾复习课 中心对称图形 平行四边形
一、比赛之后的思考
2017年11月，江苏省青年教师优秀课（初中数学）从“前建构”视角确定赛题;2018年11月，江苏省青年教师教学基本功大赛（初中数学）从“后建构”视角确定赛题。赛后总结会上，董林伟先生介绍：学习的一般规律是，先进行“前建构”，再局部深入，最后通过反思进行“后建构”，形成整体认识。
他认为，“前建构”要解决三个问题：为什么学（知识的重要性与必要性），学什么（知识技能、思想方法），怎么学（提供学习基本线索、基本支架）。相应地，笔者认为，“后建构”也要解决三个问题：知识之间有何实质性联系（基础知识结构），这些知识如何运用（思想方法结构），知识运用的智慧在哪里（能力素养立意）。
事實上，章尾课通常包括数学活动、数学实验、综合实践、章复习课等课型。本文以“中心对称图形——平行四边形”的复习为例，具体阐述后建构课堂的章尾复习课的设计方法。
二、后建构课堂的设计
从“后建构课堂”的视角来看章尾复习课，首先要“建构基础知识结构”，其次要“建构思想方法结构”，最后要“聚焦能力素养立意”。
1.建构基础知识结构。
在此之前，学生已学习了“图形的平移”“轴对称和轴对称图形”，积累了一定的图形运动变化的学习经验，在此基础上，本章继续发展了学生的空间观念、几何直观、分析推理等数学素养。
在本章的章首课和章中课中，教师从生动的现实情境出发，通过操作、实验、观察、思考、交流等数学活动，引导学生经历合情推理和演绎推理的探索过程，学生初步具备了探寻知识之间内在联系的基本能力、运用单个知识的能力以及对一些简单问题进行抽象、推理、探究的活动经验。但是，知识体系在学生头脑中还未形成，存在模糊不清的地方（如四种特殊四边形之间的关系）、似是而非的地方（如判定和性质的混淆）、记忆不深的地方（如中点四边形的形状等），有些方法（如中点的联想、模型的迁移等）还不够熟练，有些能力（如运用运动变换解决问题）比较薄弱。复习前，孤立、分离的知识和模糊的认识，有必要整理，串线，连片，结网，纵横联系形成系统，分析并建立整章的系统知识结构。
例如，本章内容由三块组成：探索图形的旋转、中心对称与中心对称图形的性质;平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质与判定;利用图形的旋转研究三角形的中位线。教材以中心对称为主线，展开对平行四边形和三角形中位线这两个方面的研究，其中将平行四边形特殊化，分别研究了矩形、菱形、正方形的性质与判定，还将三角形的中位线进行拓展，研究了特殊四边形的中点四边形的形状。教师分析并建立整章的系统知识结构（如图1），有助于全面考虑教学内容，有针对性地设计复习环节，促进学生把握知识之间的内在联系，对一章内容形成整体而系统的认知。如此，就把握了本章的整体知识结构。
2.建构思想方法结构。
加强数学思想方法的培养，是全面提高学生数学素质的重要途径。在关注知识整体建构的同时，更要关注知识结构赖以形成的思想方法。
数学学习不仅包括知识结果，更包括结果形成过程中的思想方法。在一章学习中，学生既经历了知识的形成过程，也经历了知识的运用过程，体会一章的主导思想方法在“获取数学知识、运用数学知识、解决问题”中的作用，是“温故知新”的“新”之所在。在章尾课中建构思想方法结构，更能引导学生“用数学的方式理解世界”，感受数学学习的内在魅力。
本章中，借助旋转探究图形的性质，理解旋转运动，需要空间想象;探索特殊四边形的判定、理清特殊四边形之间的关系，需要观察操作、归纳猜想和推理;分析复杂的图形，往往需要从中剥离基本图形，需要模型思想;运用性质判定进行问题的解决，往往需要借助图形的运动、条件的转化、模型的迁移等方法。对这些思想方法的揭示（如图2），有利于知识与能力的巩固和提升，使其内化为学生的解题经验与思维习惯。
3.聚焦能力素养。
2011年版《义务教育数学课程标准》（以下简称“课标”）指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”后建构课堂强调对学习过程的反思和对应用过程的体悟，重视对知识的综合贯通、灵活组合和创新应用，教学立意更关注知识的应用价值以及知识运用中蕴含的思想方法，训练高阶思维，增强创新能力和实践能力。
本章突出了图形的旋转运动。一方面作为知识的起点，串联了中心对称的性质、特殊四边形的性质、中位线的性质;另一方面作为解题思路的起点，利用旋转，转移边或角的位置，体现了转化的思想。这两方面对落实“几何直观”“推理能力”“模型思想”等数学核心素养有重要价值。
4.课堂教学环节设计。
基于上述分析，本章章尾复习课的教学目标确定如下：（1）回顾本章所学内容，能从旋转的角度梳理几种平行四边形之间的关系，对本章知识有全面、系统的认识;（2）以旋转运动为突破口，进一步掌握分析、推理的思考方法，熟练掌握综合法的书写格式;（3）经历图形运动变换的过程，积累解决问题的经验，进一步发展空间观念。其中，目标（1）为重点，目标（2）为难点。设计简案如下。
环节1 建构系统知识结构
问题1 观察图3-1中△AOB的运动，你能找到哪些等量关系？
问题2 若将旋转角度定为180°，如图3-2，你能找到哪些其他的关系？ 问题3 你能以文字的形式归纳旋转、中心对称的性质吗？
【说明】通过几何直观，在观察的基础上唤起记忆，回顾并梳理旋转及中心对称的定义、性质，培养学生的归纳概括能力。
问题4 利用中心对称的性质，我们是如何研究特殊四边形的性质的呢？阅读教材八年级下册第64—65页，以探究平行四边形的性质为例，用你自己的话说说研究的思路。
【说明】重读教材，既体会数学研究方法，建构中心对称与平行四边形的联系，又引导学生重视教材学习的基础作用。
问题5 填表——梳理平行四边形与矩形、菱形、正方形的性质。
【说明】表格能更直观地做对比。通过四个方面的比较，梳理四类特殊四边形的性质的异同点，帮助学生理清模糊点和混淆点。
问题6 如图4，利用中心对称的性质，我们还研究了三角形的什么问题？
问题7 画一些不同形状的四边形，分别连接它们四边的中点构成四边形（叫作中点四边形），说说中点四边形分别是什么形状，并说明理由。
【说明】通过中心对称回顾中位线的性质，并运用中位线的性质拓展中点四边形的知识，完善整章知识结构。
环节2 建构思想方法结构
例1 如图5，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，再将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△FEC，连接DA、EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。
变式1 如果AB=AC，四边形ADEF是何特殊四边形？
变式2 如果∠BAC=150°，四边形ADEF是何特殊四边形？
变式3 △ABC满足什么条件，四边形ADEF会是正方形？
问题：平行四边形与矩形、菱形、正方形有何关系？
【说明】在问题解决过程中领悟四类特殊四边形之间的联系，挖掘解决问题的基本方法，积累旋转问题的解决经验，渗透从特殊到一般的数学归纳思想，达成学习目标（1）。
例2 如图6，在正方形ABCD中，点P、Q分别在边AB、AD上，且CQ平分∠DCP。求证：CP=BP+DQ。
问题：有其他方法解决问题吗？
【说明】指向目标（2），鼓励学生大胆想象、大胆尝试，从旋转运动的角度寻找解决问题的突破口，积累解题经验，感悟图形运动中的不变量，体悟“图形运动是演绎推理思路的源”，同时与等腰三角形知识相关联，打通数学内部不同章节知识之间的内在联系，培养综合运用的能力。
例3 如图7，四边形ABCD为正方形，△CEF为等腰直角三角形，连接AE、AF，M是AE的中点，DM的延长线交AF于点N，求证：DN⊥AF。
问题1 你能用思维导图的形式表达你对“中点”的联想思路吗？
问题2 对于“中点”，你还能联想到什么？有其他方法解决此题吗？
【说明】例3是本节课的难点——题目条件、结论看似零散，它们之间如何建立联系？引导学生经历联想与转化的有序思维串是突破问题的关键，例如中点→中位线→平行线→角关系→互余→垂直。引导学生在交流中碰撞思维，加深对运用旋转理解图形、解决问题的认识。教师还可以提炼△BFC与△DCE构成的“手拉手模型”，培养模型思想，为以后解题积累经验。
环节3 建构能力素养结构
经过本节课的复习，你对旋转或本章知识有了哪些新的认识？对于今天的解题，你有何感受？
【说明】知识再认识、方法再提炼、思想再升华、能力再提高是复习课中最重要的方面。引导学生对课堂学习进行小结，反思数学学习过程，体悟应用过程，帮助学生积累基本活动经验，感悟基本数学思想，提升数学情感，丰富和完善能力素养结构。
三、课例设计说明
“后建构课堂”的章尾复习课强调在整体把握整章知识的基础上，遵循学生的认知规律，将点状知识纵横联系，形成结构。深入挖掘知识形成和应用过程中所蕴含的思想方法，建立思想方法结构，发展能力素养，提高单元复习效益。
本节课以旋转为切入点，利用现代信息技术手段，呈现出生动活泼的动态画面，丰富了学生的几何直观，为梳理几类特殊四边形的性质，建构系统知识结构提供了有利条件;以旋转为演绎推理之源对典型例题进行剖析，并通过追问和变式的方式，引领学生再发现、再创造，体悟知识的本质，延伸思维和方法，自然建构思想方法结构;通过小结交流，引导学生表达自己的学习感受，深化方法内涵，丰富情感体验，发展能力素养，体现教学立意。
四、后继研究展望
从李庾南老师“学材再建构”开始，“单元教学”逐渐进入了研究者的视野。笔者认为章、单元、节都是用于“分段叙事”的“叙事”段群，它们共同构成了教材编写的三级结构。一章可以划分为若干单元，一个单元由若干节组成，有必要分别从“前建构”“中建构”“后建构”的视角研究章首课、章中课和章尾课的设计。
专题复习作为一类复习课，旨在构建同类异形问题的解决通法，是一种“后建构”;“综合与实践”注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识之间的联系和综合应用，也是一种“后建构”。综合三类课型的特征，笔者认为：后建构课堂是指在后建构主义理论指导下，在新知识教学结束后，帮助学生建构系统知识结构、思想方法结构、能力素养结构的课堂。其内涵的发展也是需要继续深入研究的重要方面。
章建跃先生为前建构的章首教学指明了方向：构建“先行组织者”，明确一章主线;突出课时重点，掌握关键内容;落实知识发生发展的过程教学，强化研究方法指导，潜移默化地引导学生学会“数学地认识问题和解决问题的方法”。本文则为章尾教学提供了一个抛砖引玉的样例。但是，本课直接进入知识梳理，开始全章复习，没有设计教学情境。实践中，没有情境的复习课，极易成为知识的简单罗列、题目的盲目堆砌，“悟”的过程太短甚至没有，“知识”量大但缺乏联系性、灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌成为解决问题的包袱，后果是学生为了考试不得不学，缺乏独自面对问题的勇气和能力。有专家提出后建构课也需要设计教学情境。如果需要，那么什么样的情境既能凸现全章价值、统领回顾全章，又能自然過渡到知识梳理？这也是需要研究者继续深入思考的地方。
本文系2020年江苏省中小学课程基地与学校文化建设项目“基于融合思维的初中数学课程基地建设”、江苏省教育科学“十三五”规划重点自筹课题“初中数学深度学习资源建设的理论与实践研究”（编号：B—b/2016/02/155）、无锡市教育科学规划课题“促进学生思维深度参与的中学数学课堂教学实践研究”（课题批准号D/D/2018/002）阶段性研究成果。
【参考文献】
[1]卓斌.善用类比方法 构建整体框架——“分式”单元教学课的特色与亮点[J].初中生世界，2018（12）.
[2]钟鸣.草根教师对复习课的探索——以有理数复习为例[J].基础教育论坛，2015（9）.
[3]周建勋.发展学生的思维能力是数学教学的核心任务[J].中学数学教学参考（中旬），2018（9）.
[4]章建跃.从数学整体观看“同底数幂的乘法”的教学[J].中国数学教育，2013（7—8）.