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电影《非诚勿扰2》带红了一首诗——
你见，或者不见我
我就在那里
不悲不喜
你念，或者不念我
情就在那里
不来不去
你爱，或者不爱我
爱就在那里
不增不减
……
一千个读者心中有一千个哈姆雷特。对这首诗，不管是网上争的对生命、爱情的解读也好，还是作者所要表达的大师对弟子不离不弃的关爱也好，最初在我，似乎只是没有任何理由地喜欢。心底默念中一次次被打动，是一种自然而平和的力量。久而久之，竟把它的意象和每天打交道的数学教学联系在一起：我正带领着我的学生们，漫步在数学的林子里，在薄薄的晨雾中找寻和感受那份自然而平和的力量……
当下，全国范围内兴起一股有效教学研究之热，“高效课堂”“向40分钟要效率”等等这样的教育口号不绝于耳。有效教学的核心就是教学的效益，要求教师要有时间与效益的观念。然而，何为高效？现实中，我们看到普遍应答是在高效指引下的“花最少的时间教最多的内容”“只要学生分数高”……于是，老师们盯紧了脚下的路，埋头前进，牵着学生的鼻子奔劳于显性的知识与技巧。
不禁想到，苏霍姆林斯基经常带孩子到大自然中去上课，是低效教学吗？卢梭说：“最重要的教育原则是不要爱惜时间，要浪费时间。”由我们今天的耳朵来听，是谬论吗？卢梭这样辩护：误用光阴比虚掷光阴损失更大，教育错了的儿童比未受教育的儿童离智慧更远。著名特级教师华应龙也说：好课，要舍得“浪费时间”。效益，不能只看当下知识的储存，目标更应该指向儿童的将来。日本数学教育家米山国藏说:“学生们所学到的数学知识, 在进入社会后不到一两年就忘掉了, 然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”
教育是慢的艺术，更是长远的艺术。
一、居高才能临下——高观点下的初等数学意识
中国科学院院士、数学家张景中先生指出：小学生学的是很初等的数学，但教学研究要有高观点。所谓高观点，就是指站在更高更广的知识体系中去理解和认识低浅知识的思想方法。观点越高，事物越显简单，教学越有深度和广度。
遗憾的是小学数学中有不少概念、结论和方法由于受学生认识水平和接受能力的限制，在教材中都被简化处理，如果教师由于长时间接触这些“被简化处理”的数学内容，形成了一种思维惰性或定性思维，缺乏积极思考和分析现代数学问题的兴趣，仅限于教材，不问来龙去脉。久而久之，就容易把数学教学局限于小学数学学科本身，缺乏深度和广度。
例如，方程的定义，小学数学教材中是这样给出的：“含有未知数的等式叫方程”，其实并没有反映方程的本原思想。方程的实质是：“为了寻求未知数，在己知数和未知数之间建立起来的一种等式关系。”站在这个高度上，教师就不会强求学生去记和背，也不会让学生去做诸如“x=1是不是方程”“x-x=0，a b=b a是不是方程”这样的怪题。而是把力气花在把握方程的实质上，让学生学会解方程并能够建立方程的模型，找出已知数和未知数之间的等量关系。
陈省身先生曾经把数学分为好的数学和不好的数学，“好的数学就是有开创性的，有发展前途的。好的数学可以不断深入，有深远意义，能够影响许多学科。比如说，方程就是好的数学”。 不好的数学是一些比较孤立的内容。
好的数学，是我们追求的彼岸。好的数学不仅是数学，更是人学。她不仅关注昨天和今天，更指向明天，她不会让学生仅仅做机械的搬运，而是带着好奇和探究走向充满希望的未来。好的数学不只是教知识与方法，还教思想。因为，数学思想方法支撑着整座数学大厦，无处不在，用它独特的魅力融浸在人类文化的历史长河中。
小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。这些都属于好的数学。一个好的数学教师应该丰厚自己的数学素养，然后站在高的观点下,用好的思想去冲破那些习以为常的惯习，用好的数学去滋养那些嗷嗷待哺的心灵。
于是，我们实践中自觉追求：居高临下，力透纸背，去释放凝结在具体数学知识、结论背后的数学精神因子；瞻前顾后，聚焦课堂，去彰显数学的文化性格。
我们会在基本的加减计算练习后让学生去寻找变与不变，渗透变量和函数的思想。我们会在教学简单的“同样多”时渗透一一对应的思想，在探究运算律中帮助学生建立符号化的思想，在认识长方形和正方形后渗透集合的数学思想，透过枯燥的计算题揭示出其中的化归思想，在应用题教学中贯穿数形结合的思想……有人说，几何是数学思想的摇篮。我们会在“方”砖砌出“圆”烟囱的探讨中，引出“圆出于方”的数学转化思想，再由刘徽的“割圆术”渗透极限思想，让学生感受到古人的数学智慧，沐浴在有思想的数学里生长。甚至一年级学认10以内的数时我们也可以有意识地多举一些例子，学数的同时照顾到几何的语言：1个圆有1个圆心，1条线段有1个中点，一条线段有2个端点，三角形有3条边，3个顶点，正方形有4条边4个顶点……因为几何不仅是直观的图形，还需要推理，推理就要使用语言。
不仅仅是这些，数学的课堂还可以渗透文化的因子，数学的美，数学的趣，数学的神奇应用。全方位，多角度地影响学生的心灵。徐利治先生把“孤帆远影碧空尽”当做极限的意境；陈子昂的诗“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独创然而涕下”就是一维时间和三维空间的结合；用“满园春色关不住，一枝红杏出墙来”形容数学上的“无界”概念。难怪数学家莱布尼兹感叹：音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目在打交道。
二、情动方会辞发——回应儿童天性的低位传授
教师从高观点来理解和认识，并不是要照搬高观点的方法来教学，而是在高观点的指导下，充分尊重儿童的天性、儿童的认识水平和规律进行教学。
德国一位著名学者曾说：“将15克盐放在你的面前，无论如何你也难以下咽。但当将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你在享用佳肴时，就将15克盐全部吸收了。”数学思想如盐，合适的形式如汤。加上佐料，就可以变得灵动异常，变得可口而又有营养。将盐放进汤里，喝下去盐就被身体吸收。
小学数学是儿童数学。唯有读懂儿童，才能走近儿童，智慧地给纯粹的数学穿上合适的外衣，呈现给儿童。
●儿童是充满好奇的
一位教师课始呈现一个美丽的花瓶，随着课件的演示美丽的花瓶一下子碎了。可惜之心是人之常情，普通人的思考到此为止，教者此时介绍丹麦科学家雅各布·博尔在伤心之余，研究碎片并得到了有价值的发现：最大碎片与次大碎片的重量比是16：1，次大碎片与中等碎片的重量比为16：1，中等碎片与较小碎片的重量比16：1，较小碎片与最小碎片的重量比16：1。这个发现对考古工作有重大的意义。
学生感到很意外。凸显这个意外，引发学生去思考：同样面对生活中的一件事，为什么我们什么也没有发现，科学家却有了惊人的发现？有的学生说：他有一颗善于发现的心。还有的学生说：我们只从普通角度来观察，他从数学的角度来思考。接下来的课堂中，教师又带领学生玩转盘游戏，石头剪刀布等游戏，不断引领学生用数学的眼睛看世界。意外，深入思考，个性创造，数学似一枚美丽的五彩石在孩子的眼中熠熠生辉。在解决一个个临界点的过程中，学生们睁开了“第三只眼”，一次一次强烈感受到数学的神奇，感受到善于从不同的角度观察、分析和思考的重要性。在这一过程中，学生经历了一次数学思想上的洗礼，获得了在知识以外更重要的启迪与唤醒。
这是课堂上展示数学内在的神奇，我们还可以向学生展示数学看得到的美丽。如在四年级学习三角形时，我们教学生做雪花。其实，这就是现代数学中的KOCH曲线。但我们跟小学生显然要用更合适的语言来讲：先画一个等边三角形，把每条边平均分成3份，以中间的一段为底边，向外再画一个等边三角形，并擦去它的底边。像这样再画两次，就得到了这个美丽的图案。用相似的方法，还可以在计算机上方便地作出很多很奇妙、很漂亮的分形图形。这些图形直观性强，色彩绚烂丰富，不仅能让小学生强烈地感受到数学的美和神奇，还能唤起他们内心深处对数学的好奇。
●儿童是爱做游戏的
教学用含有字母的式子表示乘法关系，渗透函数对应的思想。我设计了玩“数学魔盒”的游戏情境。玩之前，我告诉学生：这是一个神奇的数学魔盒，当你从左边放进一个数，经过魔盒的加工马上可以吐出另外一个数。我先让学生充分地玩，这个神奇的盒子激起了学生极大的探究欲望，在经历猜想、检验、讨论、概括后学生成功揭示魔盒中所藏着的秘密，并用含有字母的式子表示出来。充分活动中的猜想，大胆猜想后的验证，揭示秘密后的欢呼。因为情绪热烈所以体验深刻，因为探究深入所以水到渠成。函数的两个要素是定义域和加工原理，抽象概括的过程就是找对应关系，这中间的加工过程我把它隐藏在一个神秘的匣子里。放进盒子的数在变，出来的数也在变，但两者之间的关系却始终不变。此时我以科学家开普勒的话作结：数学是研究千变万化中不变的关系。这一画龙点睛之笔定能让不同层次的学生各有感悟。“魔盒”是一个蕴含函数思想的载体，因为它承载着数学抽象的同时又满足了儿童的游戏冲动。
●儿童是爱听故事的
教学“素数和合数”时，我引进这样一个故事。1634年，来自欧洲的殖民者在美洲大陆田纳西地区经历了一场恐怖：大量的蝉（达到每公顷数百万只）仿佛一夜之间从地底冒出，几个星期之后，有销声匿迹。时隔17年，这一现象再次出现，直到1991年，共出现了22次，周期非常准确。科学家发现，这些地区蝉的生命周期大都为素数。为什么呢？科学家解释说，蝉在进化的过程中选择素数为生命周期，可以大大降低与天敌遭遇的概率。如果它的生命周期是12年，则与那些生命周期为1年、2年、3年、4年、6年及12年的天敌都可能遭遇，而使得种群生存受威胁。
教学内容隐含在故事背后，知识的学习伴随着丰富的数学思考，方法的渗透伴随着理性精神的培育。学生在思辨中体会到数学的巨大力量，获得心灵上的震撼。
數学思想是自然而平和的。不管你见，或者不见，爱或者不爱，她就在那里。把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，美丽的数学就会淹没在形式化的海洋里。如何让学生发现她的魅力，真正爱上她，不离不弃？还是一句老话说得好，要给学生一杯水，自己得有一桶水。
（作者单位：江苏南通师范第二附属小学）
本栏责任编辑李淳
（投稿邮箱lichun @gdjy .cn）
你见，或者不见我
我就在那里
不悲不喜
你念，或者不念我
情就在那里
不来不去
你爱，或者不爱我
爱就在那里
不增不减
……
一千个读者心中有一千个哈姆雷特。对这首诗，不管是网上争的对生命、爱情的解读也好，还是作者所要表达的大师对弟子不离不弃的关爱也好，最初在我，似乎只是没有任何理由地喜欢。心底默念中一次次被打动，是一种自然而平和的力量。久而久之，竟把它的意象和每天打交道的数学教学联系在一起：我正带领着我的学生们，漫步在数学的林子里，在薄薄的晨雾中找寻和感受那份自然而平和的力量……
当下，全国范围内兴起一股有效教学研究之热，“高效课堂”“向40分钟要效率”等等这样的教育口号不绝于耳。有效教学的核心就是教学的效益，要求教师要有时间与效益的观念。然而，何为高效？现实中，我们看到普遍应答是在高效指引下的“花最少的时间教最多的内容”“只要学生分数高”……于是，老师们盯紧了脚下的路，埋头前进，牵着学生的鼻子奔劳于显性的知识与技巧。
不禁想到，苏霍姆林斯基经常带孩子到大自然中去上课，是低效教学吗？卢梭说：“最重要的教育原则是不要爱惜时间，要浪费时间。”由我们今天的耳朵来听，是谬论吗？卢梭这样辩护：误用光阴比虚掷光阴损失更大，教育错了的儿童比未受教育的儿童离智慧更远。著名特级教师华应龙也说：好课，要舍得“浪费时间”。效益，不能只看当下知识的储存，目标更应该指向儿童的将来。日本数学教育家米山国藏说:“学生们所学到的数学知识, 在进入社会后不到一两年就忘掉了, 然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”
教育是慢的艺术，更是长远的艺术。
一、居高才能临下——高观点下的初等数学意识
中国科学院院士、数学家张景中先生指出：小学生学的是很初等的数学，但教学研究要有高观点。所谓高观点，就是指站在更高更广的知识体系中去理解和认识低浅知识的思想方法。观点越高，事物越显简单，教学越有深度和广度。
遗憾的是小学数学中有不少概念、结论和方法由于受学生认识水平和接受能力的限制，在教材中都被简化处理，如果教师由于长时间接触这些“被简化处理”的数学内容，形成了一种思维惰性或定性思维，缺乏积极思考和分析现代数学问题的兴趣，仅限于教材，不问来龙去脉。久而久之，就容易把数学教学局限于小学数学学科本身，缺乏深度和广度。
例如，方程的定义，小学数学教材中是这样给出的：“含有未知数的等式叫方程”，其实并没有反映方程的本原思想。方程的实质是：“为了寻求未知数，在己知数和未知数之间建立起来的一种等式关系。”站在这个高度上，教师就不会强求学生去记和背，也不会让学生去做诸如“x=1是不是方程”“x-x=0，a b=b a是不是方程”这样的怪题。而是把力气花在把握方程的实质上，让学生学会解方程并能够建立方程的模型，找出已知数和未知数之间的等量关系。
陈省身先生曾经把数学分为好的数学和不好的数学，“好的数学就是有开创性的，有发展前途的。好的数学可以不断深入，有深远意义，能够影响许多学科。比如说，方程就是好的数学”。 不好的数学是一些比较孤立的内容。
好的数学，是我们追求的彼岸。好的数学不仅是数学，更是人学。她不仅关注昨天和今天，更指向明天，她不会让学生仅仅做机械的搬运，而是带着好奇和探究走向充满希望的未来。好的数学不只是教知识与方法，还教思想。因为，数学思想方法支撑着整座数学大厦，无处不在，用它独特的魅力融浸在人类文化的历史长河中。
小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。这些都属于好的数学。一个好的数学教师应该丰厚自己的数学素养，然后站在高的观点下,用好的思想去冲破那些习以为常的惯习，用好的数学去滋养那些嗷嗷待哺的心灵。
于是，我们实践中自觉追求：居高临下，力透纸背，去释放凝结在具体数学知识、结论背后的数学精神因子；瞻前顾后，聚焦课堂，去彰显数学的文化性格。
我们会在基本的加减计算练习后让学生去寻找变与不变，渗透变量和函数的思想。我们会在教学简单的“同样多”时渗透一一对应的思想，在探究运算律中帮助学生建立符号化的思想，在认识长方形和正方形后渗透集合的数学思想，透过枯燥的计算题揭示出其中的化归思想，在应用题教学中贯穿数形结合的思想……有人说，几何是数学思想的摇篮。我们会在“方”砖砌出“圆”烟囱的探讨中，引出“圆出于方”的数学转化思想，再由刘徽的“割圆术”渗透极限思想，让学生感受到古人的数学智慧，沐浴在有思想的数学里生长。甚至一年级学认10以内的数时我们也可以有意识地多举一些例子，学数的同时照顾到几何的语言：1个圆有1个圆心，1条线段有1个中点，一条线段有2个端点，三角形有3条边，3个顶点，正方形有4条边4个顶点……因为几何不仅是直观的图形，还需要推理，推理就要使用语言。
不仅仅是这些，数学的课堂还可以渗透文化的因子，数学的美，数学的趣，数学的神奇应用。全方位，多角度地影响学生的心灵。徐利治先生把“孤帆远影碧空尽”当做极限的意境；陈子昂的诗“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独创然而涕下”就是一维时间和三维空间的结合；用“满园春色关不住，一枝红杏出墙来”形容数学上的“无界”概念。难怪数学家莱布尼兹感叹：音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目在打交道。
二、情动方会辞发——回应儿童天性的低位传授
教师从高观点来理解和认识，并不是要照搬高观点的方法来教学，而是在高观点的指导下，充分尊重儿童的天性、儿童的认识水平和规律进行教学。
德国一位著名学者曾说：“将15克盐放在你的面前，无论如何你也难以下咽。但当将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你在享用佳肴时，就将15克盐全部吸收了。”数学思想如盐，合适的形式如汤。加上佐料，就可以变得灵动异常，变得可口而又有营养。将盐放进汤里，喝下去盐就被身体吸收。
小学数学是儿童数学。唯有读懂儿童，才能走近儿童，智慧地给纯粹的数学穿上合适的外衣，呈现给儿童。
●儿童是充满好奇的
一位教师课始呈现一个美丽的花瓶，随着课件的演示美丽的花瓶一下子碎了。可惜之心是人之常情，普通人的思考到此为止，教者此时介绍丹麦科学家雅各布·博尔在伤心之余，研究碎片并得到了有价值的发现：最大碎片与次大碎片的重量比是16：1，次大碎片与中等碎片的重量比为16：1，中等碎片与较小碎片的重量比16：1，较小碎片与最小碎片的重量比16：1。这个发现对考古工作有重大的意义。
学生感到很意外。凸显这个意外，引发学生去思考：同样面对生活中的一件事，为什么我们什么也没有发现，科学家却有了惊人的发现？有的学生说：他有一颗善于发现的心。还有的学生说：我们只从普通角度来观察，他从数学的角度来思考。接下来的课堂中，教师又带领学生玩转盘游戏，石头剪刀布等游戏，不断引领学生用数学的眼睛看世界。意外，深入思考，个性创造，数学似一枚美丽的五彩石在孩子的眼中熠熠生辉。在解决一个个临界点的过程中，学生们睁开了“第三只眼”，一次一次强烈感受到数学的神奇，感受到善于从不同的角度观察、分析和思考的重要性。在这一过程中，学生经历了一次数学思想上的洗礼，获得了在知识以外更重要的启迪与唤醒。
这是课堂上展示数学内在的神奇，我们还可以向学生展示数学看得到的美丽。如在四年级学习三角形时，我们教学生做雪花。其实，这就是现代数学中的KOCH曲线。但我们跟小学生显然要用更合适的语言来讲：先画一个等边三角形，把每条边平均分成3份，以中间的一段为底边，向外再画一个等边三角形，并擦去它的底边。像这样再画两次，就得到了这个美丽的图案。用相似的方法，还可以在计算机上方便地作出很多很奇妙、很漂亮的分形图形。这些图形直观性强，色彩绚烂丰富，不仅能让小学生强烈地感受到数学的美和神奇，还能唤起他们内心深处对数学的好奇。
●儿童是爱做游戏的
教学用含有字母的式子表示乘法关系，渗透函数对应的思想。我设计了玩“数学魔盒”的游戏情境。玩之前，我告诉学生：这是一个神奇的数学魔盒，当你从左边放进一个数，经过魔盒的加工马上可以吐出另外一个数。我先让学生充分地玩，这个神奇的盒子激起了学生极大的探究欲望，在经历猜想、检验、讨论、概括后学生成功揭示魔盒中所藏着的秘密，并用含有字母的式子表示出来。充分活动中的猜想，大胆猜想后的验证，揭示秘密后的欢呼。因为情绪热烈所以体验深刻，因为探究深入所以水到渠成。函数的两个要素是定义域和加工原理，抽象概括的过程就是找对应关系，这中间的加工过程我把它隐藏在一个神秘的匣子里。放进盒子的数在变，出来的数也在变，但两者之间的关系却始终不变。此时我以科学家开普勒的话作结：数学是研究千变万化中不变的关系。这一画龙点睛之笔定能让不同层次的学生各有感悟。“魔盒”是一个蕴含函数思想的载体，因为它承载着数学抽象的同时又满足了儿童的游戏冲动。
●儿童是爱听故事的
教学“素数和合数”时，我引进这样一个故事。1634年，来自欧洲的殖民者在美洲大陆田纳西地区经历了一场恐怖：大量的蝉（达到每公顷数百万只）仿佛一夜之间从地底冒出，几个星期之后，有销声匿迹。时隔17年，这一现象再次出现，直到1991年，共出现了22次，周期非常准确。科学家发现，这些地区蝉的生命周期大都为素数。为什么呢？科学家解释说，蝉在进化的过程中选择素数为生命周期，可以大大降低与天敌遭遇的概率。如果它的生命周期是12年，则与那些生命周期为1年、2年、3年、4年、6年及12年的天敌都可能遭遇，而使得种群生存受威胁。
教学内容隐含在故事背后，知识的学习伴随着丰富的数学思考，方法的渗透伴随着理性精神的培育。学生在思辨中体会到数学的巨大力量，获得心灵上的震撼。
數学思想是自然而平和的。不管你见，或者不见，爱或者不爱，她就在那里。把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，美丽的数学就会淹没在形式化的海洋里。如何让学生发现她的魅力，真正爱上她，不离不弃？还是一句老话说得好，要给学生一杯水，自己得有一桶水。
（作者单位：江苏南通师范第二附属小学）
本栏责任编辑李淳
（投稿邮箱lichun @gdjy .cn）