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华东师大吴亚萍教授在一次关于数学概念教学的讲座中提出，当前概念教学存在的问题主要有：“概念形成过程体现不够、概念呈现比较狭窄单一、概念认识定位不够清晰……”究其原因，是教师对概念课重视不够，教学中没有把握概念的本质，以至于学生对概念的理解不够深入。本文结合3个案例谈谈小学数学概念教学的有效路径。
一、遵循概念的认知过程
概念的形成是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念，因而必须经历抽象概括的过程。
例如，在教学《分数的意义》一课时，教师设计了以下教学案例。
第一层次：
师：首先交流一下课前导学单：用不同的方式表示[14]。先来看看老师收集到的几个同学的作品。
生1：把一个长方形平均分成了4份，这样的一份就是[14]。
生2：把一条线段平均分成了4份，这样的一份就是[14]。
生3：把一张正方形纸对折再对折，这样的一份就是[14]。
师：我们刚才看了这么多作品，大家分的形状一样吗？大小一样吗？
归纳小结：像这样把一个物体（一个图形）、一个计量单位平均分成4份，表示这样的1份，都可以用分数[14]来表示。
第二层次：
师：再来看看老师收集到的另外几个学生的作品。
生4：我是把4支铅笔平均分成了4份，这样的一份就是[14]。
师：这明明是一支铅笔，怎么就分成[14]了？（学生争辩）
交流：把4支铅笔看作了一个整体，可以用一个椭圆把它们圈起来，再平均分成4份。这样一眼就可以看出把这个整体平均分成4份，表示这样的一份就是[14]。
师：她的表示与前面其他学生最大的不同是什么？
交流：前面的学生是把“一个物体”平均分，而这位学生是把“一个整体”平均分。
师：除了把4支铅笔看作了一个整体，想一下，还可以把多少个物体看作一个整体呢？再来看一看这幅作品（画了8个圆）
想象一下：他画的可能是8个什么？（8支铅笔、8个苹果、8块饼干……）把这8个物体看作一个整体，平均分成4份，这样的一份也可以用[14]表示。
师：既然4个、8个物体可以看作一个整体表示出[14]，那么请你大胆想象一下，还可以表示多少个物体的[14]？（12个、24个）
师：如果这个盒子里装着不知道是什么物体，也不知道物体的数量，只知道把
这些物体平均分成了4份，每份
还能用[14]表示吗？（如图所示）
归纳小结：不管“？”背后隐藏了多少个，也不管隐藏的是什么，我们都可以把它看作一个整体，只要是把一个整体平均分成4份，这样的一份就可以用[14]表示。
上述案例，结合我校开展的深度学习理念下的“和融学堂”实践的研究课题，以“课前导学单”的形式，让学生根据自己的理解用不同的方式表示[14]（画图、实物操作或用语言描述都可以，至少两种）。教师基于学生真实的学情灵活调控和把握教學的起点和探究的重心，从第一层次“1个物体的[14]”过渡到第二层次“4个物体的[14]”作为理解“分数意义”的转折点，顺学而教，由此展开深层次的探究活动，学生经历“材料感知、辨析比较、归纳提炼、抽象概括”的建构过程，从而对分数的意义有了较为深刻的理解。
二、聚焦概念的核心问题
所谓“核心问题”，是指一节课的“课眼”。尤其是概念课的教学，如果能抓住概念的本质特征来设计好“核心问题”，学生的思维就有了“聚焦点”，有助于找准理解概念的最佳“突破口”。
例如，在教学《认识百分数》一课时，让学生经历对百分数意义的理解的过程，就要抓住核心问题展开教学。百分数的本质意义是“两个数进行比较”，因此，本课的核心问题可以分解为三个小问题：谁和谁在比？谁是单位“1”？谁是谁的百分之几”？整节课，教师始终围绕这几个问题进行追问，为了突出百分数的比较结果是以100为标准的这一本质特征，教学中始终以“百格图”加以直观呈现：
（1）一瓶农夫果园的混合果蔬汁，饮料瓶有这样一个百分数（“30%果蔬汁”）。
谁和谁在比？谁是单位“1”？用正方形表示饮料的总量，平均分成100份，那么果蔬汁含量该怎么表示？从图形可以看出“谁是谁的百分之几？”[ ][ ][ ][30% 50% 100%]
（2）继续出示“50%果蔬汁”的混合果蔬汁。现在是谁和谁在比？谁是单位“1”？这时果蔬汁的含量又该怎么表示？
比较这两个百分数，你有什么想说？（果汁含量增加了;果汁浓度/纯度高了）
（3）你觉得果蔬汁的含量还可能是百分之几？最多可以是百分之几？（100%）
这个100%表示什么意思？（全部是果汁）能超过100%吗？不能，因为果汁是饮料的一部分，最多只能和饮料同样多。像这样，表示部分量和总量相比较的结果可以用百分数来表示。
利用百格图，让学生直观感受到，这个100其实并不是真的100，只是为了便于比较，才把一个数量一直与100格这个标准为模型进行比较。通过“数形结合”形象地架起了百分数与分数之间的桥梁，从本质上揭示了百分数的意义。
三、凸显概念的本质特征
在日常概念课的教学中，有些教师由于不能把握概念本质，以致学生对数学概念的理解和认识浅尝辄止、浮于表面。学生能否在具体情境中正确运用概念解决问题，能否在解决问题的过程中理清概念的本质特征，这是从真正意义上理解概念的有效路径之一。
例如，在教学《认识小数》一课时，教师给学生提供了可供观察比较的材料，如根据把1元十等分的直观图，让学生得出1角=[110]元=0.1元，再鼓励学生举一反三，学生由此及彼、迁移类推。学生有了找一位小数的经验之后，教师设计了一个解决生活中的实际问题——“读温度计上的刻度”的活动。先出示一个温度计原始图，学生只能估计一个大概的范围在37℃～38℃之间。那么怎样才能知道确切的温度呢？启发学生运用刚才的思维经验联想到只要把37℃～38℃这个单位长度平均分成10份，随着等分线的出现，学生借助已经建立起的一位小数的“直观模型”，得出此刻的温度37.4℃。在学生多层面、多角度丰富感知的基础上，学生顺利地从直观思维过渡到抽象思维，使学生进一步巩固对小数就是十进制分数的理解。
总之，通过积极有效的数学活动，学生可以在数学活动中自己去体验、去思考、去构建数学概念，把握概念本质，丰富概念内涵，从而帮助学生形成正确的数学概念。
（作者单位：江苏省常熟市昆承小学）
（责任编辑 吴磊）
一、遵循概念的认知过程
概念的形成是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念，因而必须经历抽象概括的过程。
例如，在教学《分数的意义》一课时，教师设计了以下教学案例。
第一层次：
师：首先交流一下课前导学单：用不同的方式表示[14]。先来看看老师收集到的几个同学的作品。
生1：把一个长方形平均分成了4份，这样的一份就是[14]。
生2：把一条线段平均分成了4份，这样的一份就是[14]。
生3：把一张正方形纸对折再对折，这样的一份就是[14]。
师：我们刚才看了这么多作品，大家分的形状一样吗？大小一样吗？
归纳小结：像这样把一个物体（一个图形）、一个计量单位平均分成4份，表示这样的1份，都可以用分数[14]来表示。
第二层次：
师：再来看看老师收集到的另外几个学生的作品。
生4：我是把4支铅笔平均分成了4份，这样的一份就是[14]。
师：这明明是一支铅笔，怎么就分成[14]了？（学生争辩）
交流：把4支铅笔看作了一个整体，可以用一个椭圆把它们圈起来，再平均分成4份。这样一眼就可以看出把这个整体平均分成4份，表示这样的一份就是[14]。
师：她的表示与前面其他学生最大的不同是什么？
交流：前面的学生是把“一个物体”平均分，而这位学生是把“一个整体”平均分。
师：除了把4支铅笔看作了一个整体，想一下，还可以把多少个物体看作一个整体呢？再来看一看这幅作品（画了8个圆）
想象一下：他画的可能是8个什么？（8支铅笔、8个苹果、8块饼干……）把这8个物体看作一个整体，平均分成4份，这样的一份也可以用[14]表示。
师：既然4个、8个物体可以看作一个整体表示出[14]，那么请你大胆想象一下，还可以表示多少个物体的[14]？（12个、24个）
师：如果这个盒子里装着不知道是什么物体，也不知道物体的数量，只知道把
这些物体平均分成了4份，每份
还能用[14]表示吗？（如图所示）
归纳小结：不管“？”背后隐藏了多少个，也不管隐藏的是什么，我们都可以把它看作一个整体，只要是把一个整体平均分成4份，这样的一份就可以用[14]表示。
上述案例，结合我校开展的深度学习理念下的“和融学堂”实践的研究课题，以“课前导学单”的形式，让学生根据自己的理解用不同的方式表示[14]（画图、实物操作或用语言描述都可以，至少两种）。教师基于学生真实的学情灵活调控和把握教學的起点和探究的重心，从第一层次“1个物体的[14]”过渡到第二层次“4个物体的[14]”作为理解“分数意义”的转折点，顺学而教，由此展开深层次的探究活动，学生经历“材料感知、辨析比较、归纳提炼、抽象概括”的建构过程，从而对分数的意义有了较为深刻的理解。
二、聚焦概念的核心问题
所谓“核心问题”，是指一节课的“课眼”。尤其是概念课的教学，如果能抓住概念的本质特征来设计好“核心问题”，学生的思维就有了“聚焦点”，有助于找准理解概念的最佳“突破口”。
例如，在教学《认识百分数》一课时，让学生经历对百分数意义的理解的过程，就要抓住核心问题展开教学。百分数的本质意义是“两个数进行比较”，因此，本课的核心问题可以分解为三个小问题：谁和谁在比？谁是单位“1”？谁是谁的百分之几”？整节课，教师始终围绕这几个问题进行追问，为了突出百分数的比较结果是以100为标准的这一本质特征，教学中始终以“百格图”加以直观呈现：
（1）一瓶农夫果园的混合果蔬汁，饮料瓶有这样一个百分数（“30%果蔬汁”）。
谁和谁在比？谁是单位“1”？用正方形表示饮料的总量，平均分成100份，那么果蔬汁含量该怎么表示？从图形可以看出“谁是谁的百分之几？”[ ][ ][ ][30% 50% 100%]
（2）继续出示“50%果蔬汁”的混合果蔬汁。现在是谁和谁在比？谁是单位“1”？这时果蔬汁的含量又该怎么表示？
比较这两个百分数，你有什么想说？（果汁含量增加了;果汁浓度/纯度高了）
（3）你觉得果蔬汁的含量还可能是百分之几？最多可以是百分之几？（100%）
这个100%表示什么意思？（全部是果汁）能超过100%吗？不能，因为果汁是饮料的一部分，最多只能和饮料同样多。像这样，表示部分量和总量相比较的结果可以用百分数来表示。
利用百格图，让学生直观感受到，这个100其实并不是真的100，只是为了便于比较，才把一个数量一直与100格这个标准为模型进行比较。通过“数形结合”形象地架起了百分数与分数之间的桥梁，从本质上揭示了百分数的意义。
三、凸显概念的本质特征
在日常概念课的教学中，有些教师由于不能把握概念本质，以致学生对数学概念的理解和认识浅尝辄止、浮于表面。学生能否在具体情境中正确运用概念解决问题，能否在解决问题的过程中理清概念的本质特征，这是从真正意义上理解概念的有效路径之一。
例如，在教学《认识小数》一课时，教师给学生提供了可供观察比较的材料，如根据把1元十等分的直观图，让学生得出1角=[110]元=0.1元，再鼓励学生举一反三，学生由此及彼、迁移类推。学生有了找一位小数的经验之后，教师设计了一个解决生活中的实际问题——“读温度计上的刻度”的活动。先出示一个温度计原始图，学生只能估计一个大概的范围在37℃～38℃之间。那么怎样才能知道确切的温度呢？启发学生运用刚才的思维经验联想到只要把37℃～38℃这个单位长度平均分成10份，随着等分线的出现，学生借助已经建立起的一位小数的“直观模型”，得出此刻的温度37.4℃。在学生多层面、多角度丰富感知的基础上，学生顺利地从直观思维过渡到抽象思维，使学生进一步巩固对小数就是十进制分数的理解。
总之，通过积极有效的数学活动，学生可以在数学活动中自己去体验、去思考、去构建数学概念，把握概念本质，丰富概念内涵，从而帮助学生形成正确的数学概念。
（作者单位：江苏省常熟市昆承小学）
（责任编辑 吴磊）