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[摘 要]近年来各地的小学数学毕业试题呈现规避机械考核、凸显核心素养、考查模型思想、引导研究学习等特色。压轴题作为思维的制高点，倡导“核心素养、小题递进、知识潜能、应用价值”的命题理念，要求教师教学时要重视学生几何直观的培养、数学建模的渗透、过程性分析的运用、学习习惯的养成。
[关键词]小学数学;毕业考;核心素养;压轴题;模型思想;几何直观
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）29-0045-02
近年来各地的小学数学毕业试题呈现规避机械考核、凸显核心素养、考查模型思想、引导研究学习等特色，对小学数学教学起到了良好的导向作用。同时作为一场总结与检验小学六年学习成果的毕业考试，试题必须兼顾基础性和发展性，具备应有的信度、效度、梯度、难度以及区分度。压轴题作为思维的制高点，一般说来具有内隐性、创新性、综合性等特点。对于压轴题，很多学生或浅尝辄止，或畏难止步。广大一线教师对于压轴题的教法也各有千秋。笔者认为，学习数学的过程就是研究模型、建立模型，进而使用模型解决问题的过程。因此，在教学压轴题时，应先从一道压轴题出发，归类一类问题的解决策略，再选用恰当的思维起点分析，形成一定的解题模型。基于此，笔者对近几年小学数学毕业考压轴题进行了分析与思考，采摘一例如下。
一、试题再现
【例题】一艘渔船在救援中心东偏北30°方向的180千米处触礁遇险，预计2小时后沉没。救援中心有2艘搜救船，时速均为80千米/时。此时甲搜救船正在救援中心北偏东30°方向的120千米处巡逻，乙搜救船在救援中心待命。
（1）在下图中按比例画出遇险渔船和甲搜救船的具体位置。
（2）你认为应该派哪艘船救援？它能否及时赶到遇险地点？（请在必要的测量后，用计算来说明）
二、试题分析
该试题考查的是运用坐标描述图形的位置和运动、比例尺、行程问题等知识点。
第（1）题主要考核的是“图形与几何”领域的运用坐标描述图形的位置和运动。解决时，首先要应用比例尺知识，由实际距离算出图上距离。遇险渔船与救援中心的图上距离为180×100000×[14000000]=4.5（厘米），甲搜救船与救援中心的图上距离为120×100000×[14000000]=3（厘米）。再根据图上距离4.5厘米与东偏北30°画出遇险渔船的具体位置，根据图上距离3厘米与北偏东30°画出甲搜救船的具体位置。
第（2）题的完成主要有两个思考过程，其一是判定派哪艘船去救援。从“乙搜救船在救援中心待命”可以确定，180÷80>2小时，所以乙搜救船排除在外。其二则要判断甲搜救船能否及时赶到。测量出遇险渔船与甲搜救船之间的图上距离为2.5厘米，现有以下四种方法：
方法一：比较时间。先应用比例尺完成图上距离与实际距离的换算：2.5×4000000÷100000=100（千米），再用“路程÷速度=时间”，求出100÷80=1.25（小时），1.25小时<2小时，甲搜救船能及时赶到。
方法二：比较实际距离。2.5×4000000÷100000=100（千米），80×2=160（千米），100千米<160千米，甲搜救船能及时赶到。
方法三：比较图上距离。甲搜救船2小时所行的实际距离所对应的图上距离为80×2×100000×[14000000]=4（厘米），2.5厘米<4厘米，甲搜救船能及时赶到。
方法四：求比值。（2.5×4000000÷100000）∶（80×2）=100∶160=[58]，[58]<1，甲搜救船能及时赶到。
三、试题特色
1.凸显导向核心素养教学的命题理念
数学课程应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要注重发展学生的应用意识和创新意识。
例题通过派哪艘船救援这一实际问题，探索图形的位置运动与行程问题的动态联系，是一道蕴含丰富数学思想方法的动态性试题。比例尺的应用贯穿始终，画图时需达成实际距离与图上距离的对接，解决问题时需完成图上距离与实际距离的转换，体现了“比例尺解决问题”这一数学模型的应用。同时，问题的解决过程锻炼了学生的几何直观、空间观念与推理能力，培养了学生的核心素养。
2. 体现小题联系层级递进的设问策略
命题者的设问充满了智慧，体现了压轴题层级递进的设问策略。第（1）问要求“在图中按比例画出遇险渔船和甲搜救船的具体位置”，起点低，易于学生进入解题状态。学生只需要根据方向与距离两个元素确定具体位置即可。第（2）问基于第（1）问的画图基础，实质是借助“速度、时间、路程”这一数学模型，通过比较来解决问题。方法多样、本质相通，考查学生灵活解决问题的能力，体现了小题设问的螺旋上升。
3.重視知识运用潜能挖掘的评价方式
小学毕业考试作为一场总结与检验学生六年学习成果的考核，应考查学生运用知识解决问题的能力，考查学生继续学习的潜在能力。例题看似熟悉常见，但知识间的融合巧妙，两个问题的设计视角独特。解决该问题时，不仅需要综合运用平时的解题经验，而且需要充分运用数学理解能力。
4.突出数学实际应用价值的背景元素
数学源于生活，用于生活，特别是小学数学，更是充分体现了数学与生活的紧密联系。这道压轴题的命题素材来源于生活实际问题，解决的也是与生活实际有关的问题。由此可见，融合多种生活元素，突出数学的实用价值应该是压轴题的出题背景之一。
四、教学启示 1.重视几何直观的培养
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
几何基本图形蕴含了丰富的数学性质，它是数学研究的重要载体，是学生形成空间观念的基础。小学生的思维以具体形象思维为主，所以几何直观能力是积累小学经验性几何知识的保证，是思考数学问题、发展数形结合思想的基础，是学生必备的一种基本数学素养。通俗地讲，几何直观就是看图想题、读题画图、借图解题的策略与手段。小学高年级的数学教学中往往会有需要借助画图等方式来解决的数学问题，当然这个画图的需求可能是题中要求的，也可能是隐喻，需要学生内化为自觉画图行为的。这都要求我们广大一线教师在平时的教学中让学生经历过程、熟悉步骤、积累充分的学习经验，重视图形的变换，体验图形的运动，在头脑中留下数形结合的表象。学生只有熟悉几何直观的应用，掌握问题研究的基本方法，才能游刃有余地面对复杂问题，并能自觉运用几何直观的方法解决新的数学问题。
2.重视数学建模的渗透
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在前言中指出，义务教育阶段数学课程在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
在数学模型建立时，需要对该模型进行归纳与消化;在运用模型解题时，需要在记忆中提取有效模型进行应用。历年毕业考压轴题都蕴含着丰富的教学资源，教师可以利用一些经典的问题，加强数学模型思想的渗透，将知识、题型、解法归类与模型化。比如例题中的比例模型、行程模型、幾何模型等，教师要使学生能辨认它属于哪一类模型，或是由哪些基本模型复合而成，然后加以提炼，使解题有章可循，提升解题效率。这些经历有助于学生初步形成模型思想。在日常教学中，要设计有效的数学活动让学生经历完整的建模过程，通过提炼模型→识别模型→理解模型→运用模型，促进学生在反思和感悟中形成模型思想，并内化为自身的一种核心素养。
3.重视过程性分析的运用
思维具有过程性决定了思维的动态性，即问题的思维过程包含知识搜索及结论推理的过程。在知识搜索的过程中，结合结论推理得出相关结论，利用这些结论探索解题方法的分析方式即为过程性分析。
重视过程性分析，即在学习的过程中重视经验性知识的累积，并在解决问题的过程中经历提取经验性知识。学生在解决压轴题时，往往会出现在限定的时间内无法立刻破题的现象，这就需要搜集有用条件，进行分析与推理。这个过程就需要知识完备。比如，例题中出现比例尺，那就需要比例尺的知识完备。比例尺从类别上看有两种，分别是数值比例尺与线段比例尺。这时，须结合题中信息，确定是哪种比例尺。比例尺从应用上看也有两种，分别是求实际距离与求图上距离。综上分析，例题是根据已知的比例尺与实际距离求图上距离，又涉及了“位置与方向”的综合应用以及绘制简易路线图、方位图等思维下枝。
4.重视学习习惯的养成
在数学学习过程中形成的意志品质和学习习惯对学生今后的学习与处事都将产生深刻的影响。解题教学中，教师通过分析问题、预测结果、探寻方法、解答格式等程序，培养学生处理问题的预见能力、思维能力和意志力。“严谨思维，规范表达”是学生日积月累才能养成的习惯，很难在短暂的复习阶段做出明显的改进，这就要求教师要在平时的教学中一点一滴地培养学生良好的思考和解题习惯，引导他们做到分析有条理、推理有依据、解题有过程，从而形成良好的思维品质。
（责编 吴美玲）
[关键词]小学数学;毕业考;核心素养;压轴题;模型思想;几何直观
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）29-0045-02
近年来各地的小学数学毕业试题呈现规避机械考核、凸显核心素养、考查模型思想、引导研究学习等特色，对小学数学教学起到了良好的导向作用。同时作为一场总结与检验小学六年学习成果的毕业考试，试题必须兼顾基础性和发展性，具备应有的信度、效度、梯度、难度以及区分度。压轴题作为思维的制高点，一般说来具有内隐性、创新性、综合性等特点。对于压轴题，很多学生或浅尝辄止，或畏难止步。广大一线教师对于压轴题的教法也各有千秋。笔者认为，学习数学的过程就是研究模型、建立模型，进而使用模型解决问题的过程。因此，在教学压轴题时，应先从一道压轴题出发，归类一类问题的解决策略，再选用恰当的思维起点分析，形成一定的解题模型。基于此，笔者对近几年小学数学毕业考压轴题进行了分析与思考，采摘一例如下。
一、试题再现
【例题】一艘渔船在救援中心东偏北30°方向的180千米处触礁遇险，预计2小时后沉没。救援中心有2艘搜救船，时速均为80千米/时。此时甲搜救船正在救援中心北偏东30°方向的120千米处巡逻，乙搜救船在救援中心待命。
（1）在下图中按比例画出遇险渔船和甲搜救船的具体位置。
（2）你认为应该派哪艘船救援？它能否及时赶到遇险地点？（请在必要的测量后，用计算来说明）
二、试题分析
该试题考查的是运用坐标描述图形的位置和运动、比例尺、行程问题等知识点。
第（1）题主要考核的是“图形与几何”领域的运用坐标描述图形的位置和运动。解决时，首先要应用比例尺知识，由实际距离算出图上距离。遇险渔船与救援中心的图上距离为180×100000×[14000000]=4.5（厘米），甲搜救船与救援中心的图上距离为120×100000×[14000000]=3（厘米）。再根据图上距离4.5厘米与东偏北30°画出遇险渔船的具体位置，根据图上距离3厘米与北偏东30°画出甲搜救船的具体位置。
第（2）题的完成主要有两个思考过程，其一是判定派哪艘船去救援。从“乙搜救船在救援中心待命”可以确定，180÷80>2小时，所以乙搜救船排除在外。其二则要判断甲搜救船能否及时赶到。测量出遇险渔船与甲搜救船之间的图上距离为2.5厘米，现有以下四种方法：
方法一：比较时间。先应用比例尺完成图上距离与实际距离的换算：2.5×4000000÷100000=100（千米），再用“路程÷速度=时间”，求出100÷80=1.25（小时），1.25小时<2小时，甲搜救船能及时赶到。
方法二：比较实际距离。2.5×4000000÷100000=100（千米），80×2=160（千米），100千米<160千米，甲搜救船能及时赶到。
方法三：比较图上距离。甲搜救船2小时所行的实际距离所对应的图上距离为80×2×100000×[14000000]=4（厘米），2.5厘米<4厘米，甲搜救船能及时赶到。
方法四：求比值。（2.5×4000000÷100000）∶（80×2）=100∶160=[58]，[58]<1，甲搜救船能及时赶到。
三、试题特色
1.凸显导向核心素养教学的命题理念
数学课程应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要注重发展学生的应用意识和创新意识。
例题通过派哪艘船救援这一实际问题，探索图形的位置运动与行程问题的动态联系，是一道蕴含丰富数学思想方法的动态性试题。比例尺的应用贯穿始终，画图时需达成实际距离与图上距离的对接，解决问题时需完成图上距离与实际距离的转换，体现了“比例尺解决问题”这一数学模型的应用。同时，问题的解决过程锻炼了学生的几何直观、空间观念与推理能力，培养了学生的核心素养。
2. 体现小题联系层级递进的设问策略
命题者的设问充满了智慧，体现了压轴题层级递进的设问策略。第（1）问要求“在图中按比例画出遇险渔船和甲搜救船的具体位置”，起点低，易于学生进入解题状态。学生只需要根据方向与距离两个元素确定具体位置即可。第（2）问基于第（1）问的画图基础，实质是借助“速度、时间、路程”这一数学模型，通过比较来解决问题。方法多样、本质相通，考查学生灵活解决问题的能力，体现了小题设问的螺旋上升。
3.重視知识运用潜能挖掘的评价方式
小学毕业考试作为一场总结与检验学生六年学习成果的考核，应考查学生运用知识解决问题的能力，考查学生继续学习的潜在能力。例题看似熟悉常见，但知识间的融合巧妙，两个问题的设计视角独特。解决该问题时，不仅需要综合运用平时的解题经验，而且需要充分运用数学理解能力。
4.突出数学实际应用价值的背景元素
数学源于生活，用于生活，特别是小学数学，更是充分体现了数学与生活的紧密联系。这道压轴题的命题素材来源于生活实际问题，解决的也是与生活实际有关的问题。由此可见，融合多种生活元素，突出数学的实用价值应该是压轴题的出题背景之一。
四、教学启示 1.重视几何直观的培养
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
几何基本图形蕴含了丰富的数学性质，它是数学研究的重要载体，是学生形成空间观念的基础。小学生的思维以具体形象思维为主，所以几何直观能力是积累小学经验性几何知识的保证，是思考数学问题、发展数形结合思想的基础，是学生必备的一种基本数学素养。通俗地讲，几何直观就是看图想题、读题画图、借图解题的策略与手段。小学高年级的数学教学中往往会有需要借助画图等方式来解决的数学问题，当然这个画图的需求可能是题中要求的，也可能是隐喻，需要学生内化为自觉画图行为的。这都要求我们广大一线教师在平时的教学中让学生经历过程、熟悉步骤、积累充分的学习经验，重视图形的变换，体验图形的运动，在头脑中留下数形结合的表象。学生只有熟悉几何直观的应用，掌握问题研究的基本方法，才能游刃有余地面对复杂问题，并能自觉运用几何直观的方法解决新的数学问题。
2.重视数学建模的渗透
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在前言中指出，义务教育阶段数学课程在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
在数学模型建立时，需要对该模型进行归纳与消化;在运用模型解题时，需要在记忆中提取有效模型进行应用。历年毕业考压轴题都蕴含着丰富的教学资源，教师可以利用一些经典的问题，加强数学模型思想的渗透，将知识、题型、解法归类与模型化。比如例题中的比例模型、行程模型、幾何模型等，教师要使学生能辨认它属于哪一类模型，或是由哪些基本模型复合而成，然后加以提炼，使解题有章可循，提升解题效率。这些经历有助于学生初步形成模型思想。在日常教学中，要设计有效的数学活动让学生经历完整的建模过程，通过提炼模型→识别模型→理解模型→运用模型，促进学生在反思和感悟中形成模型思想，并内化为自身的一种核心素养。
3.重视过程性分析的运用
思维具有过程性决定了思维的动态性，即问题的思维过程包含知识搜索及结论推理的过程。在知识搜索的过程中，结合结论推理得出相关结论，利用这些结论探索解题方法的分析方式即为过程性分析。
重视过程性分析，即在学习的过程中重视经验性知识的累积，并在解决问题的过程中经历提取经验性知识。学生在解决压轴题时，往往会出现在限定的时间内无法立刻破题的现象，这就需要搜集有用条件，进行分析与推理。这个过程就需要知识完备。比如，例题中出现比例尺，那就需要比例尺的知识完备。比例尺从类别上看有两种，分别是数值比例尺与线段比例尺。这时，须结合题中信息，确定是哪种比例尺。比例尺从应用上看也有两种，分别是求实际距离与求图上距离。综上分析，例题是根据已知的比例尺与实际距离求图上距离，又涉及了“位置与方向”的综合应用以及绘制简易路线图、方位图等思维下枝。
4.重视学习习惯的养成
在数学学习过程中形成的意志品质和学习习惯对学生今后的学习与处事都将产生深刻的影响。解题教学中，教师通过分析问题、预测结果、探寻方法、解答格式等程序，培养学生处理问题的预见能力、思维能力和意志力。“严谨思维，规范表达”是学生日积月累才能养成的习惯，很难在短暂的复习阶段做出明显的改进，这就要求教师要在平时的教学中一点一滴地培养学生良好的思考和解题习惯，引导他们做到分析有条理、推理有依据、解题有过程，从而形成良好的思维品质。
（责编 吴美玲）