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摘 要：做好高校贫困家庭学生资助工作，是确保教育公平公正的重要举措，对提高人才培养水平起着重要作用，而能够对贫困生进行合理认定，是准确资助贫困生的前提条件。目前，国内很多高校采用的方法有诸多的弊端，本文主要采用层次分析方法，以家庭因素、社会因素、自然因素为二级指标，对学生贫困程度进行评价，通过建立判断矩阵来确定二级指标子指标的权重，从而真实地反映学生的家庭贫困程度，解决了传统认定方法中存在的主观性问题。
关键词：学生资助工作；高校贫困生认定；层次分析法
一、引言
为了切实解决家庭经济困难学生的上学问题，国务院于2007年5月13日出台了《建立健全普通本科高校、高等职业学校和中等职业学校家庭经济困难学生资助政策体系的意见》（国发〔2007〕13号），该意见的颁布和实施体现了党中央、国务院对家庭经济困难学生上学问题的高度重视，促进了教育公平，建立健全了资助政策体系。本文在数学建模离散模型的理论基础上，提出了基于层次分析法的贫困生认定模式，通过建立数学模型，将贫困生认定问题进行量化，从而确保认定的准确性和客观性。
二、层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由美国运筹学家T.L.Saaty教授在20世纪70年代初期提出的一种多准则决策方法，它主要是将模棱两可、定性分析的问题转化成若干个简单的问题进行定量分析。
1. 层次分析法的步骤
（1）建立层次结构模型
利用层次结构模型求解一些决策问题时，首先可以将问题分解成几个具有层次结构的模型，每一层次结构由若干个子问题构成，而且这些元素是按属性关系形成了若干个层次，每一个层次对下一层次有一定的支配作用，这些层次可以分为三类：最高层、中间层、最底层。最高层一般是分析问题的预定目标；中间层主要通过某些方式方法实现目标层的中间部分，包括所需考虑的准则；最底层包括了实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为方案层。
（2）建立成对比较矩阵
层次分析法所构建的层次结构反映了元素之间的关系，然而在准则层中的各个元素对上一层次的相关元素所占的比重不完全相同。因此，在权衡各元素之间影响程度的基础上建立成对比较矩阵，可以避免该问题的发生。
假设有n个因子B={B1，B2，...，Bn}，现在讨论这n个元素对另一个因素A的影响大小，T.L.Saaty等人对B={B1，B2，...，Bn}中各个因子相对于元素A的权重进行两两比较，建立成对比较矩阵，称该矩阵为成对比较判断矩阵。
（3）层次单排序及一致性检验
成对比较矩阵中的最大特征值对应的特征向量为W，W经归一化后得到相对重要性的排序权值，该权值指的是該层次的元素相对应于上一层次元素的重要程度，故称为层次单排序。
对成对比较矩阵进行一次性检验分为以下三个步骤。
①通过■计算一致性指标CI。
②查找相应的平均随机一致性指标RI，对于n=1，...，9，Saaty给出了对应的RI值，如下表所示：
③计算一致性比例CR：CR=■，当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对成对比较矩阵进行适当修正，直至满足上述条件为止。
（4）层次总排序及一致性检验
层次总排序要从高层到底层逐层进行一致性检验，设某一层B与上一层Aj的相关因素构成的成对比较矩阵且该矩阵的单排序经过了一致性检验，并求得单排序一致性指标CI（j）（j=1，...，m），以及相应的平均随机一致性指标为RI（j），则B层总排序随机一致性比例为：
CR=■，当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受分析结果。
三、层次分析法在贫困生认定中的应用
1. 构建层次模型
造成学生贫困的因素有很多，有社会因素、家庭因素、国家政策方针等，从诸多因素中选择几个最具代表性的作为主要因素，包括家庭因素、社会因素、自然因素。家庭因素主要包括家庭成员有重大疾病、单亲或孤儿、父母双方都下岗、多子女上大学四个属性；社会因素包括家庭处于经济落后的偏远地区；自然因素包括家庭遭受重大自然灾害。综合以上因素可以构造如下的层次模型。
对方案最底层中的指标构造0-1函数：
x1i=0，不是来自经济落后的偏远地区1，来自经济落后的偏远地区
x2i=0，不是单亲家庭或孤儿1，是单亲家庭或孤儿
x3i=0，父母双方至少一个没下岗1，父母双方都下岗
x4i=0，没有多个子女上大学1，多个子女上大学
x5i=0，家庭成员无重大疾病患者1，家庭成员有重大疾病患者
x6i=0，家庭没有遭受重大自然灾害1，家庭遭受重大自然灾害
2. 构造判断矩阵
学生资助有关领域的专家通过对方案层中的指标进行相互重要程度比较，利用Saaty1-9标度法，对不同的比较结果进行数量标度，构成判断矩阵A。
A=（1，7，5，4，3，9；1/7，1，1/3，1/4，1/5，3；1/5，3，1，1/2，1/3，
5；1/4，4，2，1，1/2，6；1/3，5，3，2，1，7；1/9，1/3，1/5，1/6，1/7，1）
计算判断矩阵A的最大特征值？姿max=6.2656。
3. 一致性指标的检验
计算一致性指标：
CI=■=■=0.0531，根据表1的数据，计算一致性比例：CR=■=0.0428，因为CR<0.10，所以判断矩阵的一致性是可以接受的，而从五种因素在家庭经济困难中占的比重，可以得到一个排序：经济落后的偏远地区—家庭成员有重大疾病—多子女上学—父母双方下岗—单亲或孤儿—家庭遭受重大自然灾害，最后构造衡量家庭困难程度的函数，即： 学生困难程度=0.8210×x1i+0.1036×x2i+0.2047×x3i+0.2957×x4i+0.4278×x5i+0.0537×x6i。
通過以上分析，根据每个学生的不同背景可以定量分析每个学生的困难程度，并对学生的困难程度进行综合排序，从而将资助名额优先分配给困难程度高的学生。
4. 引用举例
本研究从某高校抽取10名经济困难学生，建立贫困学生信息库。
学生A的困难程度=0.8210×1+0.1036×1+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×1+0.0537×1=1.4061；
学生B的困难程度=0.8210×1+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×0+0.0537×0=0.8210；
学生C的困难程度=0.8210×1+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×1+0.0537×0=1.2488；
学生D的困难程度=0.8210×1+0.1036×1+0.2047×1+0.2957×1+0.4278×1+0.0537×1=1.9065；
学生E的困难程度=0.8210×1+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×1+0.0537×0=0.7235；
学生F的困难程度=0.8210×0+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×1+0.0537×0=0.4278；
学生G的困难程度=0.8210×0+0.1036×1+0.2047×0+0.2957×1+0.4278×1+0.0537×1=0.8808；
学生H的困难程度=0.8210×0+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×0+0.0537×0=0；
学生I的困难程度=0.8210×1+0.1036×1+0.2047×1+0.2957×1+0.4278×1+0.0537×1=1.9065；
学生J的困难程度=0.8210×1+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×0+0.0537×1=0.8747。
学生D和I的困难程度相当（遇到这种情况可以根据学生的学业成绩再进行判断），其次是学生A，学生H的困难程度最小，属于不困难的范畴。
5. 模型检验
为了检验结果的科学性，本研究统计了某高校去年家庭贫困学生递交的“高等学校学生及家庭调查表”的认定材料共120份，统计结果与本研究的结果一致。
四、结论
本文在总结当前贫困生认定工作的基础上，提出了基于层次分析方法的高校家庭经济困难学生的贫困认定模型，该模型是选择一些判断学生贫困的主要因素，建立判断矩阵，通过一致性检验判断矩阵的合理性，从而得到评价学生困难程度的基本公式。层次分析法能将贫困生认定中的定性与定量分析相结合，具有高度的逻辑性、系统性、简洁性，也具有一定的理论和应用价值。
参考文献：
[1]田超.高校贫困生认定工作研究——以HY学院为例[D].石家庄：河北师范大学，2012.
[2]党林立，孙晓群.数学建模简明教程[M].西安：西安电子科技大学出版社，2010.
基金项目：常州工程职业技术学院校级教改课题（项目编号：2017JY029）。
作者简介：王宏义（1987— ），男，安徽芜湖人，硕士，助教，研究方向：数字图像处理。
关键词：学生资助工作；高校贫困生认定；层次分析法
一、引言
为了切实解决家庭经济困难学生的上学问题，国务院于2007年5月13日出台了《建立健全普通本科高校、高等职业学校和中等职业学校家庭经济困难学生资助政策体系的意见》（国发〔2007〕13号），该意见的颁布和实施体现了党中央、国务院对家庭经济困难学生上学问题的高度重视，促进了教育公平，建立健全了资助政策体系。本文在数学建模离散模型的理论基础上，提出了基于层次分析法的贫困生认定模式，通过建立数学模型，将贫困生认定问题进行量化，从而确保认定的准确性和客观性。
二、层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由美国运筹学家T.L.Saaty教授在20世纪70年代初期提出的一种多准则决策方法，它主要是将模棱两可、定性分析的问题转化成若干个简单的问题进行定量分析。
1. 层次分析法的步骤
（1）建立层次结构模型
利用层次结构模型求解一些决策问题时，首先可以将问题分解成几个具有层次结构的模型，每一层次结构由若干个子问题构成，而且这些元素是按属性关系形成了若干个层次，每一个层次对下一层次有一定的支配作用，这些层次可以分为三类：最高层、中间层、最底层。最高层一般是分析问题的预定目标；中间层主要通过某些方式方法实现目标层的中间部分，包括所需考虑的准则；最底层包括了实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为方案层。
（2）建立成对比较矩阵
层次分析法所构建的层次结构反映了元素之间的关系，然而在准则层中的各个元素对上一层次的相关元素所占的比重不完全相同。因此，在权衡各元素之间影响程度的基础上建立成对比较矩阵，可以避免该问题的发生。
假设有n个因子B={B1，B2，...，Bn}，现在讨论这n个元素对另一个因素A的影响大小，T.L.Saaty等人对B={B1，B2，...，Bn}中各个因子相对于元素A的权重进行两两比较，建立成对比较矩阵，称该矩阵为成对比较判断矩阵。
（3）层次单排序及一致性检验
成对比较矩阵中的最大特征值对应的特征向量为W，W经归一化后得到相对重要性的排序权值，该权值指的是該层次的元素相对应于上一层次元素的重要程度，故称为层次单排序。
对成对比较矩阵进行一次性检验分为以下三个步骤。
①通过■计算一致性指标CI。
②查找相应的平均随机一致性指标RI，对于n=1，...，9，Saaty给出了对应的RI值，如下表所示：
③计算一致性比例CR：CR=■，当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对成对比较矩阵进行适当修正，直至满足上述条件为止。
（4）层次总排序及一致性检验
层次总排序要从高层到底层逐层进行一致性检验，设某一层B与上一层Aj的相关因素构成的成对比较矩阵且该矩阵的单排序经过了一致性检验，并求得单排序一致性指标CI（j）（j=1，...，m），以及相应的平均随机一致性指标为RI（j），则B层总排序随机一致性比例为：
CR=■，当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受分析结果。
三、层次分析法在贫困生认定中的应用
1. 构建层次模型
造成学生贫困的因素有很多，有社会因素、家庭因素、国家政策方针等，从诸多因素中选择几个最具代表性的作为主要因素，包括家庭因素、社会因素、自然因素。家庭因素主要包括家庭成员有重大疾病、单亲或孤儿、父母双方都下岗、多子女上大学四个属性；社会因素包括家庭处于经济落后的偏远地区；自然因素包括家庭遭受重大自然灾害。综合以上因素可以构造如下的层次模型。
对方案最底层中的指标构造0-1函数：
x1i=0，不是来自经济落后的偏远地区1，来自经济落后的偏远地区
x2i=0，不是单亲家庭或孤儿1，是单亲家庭或孤儿
x3i=0，父母双方至少一个没下岗1，父母双方都下岗
x4i=0，没有多个子女上大学1，多个子女上大学
x5i=0，家庭成员无重大疾病患者1，家庭成员有重大疾病患者
x6i=0，家庭没有遭受重大自然灾害1，家庭遭受重大自然灾害
2. 构造判断矩阵
学生资助有关领域的专家通过对方案层中的指标进行相互重要程度比较，利用Saaty1-9标度法，对不同的比较结果进行数量标度，构成判断矩阵A。
A=（1，7，5，4，3，9；1/7，1，1/3，1/4，1/5，3；1/5，3，1，1/2，1/3，
5；1/4，4，2，1，1/2，6；1/3，5，3，2，1，7；1/9，1/3，1/5，1/6，1/7，1）
计算判断矩阵A的最大特征值？姿max=6.2656。
3. 一致性指标的检验
计算一致性指标：
CI=■=■=0.0531，根据表1的数据，计算一致性比例：CR=■=0.0428，因为CR<0.10，所以判断矩阵的一致性是可以接受的，而从五种因素在家庭经济困难中占的比重，可以得到一个排序：经济落后的偏远地区—家庭成员有重大疾病—多子女上学—父母双方下岗—单亲或孤儿—家庭遭受重大自然灾害，最后构造衡量家庭困难程度的函数，即： 学生困难程度=0.8210×x1i+0.1036×x2i+0.2047×x3i+0.2957×x4i+0.4278×x5i+0.0537×x6i。
通過以上分析，根据每个学生的不同背景可以定量分析每个学生的困难程度，并对学生的困难程度进行综合排序，从而将资助名额优先分配给困难程度高的学生。
4. 引用举例
本研究从某高校抽取10名经济困难学生，建立贫困学生信息库。
学生A的困难程度=0.8210×1+0.1036×1+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×1+0.0537×1=1.4061；
学生B的困难程度=0.8210×1+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×0+0.0537×0=0.8210；
学生C的困难程度=0.8210×1+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×1+0.0537×0=1.2488；
学生D的困难程度=0.8210×1+0.1036×1+0.2047×1+0.2957×1+0.4278×1+0.0537×1=1.9065；
学生E的困难程度=0.8210×1+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×1+0.0537×0=0.7235；
学生F的困难程度=0.8210×0+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×1+0.0537×0=0.4278；
学生G的困难程度=0.8210×0+0.1036×1+0.2047×0+0.2957×1+0.4278×1+0.0537×1=0.8808；
学生H的困难程度=0.8210×0+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×0+0.0537×0=0；
学生I的困难程度=0.8210×1+0.1036×1+0.2047×1+0.2957×1+0.4278×1+0.0537×1=1.9065；
学生J的困难程度=0.8210×1+0.1036×0+0.2047×0+0.2957×0+0.4278×0+0.0537×1=0.8747。
学生D和I的困难程度相当（遇到这种情况可以根据学生的学业成绩再进行判断），其次是学生A，学生H的困难程度最小，属于不困难的范畴。
5. 模型检验
为了检验结果的科学性，本研究统计了某高校去年家庭贫困学生递交的“高等学校学生及家庭调查表”的认定材料共120份，统计结果与本研究的结果一致。
四、结论
本文在总结当前贫困生认定工作的基础上，提出了基于层次分析方法的高校家庭经济困难学生的贫困认定模型，该模型是选择一些判断学生贫困的主要因素，建立判断矩阵，通过一致性检验判断矩阵的合理性，从而得到评价学生困难程度的基本公式。层次分析法能将贫困生认定中的定性与定量分析相结合，具有高度的逻辑性、系统性、简洁性，也具有一定的理论和应用价值。
参考文献：
[1]田超.高校贫困生认定工作研究——以HY学院为例[D].石家庄：河北师范大学，2012.
[2]党林立，孙晓群.数学建模简明教程[M].西安：西安电子科技大学出版社，2010.
基金项目：常州工程职业技术学院校级教改课题（项目编号：2017JY029）。
作者简介：王宏义（1987— ），男，安徽芜湖人，硕士，助教，研究方向：数字图像处理。