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【摘要】数学反思是一种重要的数学活动，它是其他数学活动的核心和动力。学生对数学的反思过程是数学本质（思维能力）的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，从而提升学生学习数学的能力。学生通过对数学探究过程的反思、对数学解题过程的反思以及对解题结果的反思，把自己从“读书匠”逐步成长为有创新精神的“研究者”。
【关键词】思维能力 思维宽度 思维深度
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔更是指出：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力”。所以教师在教学活动中，应重视引导学生形成反思的意识，掌握反思的方法。通过不断反思，才能使学生从“读书匠”逐步成长为学习的“研究者”，从而帮助学生清晰地认识自己，把握自己，并在此基础上实现自我更新和重建。所以我认为：反思是数学学习活动的重要环节，也是数学学习的主要方式之一。下面，针对“如何在数学课堂上引导学生学会反思”谈一点自己的思考与感悟。
一、关注对数学探究过程的反思，发展学生思维习惯
数学探究的过程，实质上就是把客观知识内化成自己头脑中的知识，将抽象的内化成具体的，可以理解的。数学学习应该重视探究的过程，更重视对探究过程的反思。对数学探究过程的反思是指学生在学习数学概念等知识的过程中进行的自我监控和即时反馈，利用已有的数学知识和方法、解题思路和策略等进行自我调整，以解决数学学习中产生的各种疑惑，就是把学过的数学知识再进行学习，以达到深入理解、融会贯通、精炼概括、牢固掌握的目的。
数学的探究包括数学的概念和数学的定理。数学概念是反映事物在数量关系和空间形式上的本质特征的思维形式，具有高度抽象性，衡量一个学生掌握一个概念的本质不在于能否简单地用语言将数学概念表达出来，而是要真正理解概念的内涵和外延。因此概念的教学中，教师要让学生熟悉它的知识背景，在引导学生对数学概念探究的时候要注意反思概念的形成过程。通过反思，深化学生的知识建构，深刻理解概念的本质特征。例如，在学习“平行四边形”这一章节后，就要引导学生以“平行四边形”概念作为基础，抓住“角”、“边”、“对角线”这一重点与关键，对其他几种四边形的性质与判定予以串连。同时反思它们之间的区别与联系，互换的条件，理解其实质，提炼概括四边形的知识系统。数学定理是我们解决数学问题的工具，要能正确灵活的运用定理，不仅要掌握和熟悉定理的产生（证明）过程，而且要对定理产生（证明）过程中所蕴含的数学思想方法有明确的认识。所以，在探索中或探索结束后，要积极引导学生进行反思，这样的反思，不能仅停留在把已学的知识温习记忆一遍的要求上，而要努力思考新知识是怎样产生的，是如何展开或得到证明的，其实质是什么，怎样应用它等。
如何在教学过程中使学生能有效的积极的进行探究后反思，在课堂上，我给学生留下充分的时间和空间，让学生有发表自己见解的机会和进行反思的时间。教师则及时加以指导、点拨，吸引学生能饶有兴趣地围绕教学内容展开讨论，引导学生反思探讨，捕捉放大学生学习过程中的闪光点，引发学生间的思维碰撞，从中迸发出智慧的火花。有时为了确保学生反思更有效，我帮全班学生建立合作小组，以四人为一小组，每个小组中好差学生不一，这样以便每个学生都能参与，以优等生来带动学困生的探究和反思。当然，作为教学的合作者，在学生开展探究反思活动时，千万不能消极“旁观”，而要做积极的“旁观者”，要主动走进学生中间，及时回答学生的疑问，了解他们探究反思的情况，欣赏他们独到的见解，鼓励他们别出心裁的创新，促进学生思维的发展。
二、引发对数学解题过程的反思，拓展学生思维宽度
解决问题是数学学习的核心，是数学活动的重要形式。概念的掌握、技能的熟练、数学思想的养成，都离不开解题实践。学生在解题时大多数是为解题而解题，缺乏对解题过程的反思，没有对解题过程进行提炼、概括。著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题→拟定计划→实现计划→回顾，其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于拓展学生数学思维的宽度。
解完一道题后不能停留在满足所得出的结论上。在教学中，我经常教学生学会自我提问，这种方法适用于学习过程中。诸如“怎样做”，“为什么这样做”，“可以用几种方法做”，“哪一种方法更简便”，“错在哪里”，“为什么错”等自我提问，可以促进学习主体的更深层次的思考。其次，在解完一道题后可引导学生反思此类问题有无规律可循，或改变条件或结论，以探索新命题，即进行变式教学。通过多题一解、一题多解、一法多用的变式教学，学生能够掌握解决一类问题的方法、深刻了解各知识点之间的联系，促使学生反思解题规律，做到举一反三，触类旁通。
学生总是带着自己的一套见解、经验来到课堂，并通过日常生活经验和先前的学习，来解决数学问题。先前的见解、经验就是学生反思的起点，学生初步形成知识模型、找到不同的方法、提出不同的见解之后是学生反思的契机。在教学中，教师应找准学生反思的起点，激发反思的动机，抓住反思的契机，才能组织学生进行有效的反思，使学生学会反思。通过多年引导学生对解题过程的反思，使学生不断对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对解题中所蕴含的数学方法、数学思想进行提练和概括，重构自己的认知结构，学生思维得以拓宽，让学生能真正自主学习。
三、重视对数学解题结果的反思，延伸学生思维深度
在教学中经常出现这样一种情况：很多学生对于碰到过的数学问题得心应手，但如果碰到没见过的问题或问题稍加变化，就束手无策，只能选择大量的练习来达到提高数学水平的愿望，但结果往往是经验零散、思维僵化、效率低下。简单、重复的训练模式影响了学生数学自学能力的提高，甚至还打击了他们学习的信心。解题后的反思是指学生在数学学习完成（阶段性）之后对自己的数学学习行为（作业）、解题思路、解题方法和结果等的反思。
例如：已知，OA和OB是⊙O半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R，求证：RP=RQ。
分析：这个问题很多学生能轻松完成。连OQ，则∠3=∠B，∵∠2+∠B=90°，∠1+∠3=90°
∴∠2=∠1，∴RP=RQ。
这样做符合学生们的认知规律，即看到切线，连切点的半径。
在教学中可对本题进行如下变式：
变式1：A是⊙O的直径上一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA的延长线和⊙O相交于另一点C，过C点的切线和OA的延长线相交于D，求证：DA=DC。
变式2：将RP向上平移交OB于M，问RP与RQ还相等吗？
变式3：将RP向上平移到⊙O外，交OB延长线于M，RP与RQ是否相等？
变式4：将RP向下平移交BO延长线于M（M在圆内），问RP与RQ是否相等。
变式5：将RP向下平移交BO延长线于M（M在圆外），上述结论还成立吗？
这样变式，在整个过程中学生处于一种积极创造性状态，他们在不断地对数学问题探究中反思，反思中提高，并给学生的发展、创造提供了自由广阔的天地。这样对数学问题的探究反思不容置疑是成功的。
在数学课堂教学中，教师在为学生的数学反思提供足够的空间的同时，学生的数学反思也会给教师带来丰富的信息反馈。从而使课堂产生真正师生互动、情景交融的激动场面。才能让学生的个体思维从狭隘走向广阔，从肤浅走向深刻，才能使数学课堂成为学生不断挑战自我，发展思维，提升智慧的大舞台。
当反思成为一种习惯，距离进步便不会遥远。
参考文献：
[1]王海燕.新课程的理念与创新[M].北京师范大学出版社.2001.
[2]陈京山等.如何设计富有探究性的教学过程[J].中学数学杂志.2005（01）.
（作者单位：太仓市沙溪实验中学）
编辑/张俊英
【关键词】思维能力 思维宽度 思维深度
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔更是指出：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力”。所以教师在教学活动中，应重视引导学生形成反思的意识，掌握反思的方法。通过不断反思，才能使学生从“读书匠”逐步成长为学习的“研究者”，从而帮助学生清晰地认识自己，把握自己，并在此基础上实现自我更新和重建。所以我认为：反思是数学学习活动的重要环节，也是数学学习的主要方式之一。下面，针对“如何在数学课堂上引导学生学会反思”谈一点自己的思考与感悟。
一、关注对数学探究过程的反思，发展学生思维习惯
数学探究的过程，实质上就是把客观知识内化成自己头脑中的知识，将抽象的内化成具体的，可以理解的。数学学习应该重视探究的过程，更重视对探究过程的反思。对数学探究过程的反思是指学生在学习数学概念等知识的过程中进行的自我监控和即时反馈，利用已有的数学知识和方法、解题思路和策略等进行自我调整，以解决数学学习中产生的各种疑惑，就是把学过的数学知识再进行学习，以达到深入理解、融会贯通、精炼概括、牢固掌握的目的。
数学的探究包括数学的概念和数学的定理。数学概念是反映事物在数量关系和空间形式上的本质特征的思维形式，具有高度抽象性，衡量一个学生掌握一个概念的本质不在于能否简单地用语言将数学概念表达出来，而是要真正理解概念的内涵和外延。因此概念的教学中，教师要让学生熟悉它的知识背景，在引导学生对数学概念探究的时候要注意反思概念的形成过程。通过反思，深化学生的知识建构，深刻理解概念的本质特征。例如，在学习“平行四边形”这一章节后，就要引导学生以“平行四边形”概念作为基础，抓住“角”、“边”、“对角线”这一重点与关键，对其他几种四边形的性质与判定予以串连。同时反思它们之间的区别与联系，互换的条件，理解其实质，提炼概括四边形的知识系统。数学定理是我们解决数学问题的工具，要能正确灵活的运用定理，不仅要掌握和熟悉定理的产生（证明）过程，而且要对定理产生（证明）过程中所蕴含的数学思想方法有明确的认识。所以，在探索中或探索结束后，要积极引导学生进行反思，这样的反思，不能仅停留在把已学的知识温习记忆一遍的要求上，而要努力思考新知识是怎样产生的，是如何展开或得到证明的，其实质是什么，怎样应用它等。
如何在教学过程中使学生能有效的积极的进行探究后反思，在课堂上，我给学生留下充分的时间和空间，让学生有发表自己见解的机会和进行反思的时间。教师则及时加以指导、点拨，吸引学生能饶有兴趣地围绕教学内容展开讨论，引导学生反思探讨，捕捉放大学生学习过程中的闪光点，引发学生间的思维碰撞，从中迸发出智慧的火花。有时为了确保学生反思更有效，我帮全班学生建立合作小组，以四人为一小组，每个小组中好差学生不一，这样以便每个学生都能参与，以优等生来带动学困生的探究和反思。当然，作为教学的合作者，在学生开展探究反思活动时，千万不能消极“旁观”，而要做积极的“旁观者”，要主动走进学生中间，及时回答学生的疑问，了解他们探究反思的情况，欣赏他们独到的见解，鼓励他们别出心裁的创新，促进学生思维的发展。
二、引发对数学解题过程的反思，拓展学生思维宽度
解决问题是数学学习的核心，是数学活动的重要形式。概念的掌握、技能的熟练、数学思想的养成，都离不开解题实践。学生在解题时大多数是为解题而解题，缺乏对解题过程的反思，没有对解题过程进行提炼、概括。著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题→拟定计划→实现计划→回顾，其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于拓展学生数学思维的宽度。
解完一道题后不能停留在满足所得出的结论上。在教学中，我经常教学生学会自我提问，这种方法适用于学习过程中。诸如“怎样做”，“为什么这样做”，“可以用几种方法做”，“哪一种方法更简便”，“错在哪里”，“为什么错”等自我提问，可以促进学习主体的更深层次的思考。其次，在解完一道题后可引导学生反思此类问题有无规律可循，或改变条件或结论，以探索新命题，即进行变式教学。通过多题一解、一题多解、一法多用的变式教学，学生能够掌握解决一类问题的方法、深刻了解各知识点之间的联系，促使学生反思解题规律，做到举一反三，触类旁通。
学生总是带着自己的一套见解、经验来到课堂，并通过日常生活经验和先前的学习，来解决数学问题。先前的见解、经验就是学生反思的起点，学生初步形成知识模型、找到不同的方法、提出不同的见解之后是学生反思的契机。在教学中，教师应找准学生反思的起点，激发反思的动机，抓住反思的契机，才能组织学生进行有效的反思，使学生学会反思。通过多年引导学生对解题过程的反思，使学生不断对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对解题中所蕴含的数学方法、数学思想进行提练和概括，重构自己的认知结构，学生思维得以拓宽，让学生能真正自主学习。
三、重视对数学解题结果的反思，延伸学生思维深度
在教学中经常出现这样一种情况：很多学生对于碰到过的数学问题得心应手，但如果碰到没见过的问题或问题稍加变化，就束手无策，只能选择大量的练习来达到提高数学水平的愿望，但结果往往是经验零散、思维僵化、效率低下。简单、重复的训练模式影响了学生数学自学能力的提高，甚至还打击了他们学习的信心。解题后的反思是指学生在数学学习完成（阶段性）之后对自己的数学学习行为（作业）、解题思路、解题方法和结果等的反思。
例如：已知，OA和OB是⊙O半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R，求证：RP=RQ。
分析：这个问题很多学生能轻松完成。连OQ，则∠3=∠B，∵∠2+∠B=90°，∠1+∠3=90°
∴∠2=∠1，∴RP=RQ。
这样做符合学生们的认知规律，即看到切线，连切点的半径。
在教学中可对本题进行如下变式：
变式1：A是⊙O的直径上一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA的延长线和⊙O相交于另一点C，过C点的切线和OA的延长线相交于D，求证：DA=DC。
变式2：将RP向上平移交OB于M，问RP与RQ还相等吗？
变式3：将RP向上平移到⊙O外，交OB延长线于M，RP与RQ是否相等？
变式4：将RP向下平移交BO延长线于M（M在圆内），问RP与RQ是否相等。
变式5：将RP向下平移交BO延长线于M（M在圆外），上述结论还成立吗？
这样变式，在整个过程中学生处于一种积极创造性状态，他们在不断地对数学问题探究中反思，反思中提高，并给学生的发展、创造提供了自由广阔的天地。这样对数学问题的探究反思不容置疑是成功的。
在数学课堂教学中，教师在为学生的数学反思提供足够的空间的同时，学生的数学反思也会给教师带来丰富的信息反馈。从而使课堂产生真正师生互动、情景交融的激动场面。才能让学生的个体思维从狭隘走向广阔，从肤浅走向深刻，才能使数学课堂成为学生不断挑战自我，发展思维，提升智慧的大舞台。
当反思成为一种习惯，距离进步便不会遥远。
参考文献：
[1]王海燕.新课程的理念与创新[M].北京师范大学出版社.2001.
[2]陈京山等.如何设计富有探究性的教学过程[J].中学数学杂志.2005（01）.
（作者单位：太仓市沙溪实验中学）
编辑/张俊英