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摘要
空间观念是空间想象力发展的基础，是我国义务教育阶段数学课程的主要目标之一。基于对空间观念内涵的理解，综合多版本教材分析，呈现教学设计，阐述教学立意，指出应在“图形与几何”的开篇教学中聚焦空间观念的培育，帮助学生明晰图形研究“三要素”，传递图形研究“套路”，培养数学核心素养。
关键词
空间观念 图形世界 研究套路 核心素养
“丰富的图形世界”是苏科版初中数学教材“图形与几何”领域的起始课。本节课是让学生在基本平面图形和常见立体图形的学习基础上，认识棱、锥两种几何体的下位概念（棱柱、棱锥）。大部分教师对这节课的认知仅仅停留在几何概念教学上，认为教学重点是数学概念——棱柱、棱锥。近期，笔者准备在苏州市初中数学课改活动中展示课例“丰富的图形世界”，在第一次磨课后的研讨交流中，有教师认为这节课的重点应放在棱柱和棱锥两个数学概念的教学上，而笔者并不认同。基于对课程标准的理解，研读苏科版、北师大版和人教版教材同一教学内容的编写意图，笔者认为苏科版“丰富的图形世界”作为初中学段“图形与几何”领域的起始课，教学的重点应聚焦在学生空间观念的培育上。课堂教学重心应放在让学生经历从观察生活实物到观察几何模型，由几何模型抽象出几何图形，再对几何图形进行表达和思考上，即经历图形抽象、表达、思考的完整过程，明确“图形与几何”领域的研究内容、构成元素（基本图形）、研究路径等，在同化中获得数学概念，培育学生的空间观念。
一、空间观念的内涵
2011年版《义务教育数学课程标准》中指出：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。良好的空间观念体现在以下几个方面：由简单的实物抽象出几何图形;由几何图形想象出实物;从复杂图形中分解出简单的、基本的图形;从基本的图形中获得基本元素及其关系;由文字或符号信息画出图形。2017年版《高中数学课程标准》提出了数学六大核心素养，直观想象就是其中之一。那么，直观想象与空间观念之间有什么关系呢？所谓直观想象，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。从能力维度来看，直观想象包含两个二级指标，即空问观念和几何直观。
显然，空间观念形成于学生的观察、想象、比较、综合、抽象、分析等数学活动过程中，贯穿于“图形与几何”学习的全过程。由物体抽象出几何图形或由几何图形联想物体，其本质是三维图形（立体图形）与二维图形（平面图形）的相互转换的过程。学生在观察的基础上，运用空间想象认识事物，将获取的信息在头脑中加工，把表象抽象后并描述出来，使得空间观念水平不断提高。
二、教材分析与教学立意
“丰富的图形世界”是学生进入初中以来，从“数与代数”领域的学习转向“图形与几何”领域的探索，由关注“数”的世界到关注“形”的世界。苏科版数学教材在本课时的情境创设环节提供了以建筑为主要背景的图片素材，内容稍显单一。结合人教版、北师大版教材的研读，为凸显“丰富的图形世界”的主题，教师应在课上展现丰富的生活图片，引导学生用数学的眼光观察并获得基本的几何体模型：柱体、锥体和球体。学生在观察、想象、抽象、表达等活动中明确几何研究内容是物体的形状、大小和位置关系。就本节课而言，整节课偏重于物体的形状探索，以熟悉的长方体模型为例，唤醒学生已有的学习经验，明确点、线、面是几何图形的基本图形，几何图形是由点、线、面组成的。以此为基础，再由实物模型抽象出棱柱、棱锥的几何图形，引出新概念。这样的设计遵循了奥苏贝尔的“先行组织者”教学理论，有助于促进学生主动学习迁移，建立新旧知识间的联系，理解数学知识，形成新的认知结构。在引入新概念后，通过做、思、说等活动，学生能更深刻地理解數学概念的内涵和外延，学会从基本图形的视角，用数学的语言描述物体特征、用数学的思维思考图形特征，传递几何图形研究的“套路”。
三、教学设计
1.情境创设。
千姿百态的图形美化了我们的生活，也给我们带来很多问题。怎样画一个五角星？怎样设计一个产品的包装盒？怎样绘制学校的局部平面图？不同的图形有什么特征和性质？这些都需要我们了解更多的图形知识。
活动1 欣赏图片、观察生活。
问题1 观察图1，说说你看到了什么，想到了什么。
设计意图学生欣赏图片并描述观察到的物体。比如学生说出高楼大厦、上海东方明珠电视塔等信息，教师适时地把这些信息归纳为生活眼光下的观察;又如学生说出球、圆柱、高低、左右等信息，此时应肯定他们能用数学的眼光观察世界，并分别归纳为物体的形状、大小和位置关系，指明这些是我们几何研究的主要内容。
问题2 在图2中，你能找到哪些常见的几何体？
问题3 如何从常见几何体中抽象出几何图形？
设计意图 引导学生根据实物图片，分别抽象出长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等熟悉的几何图形，感受图形世界的多姿多彩。生活中存在多种多样的几何体，丰富的图形美化了我们的生活。通过观察获得三个常见的几何体模型：柱体、锥体、球体，获得本课数学概念的上位概念。
2.探索图形。
活动2 观察长方体模型（如图3），认识图形。
问题4 说一说你对长方体有哪些认识。
设计意图 学生通过长方体实物模型，激活已有认知经验。学生在介绍熟悉的几何图形（长方体）的过程中，唤醒几何图形的相关知识，从点、线、面等元素角度描述这些常见的几何体，为棱锥、棱柱的学习作铺垫。
活动3 探索新图形。
问题5 （1）想一想，从图4的物体中能抽象出怎样的几何图形？
（2）请大家根据苏科版数学实验手册七年级上册附录2、附录3制作几何体。你有什么发现？ （3）描述图5中几何体的特征。
设计意图 学生通过对实物的观察、交流，先想象，再抽象出几何图形，生成数学研究对象。学生使用苏科版数学实验手册上的材料动手制作棱柱、棱锥，以达到认识棱柱、棱锥的特征，经历研究几何图形的一般路径，感悟平面图形与立体图形的关系的目的。
在此环节，教师给出底面、侧面、棱、侧棱、顶点等数学概念，然后引导学生描述几何图形的特征，使学生学会从面、线、点的视角用数学语言描述，并借助实物帮助学生理解数学概念。
练一练 1（1）围成下列几何体的各个面中（如图6），哪些面是平的？哪些面是曲的？
（2）将下列几何体分类，并说明理由。
2.判断下列说法是否正确。
（1）圆柱和圆锥的底面都是圆;
（2）正方体的各条棱长都相等;
（3）棱柱的各条棱都相等;
（4）棱柱的上、下两个底面形状相同、大小相等;
（5）棱柱的侧面可以是三角形;
（6）直棱柱的侧面都是长方形;
（7）正方体、长方体也是棱柱。
3.观察、抽象、表达图7中的几何图形。
设计意图学生通过分类、辨析、观察、表达，强化对数学概念的理解与应用，结合现实情境，发展空间观念。
3.描述图形。
活动4 用数学语言描述物体，交流互动。
（1）用数学语言描述实物的特征：
一名学生双手在纸箱内摸几何体并用数学语言描述其特征，其他学生根据他的描述说出几何体的名称。描述的人不能说出几何体的名称，只能从点、线、面三个方面分别描述三个特点。
（2）用数学语言描述几何图形：
一名学生面朝黑板，用数学语言描述指定的几何图形特征，另一名学生背向黑板说出几何体名称。
活动5利用今天所学的数学知识，介绍虎丘塔（如图8）。
设计意图 学生经历想一想——辨一辨——看一看的过程，学会用数学语言表达世界。
4.思考展望。
问题6 我们后续将研究图形的哪些知识？怎样研究？
设计意图学生思考和猜想后续研究的内容及方法，学会用数学的思维思考世界。
四、教学思考
1.明晰图形研究“三要素”。
通过本节课的学习，学生应明晰图形研究的“三要素”：研究内容、构成元素（基本图形）、研究路径。几何图形的研究内容是图形的形状、大小、位置关系。几何图形是由点、线、面等元素构成的，这就决定了研究几何图形的切入点是基本图形（点、线、面）。比如在研究几何图形的位置关系時，应从基本图形的视角研究点与点、点与线、点与面、线与线、线与面甚至面与面的位置关系，进一步引导学生发现位置关系中必然蕴含着数量关系。就本节课而言，研究内容和研究路径是：实物观察→ 模型抽象→几何图形分析→表达思考→推理。这也为学生后续研究几何图形提供了基本范式。
2.传递图形研究“套路”。
理解教材、理解学生、找准教学起点、明确教学终点是有效教学的基础，依据奥苏贝尔的“先行组织者”策略和逐渐分化原则，选择先整体后局部、先上位后下位的教学路径，以实现从教学起点到达教学终点的目的。章建跃博士指出，在“开篇”教学中，应发挥“先行组织者”的作用，要充分重视构建整章基本研究思路的教学，为整章学习做好准备。笔者对本节课的各个教学环节进行了统领设置，加强前后教学活动之间的关联，既有知识体系上的前后一致，又有研究方法上的“基本套路”的强化。在生活图形的呈现顺序上采用先整体后局部的方式;在知识体系上遵循了先上位后下位的教学原则，比如先认识锥，再认识圆锥、棱锥;在研究方法上，遵循逐渐分化原则，从图形的构成元素（基本图形）上进行分析表达，最后在教学中潜移默化地向学生传递几何图形研究“套路”。比如几何图形教学中引导学生经历抽象→定义→分类→性质→特例→应用的研究过程，渗透研究几何图形的一般观念，为后续几何图形的研究提供范式。
3.培养数学核心素养。
课堂教学设计以大量丰富的生活图片为起点，让学生充分体悟丰富的图形世界，经历从现实世界到图形世界的抽象过程，先经历从生活实物到几何模型的第一次抽象，再经历从几何模型到几何图形的第二次抽象，以此发展学生的数学抽象素养。通过对几何图形（主要指立体图形）基本组成元素的分析，感悟点、线、面之间的关系，或者建立发展空间观念。结合具体几何图形（棱锥、棱柱）的结构分析，用数学的语言表达图形特征，发展数学交流素养、直观想象素养。整节课学生经历了用数学眼光观察世界、用数学语言表达世界、用数学思维思考世界的完整过程，促进了数学抽象、数学建模、逻辑推理和直观想象等数学核心素养的培养。
（作者单位：江苏省苏州市阳山实验初级中学校）
本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点自筹课题“初中生数学建模能力培养与评价的实践研究”（课题编号为B-b/2020/02/104）、江苏省中小学教学研究课题“指向学科核心素养的数学‘后建构’课堂设计研究”（课题编号为2019JK13-ZB16）阶段性研究成果。
【参考文献】
[1]孙凯，经营起点：传递几何研究“基本套路”意识[J].中学数学（下），2015（11）.
[2]刘东升，传递研究“套路”：单元起始课的教学追求[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（3）.
[3]张才宝，找准教学内容的“核心价值”[J].江苏教育（中学教学），2019（1）.
空间观念是空间想象力发展的基础，是我国义务教育阶段数学课程的主要目标之一。基于对空间观念内涵的理解，综合多版本教材分析，呈现教学设计，阐述教学立意，指出应在“图形与几何”的开篇教学中聚焦空间观念的培育，帮助学生明晰图形研究“三要素”，传递图形研究“套路”，培养数学核心素养。
关键词
空间观念 图形世界 研究套路 核心素养
“丰富的图形世界”是苏科版初中数学教材“图形与几何”领域的起始课。本节课是让学生在基本平面图形和常见立体图形的学习基础上，认识棱、锥两种几何体的下位概念（棱柱、棱锥）。大部分教师对这节课的认知仅仅停留在几何概念教学上，认为教学重点是数学概念——棱柱、棱锥。近期，笔者准备在苏州市初中数学课改活动中展示课例“丰富的图形世界”，在第一次磨课后的研讨交流中，有教师认为这节课的重点应放在棱柱和棱锥两个数学概念的教学上，而笔者并不认同。基于对课程标准的理解，研读苏科版、北师大版和人教版教材同一教学内容的编写意图，笔者认为苏科版“丰富的图形世界”作为初中学段“图形与几何”领域的起始课，教学的重点应聚焦在学生空间观念的培育上。课堂教学重心应放在让学生经历从观察生活实物到观察几何模型，由几何模型抽象出几何图形，再对几何图形进行表达和思考上，即经历图形抽象、表达、思考的完整过程，明确“图形与几何”领域的研究内容、构成元素（基本图形）、研究路径等，在同化中获得数学概念，培育学生的空间观念。
一、空间观念的内涵
2011年版《义务教育数学课程标准》中指出：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。良好的空间观念体现在以下几个方面：由简单的实物抽象出几何图形;由几何图形想象出实物;从复杂图形中分解出简单的、基本的图形;从基本的图形中获得基本元素及其关系;由文字或符号信息画出图形。2017年版《高中数学课程标准》提出了数学六大核心素养，直观想象就是其中之一。那么，直观想象与空间观念之间有什么关系呢？所谓直观想象，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。从能力维度来看，直观想象包含两个二级指标，即空问观念和几何直观。
显然，空间观念形成于学生的观察、想象、比较、综合、抽象、分析等数学活动过程中，贯穿于“图形与几何”学习的全过程。由物体抽象出几何图形或由几何图形联想物体，其本质是三维图形（立体图形）与二维图形（平面图形）的相互转换的过程。学生在观察的基础上，运用空间想象认识事物，将获取的信息在头脑中加工，把表象抽象后并描述出来，使得空间观念水平不断提高。
二、教材分析与教学立意
“丰富的图形世界”是学生进入初中以来，从“数与代数”领域的学习转向“图形与几何”领域的探索，由关注“数”的世界到关注“形”的世界。苏科版数学教材在本课时的情境创设环节提供了以建筑为主要背景的图片素材，内容稍显单一。结合人教版、北师大版教材的研读，为凸显“丰富的图形世界”的主题，教师应在课上展现丰富的生活图片，引导学生用数学的眼光观察并获得基本的几何体模型：柱体、锥体和球体。学生在观察、想象、抽象、表达等活动中明确几何研究内容是物体的形状、大小和位置关系。就本节课而言，整节课偏重于物体的形状探索，以熟悉的长方体模型为例，唤醒学生已有的学习经验，明确点、线、面是几何图形的基本图形，几何图形是由点、线、面组成的。以此为基础，再由实物模型抽象出棱柱、棱锥的几何图形，引出新概念。这样的设计遵循了奥苏贝尔的“先行组织者”教学理论，有助于促进学生主动学习迁移，建立新旧知识间的联系，理解数学知识，形成新的认知结构。在引入新概念后，通过做、思、说等活动，学生能更深刻地理解數学概念的内涵和外延，学会从基本图形的视角，用数学的语言描述物体特征、用数学的思维思考图形特征，传递几何图形研究的“套路”。
三、教学设计
1.情境创设。
千姿百态的图形美化了我们的生活，也给我们带来很多问题。怎样画一个五角星？怎样设计一个产品的包装盒？怎样绘制学校的局部平面图？不同的图形有什么特征和性质？这些都需要我们了解更多的图形知识。
活动1 欣赏图片、观察生活。
问题1 观察图1，说说你看到了什么，想到了什么。
设计意图学生欣赏图片并描述观察到的物体。比如学生说出高楼大厦、上海东方明珠电视塔等信息，教师适时地把这些信息归纳为生活眼光下的观察;又如学生说出球、圆柱、高低、左右等信息，此时应肯定他们能用数学的眼光观察世界，并分别归纳为物体的形状、大小和位置关系，指明这些是我们几何研究的主要内容。
问题2 在图2中，你能找到哪些常见的几何体？
问题3 如何从常见几何体中抽象出几何图形？
设计意图 引导学生根据实物图片，分别抽象出长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等熟悉的几何图形，感受图形世界的多姿多彩。生活中存在多种多样的几何体，丰富的图形美化了我们的生活。通过观察获得三个常见的几何体模型：柱体、锥体、球体，获得本课数学概念的上位概念。
2.探索图形。
活动2 观察长方体模型（如图3），认识图形。
问题4 说一说你对长方体有哪些认识。
设计意图 学生通过长方体实物模型，激活已有认知经验。学生在介绍熟悉的几何图形（长方体）的过程中，唤醒几何图形的相关知识，从点、线、面等元素角度描述这些常见的几何体，为棱锥、棱柱的学习作铺垫。
活动3 探索新图形。
问题5 （1）想一想，从图4的物体中能抽象出怎样的几何图形？
（2）请大家根据苏科版数学实验手册七年级上册附录2、附录3制作几何体。你有什么发现？ （3）描述图5中几何体的特征。
设计意图 学生通过对实物的观察、交流，先想象，再抽象出几何图形，生成数学研究对象。学生使用苏科版数学实验手册上的材料动手制作棱柱、棱锥，以达到认识棱柱、棱锥的特征，经历研究几何图形的一般路径，感悟平面图形与立体图形的关系的目的。
在此环节，教师给出底面、侧面、棱、侧棱、顶点等数学概念，然后引导学生描述几何图形的特征，使学生学会从面、线、点的视角用数学语言描述，并借助实物帮助学生理解数学概念。
练一练 1（1）围成下列几何体的各个面中（如图6），哪些面是平的？哪些面是曲的？
（2）将下列几何体分类，并说明理由。
2.判断下列说法是否正确。
（1）圆柱和圆锥的底面都是圆;
（2）正方体的各条棱长都相等;
（3）棱柱的各条棱都相等;
（4）棱柱的上、下两个底面形状相同、大小相等;
（5）棱柱的侧面可以是三角形;
（6）直棱柱的侧面都是长方形;
（7）正方体、长方体也是棱柱。
3.观察、抽象、表达图7中的几何图形。
设计意图学生通过分类、辨析、观察、表达，强化对数学概念的理解与应用，结合现实情境，发展空间观念。
3.描述图形。
活动4 用数学语言描述物体，交流互动。
（1）用数学语言描述实物的特征：
一名学生双手在纸箱内摸几何体并用数学语言描述其特征，其他学生根据他的描述说出几何体的名称。描述的人不能说出几何体的名称，只能从点、线、面三个方面分别描述三个特点。
（2）用数学语言描述几何图形：
一名学生面朝黑板，用数学语言描述指定的几何图形特征，另一名学生背向黑板说出几何体名称。
活动5利用今天所学的数学知识，介绍虎丘塔（如图8）。
设计意图 学生经历想一想——辨一辨——看一看的过程，学会用数学语言表达世界。
4.思考展望。
问题6 我们后续将研究图形的哪些知识？怎样研究？
设计意图学生思考和猜想后续研究的内容及方法，学会用数学的思维思考世界。
四、教学思考
1.明晰图形研究“三要素”。
通过本节课的学习，学生应明晰图形研究的“三要素”：研究内容、构成元素（基本图形）、研究路径。几何图形的研究内容是图形的形状、大小、位置关系。几何图形是由点、线、面等元素构成的，这就决定了研究几何图形的切入点是基本图形（点、线、面）。比如在研究几何图形的位置关系時，应从基本图形的视角研究点与点、点与线、点与面、线与线、线与面甚至面与面的位置关系，进一步引导学生发现位置关系中必然蕴含着数量关系。就本节课而言，研究内容和研究路径是：实物观察→ 模型抽象→几何图形分析→表达思考→推理。这也为学生后续研究几何图形提供了基本范式。
2.传递图形研究“套路”。
理解教材、理解学生、找准教学起点、明确教学终点是有效教学的基础，依据奥苏贝尔的“先行组织者”策略和逐渐分化原则，选择先整体后局部、先上位后下位的教学路径，以实现从教学起点到达教学终点的目的。章建跃博士指出，在“开篇”教学中，应发挥“先行组织者”的作用，要充分重视构建整章基本研究思路的教学，为整章学习做好准备。笔者对本节课的各个教学环节进行了统领设置，加强前后教学活动之间的关联，既有知识体系上的前后一致，又有研究方法上的“基本套路”的强化。在生活图形的呈现顺序上采用先整体后局部的方式;在知识体系上遵循了先上位后下位的教学原则，比如先认识锥，再认识圆锥、棱锥;在研究方法上，遵循逐渐分化原则，从图形的构成元素（基本图形）上进行分析表达，最后在教学中潜移默化地向学生传递几何图形研究“套路”。比如几何图形教学中引导学生经历抽象→定义→分类→性质→特例→应用的研究过程，渗透研究几何图形的一般观念，为后续几何图形的研究提供范式。
3.培养数学核心素养。
课堂教学设计以大量丰富的生活图片为起点，让学生充分体悟丰富的图形世界，经历从现实世界到图形世界的抽象过程，先经历从生活实物到几何模型的第一次抽象，再经历从几何模型到几何图形的第二次抽象，以此发展学生的数学抽象素养。通过对几何图形（主要指立体图形）基本组成元素的分析，感悟点、线、面之间的关系，或者建立发展空间观念。结合具体几何图形（棱锥、棱柱）的结构分析，用数学的语言表达图形特征，发展数学交流素养、直观想象素养。整节课学生经历了用数学眼光观察世界、用数学语言表达世界、用数学思维思考世界的完整过程，促进了数学抽象、数学建模、逻辑推理和直观想象等数学核心素养的培养。
（作者单位：江苏省苏州市阳山实验初级中学校）
本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点自筹课题“初中生数学建模能力培养与评价的实践研究”（课题编号为B-b/2020/02/104）、江苏省中小学教学研究课题“指向学科核心素养的数学‘后建构’课堂设计研究”（课题编号为2019JK13-ZB16）阶段性研究成果。
【参考文献】
[1]孙凯，经营起点：传递几何研究“基本套路”意识[J].中学数学（下），2015（11）.
[2]刘东升，传递研究“套路”：单元起始课的教学追求[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（3）.
[3]张才宝，找准教学内容的“核心价值”[J].江苏教育（中学教学），2019（1）.