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数学概念是数学学习的起点，是进行数学推理、判断的依据，是建立定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。如果对学习概念重视不够，或是学习方法不当，既影响对概念的理解和运用，也直接影响思维能力的发展。有些学生不能灵活解决问题，归根结底还是没有真正掌握好概念。因此，概念教学需要从知识内部结构和学生认知的实际出发，充分展示概念的自然生长过程，引导学生从概念学习中领悟隐含于数学问题探索中的思想方法，并在“知识消化”过程中形成主动研究问题、解决问题的方式方法。笔者以苏科版数学八年级上册第四章“平方根”第一课时为例，通过“感知概念→生成概念→构建概念→深化概念”的教学模型，谈谈如何有效推动概念教学。
一、概念教学案例
（一）引入部分
1.问题：直角三角形两边长为3、4，则第三边长为 。
【设计说明】承接数学教材内部的序，由学生熟知的易错题出发，克服勾3股4弦5的思维定式，利用学生生成的错误资源感受分类思想。
2.数学运算的发展史。
算术数→引进负数：代数三次飞跃中的第一次飞跃→产生有理数→引进无理数：数学发展史上三次危机中的第一次危机→产生什么数？
【设计说明】充分考虑学段内知识的发生、发展和关联，突出章节起始课教学的大范畴。
3.从知识完备性来看数的运算。
有理数的减法与除法是如何运算的？乘方对应产生什么运算？
【设计说明】借助减法与除法转化成加法和乘法的思想方法，启发学生思考乘方对应的运算，感受本节课所学知识的内在价值。
（二）展開部分
1.生活数学紧相连，瞻前顾后想关联。
（1）【生活问题】已知一块正方形木板的边长是2米，那么这块正方形木板的面积是多少平方米？
【数学问题】计算：42，（[13]）2，（-0.3）2。
【基本结论】两类问题都是已知底数和指数，根据乘方定义求出幂。用符号语言表述为“在a2=x中，已知a，利用乘方，可以求出x”。
现在把上述问题反过来，逆向思考新问题，你会编题求解吗？
（2）【生活问题】已知一块正方形木板的面积是4平方米，那么这块正方形木板的边长是多少米？
【数学问题】已知一个数的平方等于16（或者[19]、0.09），这个数是多少？
【数学问题】设图1中的小方格的边长为1，你能分别算出两个长方形的对角线AB、A′B′的长吗？
【设计说明】从熟悉的生活和数学中的乘方入手，起点低，坡度小。逆向编题并解题能为平方根概念的自然生成夯实基础，同时，概念学习的同化和异化作用得以体现，彰显思维的完备性。
2.特殊一般来归纳，合情合理下定义。
【共性归纳】这两类问题相当于已知乘方的结果（幂）和指数（2），反过来求底数。用符号语言表述为“在x2=a中，已知a，如何求出x”。
【思考发现】上述问题应该是乘方运算的逆向问题。
【尝试解决】
（1）当x2=4时，因为22=4，（-2）2=4，所以x=±2。因为x代表边长，所以x=2。
（2）当x2=16时，因为42=16，（-4）2=16，所以x=±4。
（3）①当x2=169时，因为132=169，（-13）2=169，所以x=±13。因为x代表线段长，所以x=13。
②当x2=5时，因为（ ）2=5，（- ）2=5，所以x=±（ ）。因为x代表线段长，所以x=（ ）。
【设计说明】利用题组和符号表示，方便辨析异同，利于学生区分数学与生活的同与不同，也为算术平方根的学习做好铺垫。
【基本结论】使x2=a（a≥0）成立的数有两个，它们互为相反数。
【文字表达】如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数叫作a的平方根，也称为二次方根。
【符号表达】如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根。
一个正数a的正的平方根，记作“[a]”;一个正数a的负的平方根，记作“-[a]”。
正数a的两个平方根记作“±[a]”，读作“正、负根号a”。
3.以点带面理解透，规范表达很重要。
【学生交流】下列各数有平方根吗？如果有，请写出来;如果没有，请说明理由。
9，5，[925]，0.16，0，-36，-0.01，-8，-2017。
【学生归纳】一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
【给出定义】求一个数的平方根的运算叫作开平方。
例1 求下列各数的平方根。
（1）25;（2）[1681];（3）15;（4）0.09;（5）你会算（-0.3）2的平方根吗？
【设计说明】在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的困难，教师要给予适当的帮助和鼓励，同时板书示范（1）和（5）的解题过程，其余由学生板演，讲练结合，强化书写训练，突出文字与符号的转化意识。
例2 求下列各式中的x。
（1）x2=169;（2）4x2=169;
（3）（x2+y2）2=[1694]，你会求出x2+y2吗？[对比第（1）题找出相同点与不同点。]
【设计说明】循“实例感知→抽象概念→运用概念→辨析概念”的顺序，充分发挥学生的探究主动性，从不同维度厘清平方根的概念和运用，为下一节课辨清算术平方根夯实基础。 4.回顾过程勤反思，拓展延伸再探究。
（1）所学知识：开平方的定义;平方根的定义。
（2）思想方法：从特殊到一般的归纳;数学抽象。
（3）解决疑惑：数的发展完善;数的运算完备。
（4）产生问题：
①数学中平方根往往有2个，而生活中往往只取其中的正数。你能给出实例吗？
②平方是乘方的特殊情形，开平方得平方根是开方的特殊情形。你能举例吗？
③我们发现下列计算，a+b-b= ;a÷b×b（b≠0）= 。
类似加减、乘除，乘方与开方也互逆。你还能提出什么运算？猜想怎么算。
【设计说明】区别于一般的“你有什么收获”的自主总结，规定问题的反思小结能让学生更具象地理解核心概念，促使学生在举例中学会类比发问，形成概括化的学科方法。
二、教学反思
（一）现实需要促进知识理性生长
初中数学概念教学既要灵活地把握好感性的课堂和学生，又要教会学生理性思考。本节课从学生熟悉的问题情境中挖掘生成的错误资源，产生现有运算储备不能完全解决问题的困惑，结合数学运算发展史，充分认识运算需要扩充，需要完备，对呼之欲出的概念产生迫切需求，充分考虑学段内知识的发生、发展与关联，激发学生学习兴趣。学生感受到所学知识来源于生活，数学概念是反映数学对象本质的思维形式，是形成数学知识体系的基础，是数学思想方法的重要载体。同时，教师把实际问题抽象成数学问题，通过一个个“为什么”引导学生的数学思维得到理性生长。
（二）生成概念促进知识继续生长
知识发生发展的过程，就是展示数学概念形成和深化的过程，展示数学规律发现的过程，展示數学知识拓展和运用的过程。
教者通过比较、分析、归纳、类比等形式引出开方，从而建立新的概念，推动学生数学知识的生长，而复原知识产生的过程正是学生知识生长的基础。遵循数学教材体系和学生认知结构的概念探究过程，水到渠成地生成开方和平方根的概念，学生收获的不仅是知识，还有思维延伸的活动过程。学生会感悟到学习数学就是“玩概念”，理解概念不仅要记住概念的定义形式，还要理解概念的内涵和外延。
（三）建构概念促进学生抽象归纳能力的发展
“概念是人脑的高级产物”，哪里有数学思维活动，哪里就有数学概念的出现和运用。建立概念必须对已有的知识结构有充分的了解，再借助教师呈现的变式材料和佐证，明确概念的外延。概念的形成是经历对具体实例的特征的归纳、类比、检验后明确的本质属性。给出定义并用符号表示概念，经历概念的抽象过程，能发展学生的抽象能力、推理能力、符号意识、模型思想等，使他们逐步形成数学的学科观念。
（四）深化概念促进学生解决问题能力的发展
学生通过综合训练，不但能强化知识的理解，增强运用知识解决问题的能力，而且能发散思维，达到概念内化的效果。当学生熟练掌握开平方及其性质后，再迁移运用到开立方等，这些就是自觉的行为。
通过“感知概念→生成概念→构建概念→深化概念”的教学模型，最终让学生不仅学会概念，更重要的是让学生学会如何学习一个新的知识，并且学会把新知识与旧知识进行联系，从而丰富知识体系，提升自学的能力。这也正是课标提出的让不同的人得到不同的发展，培养学生提出问题和发现问题的能力。
（作者单位：江苏省扬州市江都区浦头中学）
本文系江苏省教育科学“十三五”规划初中专项重点自筹课题“借助数学建模培养初中生创造性思维能力的教学策略研究”（课题立项编号：E-b/2018/07）阶段性研究成果。
【参考文献】
[1]黄和悦.重过程，重思维，回归本质[J]. 中学数学教学参考（中旬），2016（9）.
[2]石颐园.基于PCK内涵解析视角的初中数学概念教学策略[J]. 初中数学教与学，2017（6）.
[3]傅瑞琦.让学生学会提出问题[J]. 中国数学教育，2017（12）.
一、概念教学案例
（一）引入部分
1.问题：直角三角形两边长为3、4，则第三边长为 。
【设计说明】承接数学教材内部的序，由学生熟知的易错题出发，克服勾3股4弦5的思维定式，利用学生生成的错误资源感受分类思想。
2.数学运算的发展史。
算术数→引进负数：代数三次飞跃中的第一次飞跃→产生有理数→引进无理数：数学发展史上三次危机中的第一次危机→产生什么数？
【设计说明】充分考虑学段内知识的发生、发展和关联，突出章节起始课教学的大范畴。
3.从知识完备性来看数的运算。
有理数的减法与除法是如何运算的？乘方对应产生什么运算？
【设计说明】借助减法与除法转化成加法和乘法的思想方法，启发学生思考乘方对应的运算，感受本节课所学知识的内在价值。
（二）展開部分
1.生活数学紧相连，瞻前顾后想关联。
（1）【生活问题】已知一块正方形木板的边长是2米，那么这块正方形木板的面积是多少平方米？
【数学问题】计算：42，（[13]）2，（-0.3）2。
【基本结论】两类问题都是已知底数和指数，根据乘方定义求出幂。用符号语言表述为“在a2=x中，已知a，利用乘方，可以求出x”。
现在把上述问题反过来，逆向思考新问题，你会编题求解吗？
（2）【生活问题】已知一块正方形木板的面积是4平方米，那么这块正方形木板的边长是多少米？
【数学问题】已知一个数的平方等于16（或者[19]、0.09），这个数是多少？
【数学问题】设图1中的小方格的边长为1，你能分别算出两个长方形的对角线AB、A′B′的长吗？
【设计说明】从熟悉的生活和数学中的乘方入手，起点低，坡度小。逆向编题并解题能为平方根概念的自然生成夯实基础，同时，概念学习的同化和异化作用得以体现，彰显思维的完备性。
2.特殊一般来归纳，合情合理下定义。
【共性归纳】这两类问题相当于已知乘方的结果（幂）和指数（2），反过来求底数。用符号语言表述为“在x2=a中，已知a，如何求出x”。
【思考发现】上述问题应该是乘方运算的逆向问题。
【尝试解决】
（1）当x2=4时，因为22=4，（-2）2=4，所以x=±2。因为x代表边长，所以x=2。
（2）当x2=16时，因为42=16，（-4）2=16，所以x=±4。
（3）①当x2=169时，因为132=169，（-13）2=169，所以x=±13。因为x代表线段长，所以x=13。
②当x2=5时，因为（ ）2=5，（- ）2=5，所以x=±（ ）。因为x代表线段长，所以x=（ ）。
【设计说明】利用题组和符号表示，方便辨析异同，利于学生区分数学与生活的同与不同，也为算术平方根的学习做好铺垫。
【基本结论】使x2=a（a≥0）成立的数有两个，它们互为相反数。
【文字表达】如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数叫作a的平方根，也称为二次方根。
【符号表达】如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根。
一个正数a的正的平方根，记作“[a]”;一个正数a的负的平方根，记作“-[a]”。
正数a的两个平方根记作“±[a]”，读作“正、负根号a”。
3.以点带面理解透，规范表达很重要。
【学生交流】下列各数有平方根吗？如果有，请写出来;如果没有，请说明理由。
9，5，[925]，0.16，0，-36，-0.01，-8，-2017。
【学生归纳】一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
【给出定义】求一个数的平方根的运算叫作开平方。
例1 求下列各数的平方根。
（1）25;（2）[1681];（3）15;（4）0.09;（5）你会算（-0.3）2的平方根吗？
【设计说明】在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的困难，教师要给予适当的帮助和鼓励，同时板书示范（1）和（5）的解题过程，其余由学生板演，讲练结合，强化书写训练，突出文字与符号的转化意识。
例2 求下列各式中的x。
（1）x2=169;（2）4x2=169;
（3）（x2+y2）2=[1694]，你会求出x2+y2吗？[对比第（1）题找出相同点与不同点。]
【设计说明】循“实例感知→抽象概念→运用概念→辨析概念”的顺序，充分发挥学生的探究主动性，从不同维度厘清平方根的概念和运用，为下一节课辨清算术平方根夯实基础。 4.回顾过程勤反思，拓展延伸再探究。
（1）所学知识：开平方的定义;平方根的定义。
（2）思想方法：从特殊到一般的归纳;数学抽象。
（3）解决疑惑：数的发展完善;数的运算完备。
（4）产生问题：
①数学中平方根往往有2个，而生活中往往只取其中的正数。你能给出实例吗？
②平方是乘方的特殊情形，开平方得平方根是开方的特殊情形。你能举例吗？
③我们发现下列计算，a+b-b= ;a÷b×b（b≠0）= 。
类似加减、乘除，乘方与开方也互逆。你还能提出什么运算？猜想怎么算。
【设计说明】区别于一般的“你有什么收获”的自主总结，规定问题的反思小结能让学生更具象地理解核心概念，促使学生在举例中学会类比发问，形成概括化的学科方法。
二、教学反思
（一）现实需要促进知识理性生长
初中数学概念教学既要灵活地把握好感性的课堂和学生，又要教会学生理性思考。本节课从学生熟悉的问题情境中挖掘生成的错误资源，产生现有运算储备不能完全解决问题的困惑，结合数学运算发展史，充分认识运算需要扩充，需要完备，对呼之欲出的概念产生迫切需求，充分考虑学段内知识的发生、发展与关联，激发学生学习兴趣。学生感受到所学知识来源于生活，数学概念是反映数学对象本质的思维形式，是形成数学知识体系的基础，是数学思想方法的重要载体。同时，教师把实际问题抽象成数学问题，通过一个个“为什么”引导学生的数学思维得到理性生长。
（二）生成概念促进知识继续生长
知识发生发展的过程，就是展示数学概念形成和深化的过程，展示数学规律发现的过程，展示數学知识拓展和运用的过程。
教者通过比较、分析、归纳、类比等形式引出开方，从而建立新的概念，推动学生数学知识的生长，而复原知识产生的过程正是学生知识生长的基础。遵循数学教材体系和学生认知结构的概念探究过程，水到渠成地生成开方和平方根的概念，学生收获的不仅是知识，还有思维延伸的活动过程。学生会感悟到学习数学就是“玩概念”，理解概念不仅要记住概念的定义形式，还要理解概念的内涵和外延。
（三）建构概念促进学生抽象归纳能力的发展
“概念是人脑的高级产物”，哪里有数学思维活动，哪里就有数学概念的出现和运用。建立概念必须对已有的知识结构有充分的了解，再借助教师呈现的变式材料和佐证，明确概念的外延。概念的形成是经历对具体实例的特征的归纳、类比、检验后明确的本质属性。给出定义并用符号表示概念，经历概念的抽象过程，能发展学生的抽象能力、推理能力、符号意识、模型思想等，使他们逐步形成数学的学科观念。
（四）深化概念促进学生解决问题能力的发展
学生通过综合训练，不但能强化知识的理解，增强运用知识解决问题的能力，而且能发散思维，达到概念内化的效果。当学生熟练掌握开平方及其性质后，再迁移运用到开立方等，这些就是自觉的行为。
通过“感知概念→生成概念→构建概念→深化概念”的教学模型，最终让学生不仅学会概念，更重要的是让学生学会如何学习一个新的知识，并且学会把新知识与旧知识进行联系，从而丰富知识体系，提升自学的能力。这也正是课标提出的让不同的人得到不同的发展，培养学生提出问题和发现问题的能力。
（作者单位：江苏省扬州市江都区浦头中学）
本文系江苏省教育科学“十三五”规划初中专项重点自筹课题“借助数学建模培养初中生创造性思维能力的教学策略研究”（课题立项编号：E-b/2018/07）阶段性研究成果。
【参考文献】
[1]黄和悦.重过程，重思维，回归本质[J]. 中学数学教学参考（中旬），2016（9）.
[2]石颐园.基于PCK内涵解析视角的初中数学概念教学策略[J]. 初中数学教与学，2017（6）.
[3]傅瑞琦.让学生学会提出问题[J]. 中国数学教育，2017（12）.