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一、数形结合思想的内涵概述
数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
二、数形结合思想的解题路径
1．转换数与形的三条途径：
① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2．转换数与形的三种方式：
①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
三、数形结合思想的方法应用
例1.若直线
与曲线
恰有一个公共点，求k的取值范围.
解：（代数法）曲线方程可化为
，把
代入
可得：
（
），由题意可知方程仅有一个非负根
①当方程有等根时，即
=0，可得
，
当
时，方程可化为
，得
不合题意；
当
时，方程为
得
符合题意，
可知
；
②当方程根为
时，得
，
，当
时，方程为
，得方程两个根为
，
不合题意应舍去；当
时，方程为
，得方程两个根为
，
适合题意，可知
；
③当方程根为一正一负时，只需
，可得
。
综上所述：所求 k的取值范围为
或
。
（几何法）曲线
是单位圆
的右半圆（
），
k是直线
在y轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，
，由图形：可得
或
。
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。
例2．求函数
的值域。
分析：本题可以把函数化为关于 的三角函数，然后利用其有界性求值域，但其运算量大，对学生的运算能力有较高要求，有一定难度。此题可看成过两点M（
）,
构成直线的斜率的范围，又M（
）在一个单位圆上，故可构造图像求此函数值域。
解：（代数法）
因为
，所以
，
解之得
即原函数的值域为
（几何法）
的形式类似于斜率公式
表示过两点M（
）,
构成直线的斜率
由于点M在单位圆
上，如图，
显然
，设过P的圆的切线方程为
则有
，解得
，即
，
评注：本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在联系，考查学生的数形结合的能力。
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质、化简的形式通过构造思想融于函数的图像之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。
例3.在平面直角坐标系中，点集
则点集
所表示的区域的面积为 ．
分析：本题是线性规划问题，但又不是一般的求线性目标函数的最值问题，其中综合了轨迹问题，关键是先把
看成定值，则Q是一个圆面；再让
动起来，则Q是动圆形成的一个区域面积。运用图像画平面区域，是本题关键。
解：如图所示，点集Q是由三段圆弧以及连接它们的三条切线围成的区域，其面积为：
评注：二元一次不等式组与二元函数的对应实质上是简单线性规划问题，利用可行域解决问题，属于典型的数形结合的案例。
总之，数形结合思想是数学中基本而又重要的思想，是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效。在高考复习时，同学们必须随时注意运用数形结合思想，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。
作者单位：沭阳银河学校
数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
二、数形结合思想的解题路径
1．转换数与形的三条途径：
① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2．转换数与形的三种方式：
①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
三、数形结合思想的方法应用
例1.若直线
与曲线
恰有一个公共点，求k的取值范围.
解：（代数法）曲线方程可化为
，把
代入
可得：
（
），由题意可知方程仅有一个非负根
①当方程有等根时，即
=0，可得
，
当
时，方程可化为
，得
不合题意；
当
时，方程为
得
符合题意，
可知
；
②当方程根为
时，得
，
，当
时，方程为
，得方程两个根为
，
不合题意应舍去；当
时，方程为
，得方程两个根为
，
适合题意，可知
；
③当方程根为一正一负时，只需
，可得
。
综上所述：所求 k的取值范围为
或
。
（几何法）曲线
是单位圆
的右半圆（
），
k是直线
在y轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，
，由图形：可得
或
。
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。
例2．求函数
的值域。
分析：本题可以把函数化为关于 的三角函数，然后利用其有界性求值域，但其运算量大，对学生的运算能力有较高要求，有一定难度。此题可看成过两点M（
）,
构成直线的斜率的范围，又M（
）在一个单位圆上，故可构造图像求此函数值域。
解：（代数法）
因为
，所以
，
解之得
即原函数的值域为
（几何法）
的形式类似于斜率公式
表示过两点M（
）,
构成直线的斜率
由于点M在单位圆
上，如图，
显然
，设过P的圆的切线方程为
则有
，解得
，即
，
评注：本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在联系，考查学生的数形结合的能力。
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质、化简的形式通过构造思想融于函数的图像之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。
例3.在平面直角坐标系中，点集
则点集
所表示的区域的面积为 ．
分析：本题是线性规划问题，但又不是一般的求线性目标函数的最值问题，其中综合了轨迹问题，关键是先把
看成定值，则Q是一个圆面；再让
动起来，则Q是动圆形成的一个区域面积。运用图像画平面区域，是本题关键。
解：如图所示，点集Q是由三段圆弧以及连接它们的三条切线围成的区域，其面积为：
评注：二元一次不等式组与二元函数的对应实质上是简单线性规划问题，利用可行域解决问题，属于典型的数形结合的案例。
总之，数形结合思想是数学中基本而又重要的思想，是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效。在高考复习时，同学们必须随时注意运用数形结合思想，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。
作者单位：沭阳银河学校