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摘 要：本人经过一段时间的实践探索，发现“认数”知识其实都是学生学习中的一些“节点”，具有不可替代性。我们只有善于从“简单”中找寻出“不简单”，才能帮助学生认清知识的本质属性，从而实现数学素养的全面提升。
关键词：简单知识；数；十进制；数感
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）23-020-2
很多老师都觉得有关“认数”知识的学习太简单了，尤其是在低年级，这样的课即便不教，孩子也不会出现问题。对于这些“简单知识的教学”，我们不能只看学生的表面现状，而是要深入地剖析文本，挖出其隐藏的数学知识，从“简单”中找寻出“不简单”，让学生不仅在数学认知上有收获，更重要的是学生的数学思想、数学方法、思维品质等方面都能得到发展。
一、“掀起了你的盖头来”——概念解读，初识“数”
什么是“数”？学习“数的认识”（无论是“20以内数的认识”还是“亿以内数的认识”）到底要认识数的哪些意义？电话号码是数吗？弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出：“以方法论、发生论和教学论的观点看，数在内容和形式上都存在许多不同方面的概念。例如：从内容上看，数就有自然数、整数、实数和复数，这几类数通过嵌入关系而相互联系。因此，片面地谈论‘数的概念’就会产生误解。”他还从数的概念的形成角度将“数”分为以下几类：“计数的数”、“数量的数”、“度量的数”和“计算的数”。对于自然数而言，弗赖登塔尔尤其强调作为“计数的数”的教育价值，他说：“数的概念产生过程中，计数的数是最初始的，最具有意义的。数量只是进一步深入时的一个侧面，这一点不应被发展心理学和教育学所忽视。”由此可见，弗赖登塔尔作为著名的数学家和数学教育家，他更加重视自然数的“计数的数”的侧面，强调“计数的数”的教学价值，当然他也不否认自然数的“数量的数”的侧面。
而学生“数概念”的建立也是一个循序渐进的过程，即从实际体验“数”的活动发展到讨论这些“数体验”的活动，从最初的用非正式语言对其进行讨论发展到后来的用更多的正式语言进行讨论，之后才开始学习使用数学符号。
二、“让我慢慢地靠近你”——践行探索，走进“数”
（一）多层次操作，体验“十进制”规则的产生历程
【案例描述】《认识20以内的数》教学片段：
摆一摆（一）：
（1）师：就这么摆着，能一下子看清楚这里有12根吗？
思考：有什么好办法能让我们清楚地看出这里有多少根小棒？
（2）交流。
生1（边说边演示）：我是把12根小棒6根6根地摆。
学生辨析，认为：左边6根右边6根，还是要数数才知道。
……
（3）学生操作：一起数小棒，数到10个一，把10根小棒捆起来。
师：这一捆就表示1个几？
师：计数时只有满了10根才能捆起来，我们再检查一下，手里的这一捆是不是1个十？
学生一起解开皮筋，再一根一根地摆数。
……
对于《认识20以内的数》这一课，很多老师都会发出这样的感慨：“现在的学生不要说20以内的数了，100以内甚至更大的数都早就认识了，这节课学生除了在说‘10个一、1个十’时表达有点困难，其他问题一点都没有。”是的，经过调查，我们确实发现：一般来说，每一个孩子都知道20以内的数，都能比较熟练地一一顺数，甚至还能倒着数，对于每一个数所表示的数量多少、彼此之间的大小关系基本都了然于胸。这些知识大多源自他们的生活经验与积累。但这课果真就没有教学的必要了吗？学生课堂上对“10个一、1个十”的表述不畅，仅仅只是表达上的问题吗？“10个一”、“1个十”是什么意思？为什么满了“10个一”就要看成“1个十”……其实，学生对这些早已熟悉的数的建立机制——十进制计数法的具体规则，却并不了解。而这些数学问题关系到学生今后能否正确地理解计数法则，也是学生今后学习较大数的基础，但这些却是学生生活经验中所没有的。因此，教师应将这些“学校数学”中才可能涉及的问题确立为本课的教学重点。
确立了重点后，教学又该按怎样的逻辑递进比较合理呢？教材是先通过一一累加数小棒，引出“10个一是1个十”这一规则，再让学生在摆小棒的过程中学会运用该规则清楚地摆出11—20各数，从而让学生对十进制计数法建立初步框架。应该说，这是站在知识客体的角度，按照知识的逻辑顺序——先定规则，再予以运用进行编排的，它所遵循的是知识逻辑，这本无可厚非，但我们在实际教学中，除了要关注知识的发生发展，我们更需要关注学生的已有经验和基础，关注学生的学习感受。因此，上述案例对教材进行了调整和重组，以“10个一是1个十，1个十是10个一”为教学重点，通过先数出12根小棒，再提出“怎样能比较清楚地看出是12根”的开放性问题，让学生先借助操作产生多种表示方法，再通过辨析比较，在化繁杂为简明的目标指引下，经历建构計数方法并了解十进制基本规则的过程。在此基础上，再一次组织学生进行抓数小棒等操作活动，帮助学生进一步明晰“10个一是1个十”、“十几是由1个十和几个一组成的”……这样的多层次操作既帮助学生了解了十进制的由来，又能检验学生是否会正确地应用“十进制”。
（二）多角度数数，强化“计数的数”的教育价值
【案例描述】《认识100以内的数》教学片断：
一、做小裁判，巩固多种计数方法。
（逐一出示情境图，引导学生按要求数数。）
（1）小狗打枪，打中1枪得1分，快帮小狗数数，它得了多少分？（从86数到100）
（2）给砖做标记，初识百数表。
师：大象一共搬了100块砖，我们请数朋友来帮忙给它标记上。
（课件动态演示：在砖块上标数：从1标到100）
……
（3）给数排队，初识数轴
师：现在就让这100个数去排队，你们看！ （课件动态演示：百数表中每10个数一组，连接着排成一排的过程。）
学生议论：太长了！后面我们都看不见了！
师：这个队伍长不长？如果我要在100的后面再排数，你们说该排谁了？
生：黑板都不够。
师：太长了，我可不画那么长，我想了一个办法，你们看行不行：我在这儿画个小箭头就让数朋友一直排下去，行吗？我想了这么一个好办法，你们给我鼓鼓掌吧。我现在就给数安排家了。
（教师在数轴上找到0和100的位置）
师：还有几个数也特别想找到自己的家，你们愿意帮帮忙吗？
组织学生继续给50、70等数找家。
计数是认数的基础，是学生理解作为计数的数的重要活动。教学《100以内数的认识》，很多老师总是让学生干巴巴地去数数：顺着数、倒着数、从一个指定数数到另一个指定数……学生的数数本领是练得不错，但在这数数的背后，学生的数学思想、思维品质又得到了多少发展呢？格尔曼和加利斯特尔在20世纪70年代末的研究发现：数概念的发展涉及对数数技能的整合和应用，儿童数数的学习经验与数概念的发展有直接的联系。而且，学生数数技能的发展也经历了不同的阶段：唱数、一一点数、按群计数等，尤其当学生能在数轴上向右继续数下去时，数数活动就更具有重要的教育价值，既可以往前数（一个一个地、几个几个地），也可以往回数，往前继续数就是“加”（几个几个地继续数就是“乘”），往回数就是“减”（几个几个地倒着数就是“除”，恰好数到“零”就是整除，最后不够“一份”就是有余数的除法），可见，四则运算与计数之间是相互联系的，而这些联系是形成有效计算策略的基础，是将抽象的计算视觉化、形象化。
经过调查，我们发现，一年级学生在计数过程中表现出来的计数水平是不同层次的。学生计数在一一点数的基础上有了按群计数的意识，但以10为单位进行计数的学生不多。这说明虽然在20以内数的认识中突出了10的作用，但由于数较小，学生对10在计数中的作用感受得并不是很深，而对计数单位认识的深度，将直接影响学生对数的意义的理解，影响学生对十进制计数系统的认识深度。因此有必要通过引导学生经历计数（一一点数、按群计数）的过程，感受10在计数中的作用，通过理解10的作用进一步认识十进制计数系统。本案例从多层次、多角度安排学生进行数数，将多种计数策略贯穿在教学活动中。比如安排学生在“数尺”上“一个一个地数”、“几个几个地数”，尤其是“十个十个地数”等活动，引导学生将口头“数数”与观察直观的数尺上的数建立一一对应关系。这样的设计是将具有数学本质意义的活动融入在生动有趣的游戏活动中，既符合低年级学生的心理特点和认知特点，又具有“数学品位”，特别突出了数数的数学功能，尤其强调了“计数的数”的教育价值，是真正有思维价值的有效的活动。
（三）多模式表示数，培养学生的数感
《数学课程标准》明确提出，培养学生的数感是小学数学教学的重要目标之一，而认数教学是培养学生数感的重要载体。关于数感，《课程标准》是这样说明的，“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”长期研究培养学生数感的英国学者朱莉娅·安吉莱瑞在《如何培养学生的数感》一书中谈到，孩子们具有的这种对数字之间关联的意识以及灵活地解决数字问题的能力称为“对数字的感觉”或“数感”。具有数感的典型特征是学生能对所遇到的数字模式和计算过程做出归纳，并能将新知识和已有知识相联系。朱莉娅·安吉莱瑞还指出：“数感是高度个性化的产物，它不仅和孩子们已有的数概念相联系，也和怎样形成这些概念相联系。”因此，在认数教学中，教师要关注学生认数的过程，帮助他们在认数过程中建构数本身以及数之间的逻辑关系，从而逐渐培养学生的数感。
【案例描述】《认识100以内的数》教学片断：
师：要认识100以内的数，老师给大家请来了一位老朋友，是谁呀？（出示10）这可是我们认数时的好朋友。（将10贴在黑板上）
教师引导学生操作：
……
引导学生十个十个地数，100里面有10个十。
在本案例中，教师先让学生记住10根小棒有多少，再把两个10根堆在一起，让学生记住20根是多少，最后要求学生把学具盒里的所有小棒都倒在桌子上，估一估有多少根？不断强化计数单位“十”的作用，而这一系列操作训练，其落脚点就是在不断培养学生的数感。学生在想办法估的过程实际就是对数感的运用和理解的过程。同时通过操作学具，还让学生进一步体验100既可以表示成5个20，又可以表示成10个10等，40是39后面的数，也可以说成是4个十等，引导学生尝试着用多種模式来表示数，同时，随着学生对单个数的体验逐步加深，他们能逐渐意识到每个数是怎样和其他众多数联系起来的，从而进一步提升他们的数感。
三、“我的未来不是梦”——后续思考，挖深度
对于像“认数”这样的“简单内容”的教学，我们需要把握的是：一、弄清教学内容的关节点，锁住关节点就是锁住了教学内容的核心，这样会让我们的教学不会发生方向性错误；二、弄清教学的链接点，所有的数学知识都是相互关联的，这毋庸置疑，“认数”知识的学习是为其他数学知识的学习打基础的；三、要善于寻找简单教学内容的思维点，对于简单的教学内容，我们要善于往深处挖掘、往广处拓展，不能做到这一点，数学课就会索然无味，就不能将培养学生思维的深刻性、批判性、灵活性等落实到位。从这一角度看，简单的教学内容，更需要我们设计开放自主的课堂、合作交流的课堂、探索发现的课堂，只有这样，“简单的教学内容”才会在我们的课堂上变得不简单！
关键词：简单知识；数；十进制；数感
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）23-020-2
很多老师都觉得有关“认数”知识的学习太简单了，尤其是在低年级，这样的课即便不教，孩子也不会出现问题。对于这些“简单知识的教学”，我们不能只看学生的表面现状，而是要深入地剖析文本，挖出其隐藏的数学知识，从“简单”中找寻出“不简单”，让学生不仅在数学认知上有收获，更重要的是学生的数学思想、数学方法、思维品质等方面都能得到发展。
一、“掀起了你的盖头来”——概念解读，初识“数”
什么是“数”？学习“数的认识”（无论是“20以内数的认识”还是“亿以内数的认识”）到底要认识数的哪些意义？电话号码是数吗？弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出：“以方法论、发生论和教学论的观点看，数在内容和形式上都存在许多不同方面的概念。例如：从内容上看，数就有自然数、整数、实数和复数，这几类数通过嵌入关系而相互联系。因此，片面地谈论‘数的概念’就会产生误解。”他还从数的概念的形成角度将“数”分为以下几类：“计数的数”、“数量的数”、“度量的数”和“计算的数”。对于自然数而言，弗赖登塔尔尤其强调作为“计数的数”的教育价值，他说：“数的概念产生过程中，计数的数是最初始的，最具有意义的。数量只是进一步深入时的一个侧面，这一点不应被发展心理学和教育学所忽视。”由此可见，弗赖登塔尔作为著名的数学家和数学教育家，他更加重视自然数的“计数的数”的侧面，强调“计数的数”的教学价值，当然他也不否认自然数的“数量的数”的侧面。
而学生“数概念”的建立也是一个循序渐进的过程，即从实际体验“数”的活动发展到讨论这些“数体验”的活动，从最初的用非正式语言对其进行讨论发展到后来的用更多的正式语言进行讨论，之后才开始学习使用数学符号。
二、“让我慢慢地靠近你”——践行探索，走进“数”
（一）多层次操作，体验“十进制”规则的产生历程
【案例描述】《认识20以内的数》教学片段：
摆一摆（一）：
（1）师：就这么摆着，能一下子看清楚这里有12根吗？
思考：有什么好办法能让我们清楚地看出这里有多少根小棒？
（2）交流。
生1（边说边演示）：我是把12根小棒6根6根地摆。
学生辨析，认为：左边6根右边6根，还是要数数才知道。
……
（3）学生操作：一起数小棒，数到10个一，把10根小棒捆起来。
师：这一捆就表示1个几？
师：计数时只有满了10根才能捆起来，我们再检查一下，手里的这一捆是不是1个十？
学生一起解开皮筋，再一根一根地摆数。
……
对于《认识20以内的数》这一课，很多老师都会发出这样的感慨：“现在的学生不要说20以内的数了，100以内甚至更大的数都早就认识了，这节课学生除了在说‘10个一、1个十’时表达有点困难，其他问题一点都没有。”是的，经过调查，我们确实发现：一般来说，每一个孩子都知道20以内的数，都能比较熟练地一一顺数，甚至还能倒着数，对于每一个数所表示的数量多少、彼此之间的大小关系基本都了然于胸。这些知识大多源自他们的生活经验与积累。但这课果真就没有教学的必要了吗？学生课堂上对“10个一、1个十”的表述不畅，仅仅只是表达上的问题吗？“10个一”、“1个十”是什么意思？为什么满了“10个一”就要看成“1个十”……其实，学生对这些早已熟悉的数的建立机制——十进制计数法的具体规则，却并不了解。而这些数学问题关系到学生今后能否正确地理解计数法则，也是学生今后学习较大数的基础，但这些却是学生生活经验中所没有的。因此，教师应将这些“学校数学”中才可能涉及的问题确立为本课的教学重点。
确立了重点后，教学又该按怎样的逻辑递进比较合理呢？教材是先通过一一累加数小棒，引出“10个一是1个十”这一规则，再让学生在摆小棒的过程中学会运用该规则清楚地摆出11—20各数，从而让学生对十进制计数法建立初步框架。应该说，这是站在知识客体的角度，按照知识的逻辑顺序——先定规则，再予以运用进行编排的，它所遵循的是知识逻辑，这本无可厚非，但我们在实际教学中，除了要关注知识的发生发展，我们更需要关注学生的已有经验和基础，关注学生的学习感受。因此，上述案例对教材进行了调整和重组，以“10个一是1个十，1个十是10个一”为教学重点，通过先数出12根小棒，再提出“怎样能比较清楚地看出是12根”的开放性问题，让学生先借助操作产生多种表示方法，再通过辨析比较，在化繁杂为简明的目标指引下，经历建构計数方法并了解十进制基本规则的过程。在此基础上，再一次组织学生进行抓数小棒等操作活动，帮助学生进一步明晰“10个一是1个十”、“十几是由1个十和几个一组成的”……这样的多层次操作既帮助学生了解了十进制的由来，又能检验学生是否会正确地应用“十进制”。
（二）多角度数数，强化“计数的数”的教育价值
【案例描述】《认识100以内的数》教学片断：
一、做小裁判，巩固多种计数方法。
（逐一出示情境图，引导学生按要求数数。）
（1）小狗打枪，打中1枪得1分，快帮小狗数数，它得了多少分？（从86数到100）
（2）给砖做标记，初识百数表。
师：大象一共搬了100块砖，我们请数朋友来帮忙给它标记上。
（课件动态演示：在砖块上标数：从1标到100）
……
（3）给数排队，初识数轴
师：现在就让这100个数去排队，你们看！ （课件动态演示：百数表中每10个数一组，连接着排成一排的过程。）
学生议论：太长了！后面我们都看不见了！
师：这个队伍长不长？如果我要在100的后面再排数，你们说该排谁了？
生：黑板都不够。
师：太长了，我可不画那么长，我想了一个办法，你们看行不行：我在这儿画个小箭头就让数朋友一直排下去，行吗？我想了这么一个好办法，你们给我鼓鼓掌吧。我现在就给数安排家了。
（教师在数轴上找到0和100的位置）
师：还有几个数也特别想找到自己的家，你们愿意帮帮忙吗？
组织学生继续给50、70等数找家。
计数是认数的基础，是学生理解作为计数的数的重要活动。教学《100以内数的认识》，很多老师总是让学生干巴巴地去数数：顺着数、倒着数、从一个指定数数到另一个指定数……学生的数数本领是练得不错，但在这数数的背后，学生的数学思想、思维品质又得到了多少发展呢？格尔曼和加利斯特尔在20世纪70年代末的研究发现：数概念的发展涉及对数数技能的整合和应用，儿童数数的学习经验与数概念的发展有直接的联系。而且，学生数数技能的发展也经历了不同的阶段：唱数、一一点数、按群计数等，尤其当学生能在数轴上向右继续数下去时，数数活动就更具有重要的教育价值，既可以往前数（一个一个地、几个几个地），也可以往回数，往前继续数就是“加”（几个几个地继续数就是“乘”），往回数就是“减”（几个几个地倒着数就是“除”，恰好数到“零”就是整除，最后不够“一份”就是有余数的除法），可见，四则运算与计数之间是相互联系的，而这些联系是形成有效计算策略的基础，是将抽象的计算视觉化、形象化。
经过调查，我们发现，一年级学生在计数过程中表现出来的计数水平是不同层次的。学生计数在一一点数的基础上有了按群计数的意识，但以10为单位进行计数的学生不多。这说明虽然在20以内数的认识中突出了10的作用，但由于数较小，学生对10在计数中的作用感受得并不是很深，而对计数单位认识的深度，将直接影响学生对数的意义的理解，影响学生对十进制计数系统的认识深度。因此有必要通过引导学生经历计数（一一点数、按群计数）的过程，感受10在计数中的作用，通过理解10的作用进一步认识十进制计数系统。本案例从多层次、多角度安排学生进行数数，将多种计数策略贯穿在教学活动中。比如安排学生在“数尺”上“一个一个地数”、“几个几个地数”，尤其是“十个十个地数”等活动，引导学生将口头“数数”与观察直观的数尺上的数建立一一对应关系。这样的设计是将具有数学本质意义的活动融入在生动有趣的游戏活动中，既符合低年级学生的心理特点和认知特点，又具有“数学品位”，特别突出了数数的数学功能，尤其强调了“计数的数”的教育价值，是真正有思维价值的有效的活动。
（三）多模式表示数，培养学生的数感
《数学课程标准》明确提出，培养学生的数感是小学数学教学的重要目标之一，而认数教学是培养学生数感的重要载体。关于数感，《课程标准》是这样说明的，“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”长期研究培养学生数感的英国学者朱莉娅·安吉莱瑞在《如何培养学生的数感》一书中谈到，孩子们具有的这种对数字之间关联的意识以及灵活地解决数字问题的能力称为“对数字的感觉”或“数感”。具有数感的典型特征是学生能对所遇到的数字模式和计算过程做出归纳，并能将新知识和已有知识相联系。朱莉娅·安吉莱瑞还指出：“数感是高度个性化的产物，它不仅和孩子们已有的数概念相联系，也和怎样形成这些概念相联系。”因此，在认数教学中，教师要关注学生认数的过程，帮助他们在认数过程中建构数本身以及数之间的逻辑关系，从而逐渐培养学生的数感。
【案例描述】《认识100以内的数》教学片断：
师：要认识100以内的数，老师给大家请来了一位老朋友，是谁呀？（出示10）这可是我们认数时的好朋友。（将10贴在黑板上）
教师引导学生操作：
……
引导学生十个十个地数，100里面有10个十。
在本案例中，教师先让学生记住10根小棒有多少，再把两个10根堆在一起，让学生记住20根是多少，最后要求学生把学具盒里的所有小棒都倒在桌子上，估一估有多少根？不断强化计数单位“十”的作用，而这一系列操作训练，其落脚点就是在不断培养学生的数感。学生在想办法估的过程实际就是对数感的运用和理解的过程。同时通过操作学具，还让学生进一步体验100既可以表示成5个20，又可以表示成10个10等，40是39后面的数，也可以说成是4个十等，引导学生尝试着用多種模式来表示数，同时，随着学生对单个数的体验逐步加深，他们能逐渐意识到每个数是怎样和其他众多数联系起来的，从而进一步提升他们的数感。
三、“我的未来不是梦”——后续思考，挖深度
对于像“认数”这样的“简单内容”的教学，我们需要把握的是：一、弄清教学内容的关节点，锁住关节点就是锁住了教学内容的核心，这样会让我们的教学不会发生方向性错误；二、弄清教学的链接点，所有的数学知识都是相互关联的，这毋庸置疑，“认数”知识的学习是为其他数学知识的学习打基础的；三、要善于寻找简单教学内容的思维点，对于简单的教学内容，我们要善于往深处挖掘、往广处拓展，不能做到这一点，数学课就会索然无味，就不能将培养学生思维的深刻性、批判性、灵活性等落实到位。从这一角度看，简单的教学内容，更需要我们设计开放自主的课堂、合作交流的课堂、探索发现的课堂，只有这样，“简单的教学内容”才会在我们的课堂上变得不简单！