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分类讨论思想是高中数学的重要思想方法之一，是高考的热点，也是难点。在教学实践中，我们发现对于分类讨论以后如何归纳总结的问题，许多学生普遍感到棘手！但是从分类讨论的最终结果的形式来看，我们可以将它分分为三种类型：一型“各自为政”二型“似统非统，似分未分”；；三型“一统江山”。下面我们对这三种类型分析如下：
一、“各自为政”型
例1．函数
，
，求函数最小值
分析：令sinx＝t
，则原函数可转化为：
，t
这是一个关于t的二次函数，其对称轴t＝－a与区间
的相对位置可分为对称轴在区间左侧，区间内，区间右侧三种类型。因此对a作讨论。又因为不同的情况函数的单调性不同，函数的最值也不同，即实数a在不同的范围内，问题的结果不同。
解得结果必须分述如下：
（1）当a
时，
（2）当a
时，
（3）当a
时，
从以上例题中我们可以发现讨论结果呈“各自为政”型的特点是:
（1分类讨论过程中每一类的结果,都是必须在一定的前提条件下才成立的结果，如果没有这个前提条件，则该结果不一定成立。
（2）分类讨论是按另一个条件字母划分区间来讨论，而不是按所求字母的范围划分子区间来进行讨论。因此，结论必须“分述”，分述时要求注明每一种情况下，结论成立的前提条件。
（3）这种类型的分类讨论如果概括起来讲是：“过程分，结论也分”
对于结果是这种“分述型”的问题，教师在教学过程中要注意防止学生书写结果时把结果写成一个集合。如：把例3的结果写成：
二、“似统非统，似分未分”型
例2．某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出收费額关于路程的函数关系式.
解 设路程为xkm时，收费額为y元，则
当
时，y=7；
当x>3时，y=7+2.4
故收费額y关于路程x的函数解析式为：
此题最后结果，表面看上去“似统非统，似分未分”。事实上，应该是“统分结合”。“统”因为它实质上是一个函数的解析式；“分”是指它的外在形式是一个分段函数的表达式。其它类似的还有数列的通项公式和求和公式等。
例3．已知数列
的前n项和为 ，根据下列条件求
的通项公式
（1）
（2）
解：（1）当n＝1时，
＝
＝－1
当n
2时，
＝
＝4n－5
综上：
＝4n－5
（2）当n＝1时，
＝
＝1
当n
2时，
＝
＝－
综上：
本例中（1）因为当n
2时，
＝4n－5它对于n=1同样适用，故最终结果无需分段表示，写成
＝4n－5而（2）中n
2时的表达式
＝－
对于
不合,故只能分段表示最终结果。
对于以上类型的结果“似统非统，似分未分”只是其表象，其实质是“统分结合”。原则上“能统则统，不能统则分”。
也有一些特殊情况，其结果既可以写成“分述”型，同时也可以写成“分段”型
例如：已知首项为
等比数列
的公比为q,求数列 前n项和为
。
其结果可以写成：
；
。
同时还可以用分段式表示成：
总之，内容和形式是辩证统一的，不同的内容，其外在表现形式肯定有所不同。尽管分类讨论的原因各不相同，但对于分类讨论的结果的归纳并非无规律可循。通过以上的例子，我们可以总结其规律如下：
（1）按所求字母分类讨论的，结果取各类的并集。因此此类也可称为“并集” 型。
（2）按题中另一条件字母分类讨论的，结果按条件字母分述。此类可称为“分述” 型。
（3）按变量讨论求函数解析式（包括数列问题）的，结果“能统则统”，不能统的分段表示。此类称为“分段” 型。
三、“一统江山”型
例4 .设集合
，集合
，若
，求a的值。
解：（1）当a=0时，
，符合题意
（2）当
时，由题意得
，故
综上，a的值为0或
（结果用集合可表示为
例5.求不等式
的解集。
解对字母x进行分类讨论：
（1）当
时，得
满足题意
（2）当
时，得
满足题意
（3）当
时，得
满足题意
因为上述每一类中所求得的解，都是原不等式的解，故所求不等式的解集是上述每一类解集的并集!
从而，原不等式的解集为
即
（1）分类讨论后结果呈现“一统江山”型的问题有三个特点需要注意：
分类讨论过程中每一类的结果都完全符合题意；不需附加任何条件，每一类中的结果都是符合题意的解的一分子。归纳结论时的一个显著标志是有连结词“或”；如果从集合的观点讲，结果为每一类解集的并集。因此，“一统江山”型也可以称为“并集型”
（2）分类讨论实质是按所求字母的范围划分子区间来进行讨论的。
（3）这种类型的分类讨论概括六个字是： “过程分，结论合”
另外，教师在教学过程中还要注意：
①要把求函数的单调区间时与上述问题区别开来。例如：函数
的单调减区间为
，就不可以写成：函数
的单调减区间为
②必须培养学生规范书写结果的习惯，防止归纳、书写结果时，产生不合逻辑、符号语言表达混乱等错误。
作者单位：江苏沭阳银河学校
一、“各自为政”型
例1．函数
，
，求函数最小值
分析：令sinx＝t
，则原函数可转化为：
，t
这是一个关于t的二次函数，其对称轴t＝－a与区间
的相对位置可分为对称轴在区间左侧，区间内，区间右侧三种类型。因此对a作讨论。又因为不同的情况函数的单调性不同，函数的最值也不同，即实数a在不同的范围内，问题的结果不同。
解得结果必须分述如下：
（1）当a
时，
（2）当a
时，
（3）当a
时，
从以上例题中我们可以发现讨论结果呈“各自为政”型的特点是:
（1分类讨论过程中每一类的结果,都是必须在一定的前提条件下才成立的结果，如果没有这个前提条件，则该结果不一定成立。
（2）分类讨论是按另一个条件字母划分区间来讨论，而不是按所求字母的范围划分子区间来进行讨论。因此，结论必须“分述”，分述时要求注明每一种情况下，结论成立的前提条件。
（3）这种类型的分类讨论如果概括起来讲是：“过程分，结论也分”
对于结果是这种“分述型”的问题，教师在教学过程中要注意防止学生书写结果时把结果写成一个集合。如：把例3的结果写成：
二、“似统非统，似分未分”型
例2．某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出收费額关于路程的函数关系式.
解 设路程为xkm时，收费額为y元，则
当
时，y=7；
当x>3时，y=7+2.4
故收费額y关于路程x的函数解析式为：
此题最后结果，表面看上去“似统非统，似分未分”。事实上，应该是“统分结合”。“统”因为它实质上是一个函数的解析式；“分”是指它的外在形式是一个分段函数的表达式。其它类似的还有数列的通项公式和求和公式等。
例3．已知数列
的前n项和为 ，根据下列条件求
的通项公式
（1）
（2）
解：（1）当n＝1时，
＝
＝－1
当n
2时，
＝
＝4n－5
综上：
＝4n－5
（2）当n＝1时，
＝
＝1
当n
2时，
＝
＝－
综上：
本例中（1）因为当n
2时，
＝4n－5它对于n=1同样适用，故最终结果无需分段表示，写成
＝4n－5而（2）中n
2时的表达式
＝－
对于
不合,故只能分段表示最终结果。
对于以上类型的结果“似统非统，似分未分”只是其表象，其实质是“统分结合”。原则上“能统则统，不能统则分”。
也有一些特殊情况，其结果既可以写成“分述”型，同时也可以写成“分段”型
例如：已知首项为
等比数列
的公比为q,求数列 前n项和为
。
其结果可以写成：
；
。
同时还可以用分段式表示成：
总之，内容和形式是辩证统一的，不同的内容，其外在表现形式肯定有所不同。尽管分类讨论的原因各不相同，但对于分类讨论的结果的归纳并非无规律可循。通过以上的例子，我们可以总结其规律如下：
（1）按所求字母分类讨论的，结果取各类的并集。因此此类也可称为“并集” 型。
（2）按题中另一条件字母分类讨论的，结果按条件字母分述。此类可称为“分述” 型。
（3）按变量讨论求函数解析式（包括数列问题）的，结果“能统则统”，不能统的分段表示。此类称为“分段” 型。
三、“一统江山”型
例4 .设集合
，集合
，若
，求a的值。
解：（1）当a=0时，
，符合题意
（2）当
时，由题意得
，故
综上，a的值为0或
（结果用集合可表示为
例5.求不等式
的解集。
解对字母x进行分类讨论：
（1）当
时，得
满足题意
（2）当
时，得
满足题意
（3）当
时，得
满足题意
因为上述每一类中所求得的解，都是原不等式的解，故所求不等式的解集是上述每一类解集的并集!
从而，原不等式的解集为
即
（1）分类讨论后结果呈现“一统江山”型的问题有三个特点需要注意：
分类讨论过程中每一类的结果都完全符合题意；不需附加任何条件，每一类中的结果都是符合题意的解的一分子。归纳结论时的一个显著标志是有连结词“或”；如果从集合的观点讲，结果为每一类解集的并集。因此，“一统江山”型也可以称为“并集型”
（2）分类讨论实质是按所求字母的范围划分子区间来进行讨论的。
（3）这种类型的分类讨论概括六个字是： “过程分，结论合”
另外，教师在教学过程中还要注意：
①要把求函数的单调区间时与上述问题区别开来。例如：函数
的单调减区间为
，就不可以写成：函数
的单调减区间为
②必须培养学生规范书写结果的习惯，防止归纳、书写结果时，产生不合逻辑、符号语言表达混乱等错误。
作者单位：江苏沭阳银河学校