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摘 要：几何名词出自明徐光启《几何原本》译本，但在此之前，中国的几何学早已产生并独立发展着，是一门古老的学科，很多成果成为中华民族对世界文明的重大贡献。铜镜是古代留传下来沿用时间最长、使用范围最广的器物。尽管和仰韶文化的陶器相比，出现的时间要晚得多，发展演变的轨迹也不同步，但使用和延续的时间是任何古遗物不可比拟的。文章依据出土铜镜资料，以几何学的视角，结合铜镜形制、背部纹饰及其构图的变化特征，观察出几何基本元素在不同时代铜镜中所展示出的相互关系，进而昭示我国古代几何发展的时代脉络以及几何赋予铜镜的独特魅力。
关键词：铜镜;几何;纹饰;点缀;构图
1 铜镜和几何
铜镜是古人日常生活的必需品，它的正面平滑光泽，具有修饰容颜、整饬衣冠的实用功能，所谓“清治铜华以为镜，昭察衣服观容貌”①;铜镜也是极其精美的艺术品，制作工艺精湛，造型变化多端，图案构思巧妙，是我国古代文化遗产中的瑰宝。每一面铜镜，都蕴藏着丰富的社会生活、思想文化，同时它的制作工艺，特别是背部纹饰更与所处时代的几何学知识及其应用息息相关，“是当时社会情况的一个缩影”②。
在我国古代，几何学被称为“形学”，是一门古老的学科。甲骨文中，就已有了“规”“矩”二字，它们的象形意义表明，规是用来画圆的，矩是用来画方的。山东汉代画像石、画像砖以及新疆唐代帛画中都有伏羲手执规、女娲手执矩的画像，说明我们的祖先很早就认知了圆和方的概念。规和矩是最早的几何构图工具，只是具体时间还有点模糊，但可以肯定的是，“在新石器晚期，人们对几何图形已经有了一定的认识，如圆形、椭圆形、弧形等，圆形的屋顶以及陶器上非常匀称的同心圆花雕，都是借助一些工具才能完成，而这些工具可能就是最早的圆规”③。战国时代，墨子在理论上对于几何的基本概念和公式进行了论述，如“端，体之无厚而最前者也”“直，参也”“平，同高也”“方，柱隅四权也”“圆，一中同长也”。其中有些论述比西方几何学之父欧几里得还要早100多年。
几何学来源于生活，应用于生活。铜镜的铸造，要经过制范、浇铸、抛光等工序，其中制范是关键，匠师们经过长期的实践，在成熟的制陶工艺基础上，采用线条式、平雕式、浮雕式、透雕式等不同形式，刻制成各种泥模拼成任意等分刻度，使铜镜的制图和雕刻得以简便进行。这种实践和需求促进了几何学的发展，同样，几何学也赋予了铜镜独特的魅力。
几何学的美学意义在于它图形的美感，简洁明了是它完美的核心所在，被誉为西方现代艺术造型之父的塞尚说过，一切物体的形态，无论构造多么复杂，都可以概括为几种几何形体。圆和方是最基本的几何形体。商周以前，铜镜一般为圆形，方形铜镜出现较晚。在中国传统文化中，“天圆地方”的理念根深蒂固，宋玉在《大言賦》里写道“圆天为盖，方地为舆”，以圆方做天地的代称，圆中有方，方中有圆。人事上的经天纬地，必然要赋予圆和方更深的内涵。道法自然，讲究顺势循时，契合了圆的包容;儒尚秩序，讲究原则规矩，体现了方的端正。儒道的融会贯通是中国传统文化的基因，所以铜镜艺术最基本的几何要素是圆和方，这种选择有几何学的意义，也有人文学的意义。还需要说明的是，圆形的选择也是铜镜实用价值的体现，因为周长相等的封闭几何形状中，圆形的面积最大。唐代以后，铜镜的造型开始多样化，出现了菱形、葵形、亚字形、长方形、八角形、心形等样式，这些造型灵活自然有趣，又不失规范严谨，这正是几何形体的魅力所在。
铜镜背部纹饰中，几何图案纹饰出现得最早，除此之外，还有植物、动物、人物图像等纹饰以及文字铭纹，内容丰富多彩。几何形图案纹饰源于人们的日常生活，先人对日常所见之物，用几何图形的形式进行描述，是数学思维抽象化的产物。几何纹的数学定义是利用各种几何符号构成规则纹或不规则的几何图案。铜镜的几何形纹饰，正是通过点、线、面、圆来构成圆形、方形、三角形、四边形、平行四边形、梯形以及其他不规则的几何符号，有机组合，或对称或环绕或分列或交错或重叠，形成完整的背部纹饰。
2 最初的几何纹饰
1976年青海贵南马台齐家文化25号墓出土的七角星纹镜是我国发现最早的古铜镜（图1），它背饰中的几何纹饰也是铜镜中最早的几何纹饰。纹饰以粗直线为主，边缘圈内以三角纹折成七角星形图案，七角星角度不甚规则，角与角之间施以斜线线纹，线与线之间近似平行。齐家文化时期的铜镜出土不多，中国历史博物馆藏有一面重圈多角星纹镜，镜背三重弦纹将镜背分为内外两区，内为十三角星芒纹，外为十六角星芒纹，角间有三四条不等的平等斜线纹。这一时期几何纹的表现力还达不到同一时期彩绘陶器上的工艺水准，但直线、射线、三角、弦等几何元素以及镜背纹饰的构图都是在铜镜里的初始出现，意义十分重要。
3 几何纹饰的进一步表现
殷商铜镜沿袭齐家文化铜镜的造型，均为圆形，镜纽有弓形、半环形、长方形等多种，铜镜以光素无纹饰者居多，也有环形纹、短线纹、三角纹、叶脉纹、弧线纹等纹饰，纹饰以几何纹为主，艺术形态还不成熟，但几何图形以及线的垂直、平行，圆的等分、同心等几何纹饰有了进一步的表现。1934年安阳侯家庄1005号墓出土的平行几何纹镜（图2），圆形，弓形纽，纽外凸弦线将镜面隔为内外区，外区内有三十四条节状凸线将外圆均匀等分，内区有四组凸线，将中心圆均匀地分为四等份，每一组内有九条或十条长短不一的凸线，同组内凸线互相平行，又与相邻一组的凸线互为垂直，对角相对，形成了平行垂直、垂直平行的图纹，加上外区的节状凸线将外圆等分，与中心圆面的直线形成了鲜明对比，取得了既对称均匀又灵活变化的艺术效果。
4 几何纹饰的成熟
春秋战国以后，铜镜进入流行期，几何纹的表现，由稚嫩走向成熟，已经赶上了青铜器发展的步伐。图饰中，点与点、线与线、面与面的相互重合排列，以及点与线、线与面、面与点之间的相互渗合运用，几何学的应用和表现得到充分释放。 4.1 规范的几何形体
铜镜的纽座出现之初，就已经是很规整的圆形和方形，各类纹饰中的地纹也大多是方形，和前期稚嫩的图形比起来规范得多。辽宁朝阳十二台营子1号墓出土的一面战国几何纹缘多纽镜（图3），整个镜背没有纹饰，镜缘处有几何纹饰两周，几何纹全部是由多种几何图形排列组合而成，几何图形有长方形、梯形、直角三角形、平行四边形、曲尺形等，每一个几何体规范标准，排列有序。另外，利用主纹饰相互排列组合出现的几何图形也很多，比如，利用两个方形对角相交形成方形纽座，还有，这一时期流行的山字镜，无论是三山、四山，甚至更多，“山”字也都不是随意排列的，而是按不同的几何方位布置的，连接各山字底边的延长线，可以形成各种不同的几何形体，这种形式比比皆是，此不赘述。
4.2 精确的角度
湖南长沙沙湖桥第25号楚墓出土的折叠式菱纹镜（图4），在地纹之上有宽带条组成的菱形纹，它们将镜背分成九个区域，其中八个菱区均匀地分布在中心菱区周围，它们以中心菱区为中心形成对称图形。菱形的内角有两种：经过测量，一种为标准的60度角，另一种是标准的120度角。辽宁朝阳十二台营子3号墓出土的三角勾连雷纹多纽镜（图5），三个桥型纽并列于镜背之上，地纹为细密的平行短线，底纹之上为宽条三角勾连纹，边缘有一周三角形、曲尺形、直线、斜线相间组成的几何形纹饰，其宽条带以45度和90度角曲折勾连。几何角有很多种，铜镜几何纹的几何角是在各种线的相交中自然形成的，但上面这几个角很关键，是几何角的基准角，显然是有意为之，精确的角度对几何作图发挥着关键作用。
4.3 精准的等分圆
1963年在湖北鄂城出土的一面六朝时期荣氏神人禽兽画像镜，镜有刻铭“番琚镜佪二尺一寸”。“佪”即周长，可见古人对于几何圆的重视。圆形是最基本的几何图形之一，也是铜镜最早和最基本的形制，圓的几何等分是铜镜制作及工艺美术的关键。这一时期的连弧纹镜体现了人们对于等分圆的认识和探索。上海博物馆藏的一面连弧纹镜属于七连弧（图6），三弦纽，圆纽座，外围凹面形带及绹纹一周，地纹为云雷纹，排列整齐，地纹之上是凹面宽带所围成的七内向连弧纹，七外角直达镜边，将圆形的镜缘很精准的平均分割为七等份。等分的夹角是整数，容易把握，而约51.4度的七等份的夹角就十分不易了，按照当时的几何理论程度，“最简单易行且行之有效的办法，就是用调节圆规口径大小的方法，直接在圆周线上找出七等分交点后，从纽中心点对着圆周线上的7个交点向外分别引线出来，一次性定位”⑤。这面七连弧纹镜显示了当时高超的几何制图水准，也折射出我们的祖先在几何学方面的贡献。南北朝时期祖冲之圆周率的成就领先了世界一千年，这些成果的取得不是偶然的，无论是从《考工地》里“古率”的提出、还是魏晋刘徽“割圆术”的开创，我们的古代科学家们在用自己独特的方法孜孜不倦，一步一步，最终达到世界高度。
5 几何的纹饰点缀
汉代以后，铜镜几何纹饰逐渐从主纹饰退居配饰地位，它的作用更多体现在格式化、美术化的点缀。
5.1 几何图形的格式化
锦纹，又称锦地纹，常用作地纹，有锦上添花之意，是铜镜常见的纹饰，图案常以各种图形连续构成，比较流行的有卍字纹、连钱纹和龟背纹。利用两条折线的交叉对称形成的卍字纹，象征富贵绵长，永不断头;连钱纹则是利用半径相同的圆，以四分之一弧线相互切割，每一个相对独立的圆圈中间形成一个弧形方格，形似方孔圆寰钱币，圆环相连，连续不断，简洁富有，意趣盎然;祈福长寿的龟背纹又称灵锁纹或锁纹，其实是六角形连续状的几何纹样。唐镜里还出现了方胜纹镜，方胜纹是通过两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，是古代妇女常用的装饰纹样。经过长期发展演变，方胜纹以及卍字纹、连钱纹和龟背纹等锦纹的几何图形已经格式化，成为中国汉族纹饰中蕴含吉祥寓意的传统纹饰图案之一。
5.2 几何图形的美术化
唐宋以后的花卉镜、禽鸟镜，主纹饰的外形常常被处理成几何形轮廓，成为美术化的几何图形。宋代的一面四凫镜（图7），方形，圆纽，镜背只有四凫，布局却精心独创，四凫置于方形四个内角，羽翼呈几何中的扇形，从斜角方向看四凫位于方形两条对角线上，对称配置，正方形两条对角线垂直相等，四凫一翅在中心形成一个平行四边形，正面看是一个菱形。此镜隐藏有方形、平行四边形、扇形等几何元素，包含有对角线知识的实践应用，是美术与几何的完美融合。
6 几何的构图应用
铜镜之所以被称为精美的艺术品，主要在于它背面纹饰的艺术性，除了纹饰本身的精美之外，如何于方寸之间，将纹饰的各个元素分配排列，使整个纹饰传达的艺术性和人们的审美情趣得以完整准确的表达，合理的构图就成了关键，这也是几何构图的魅力所在。
一面铜镜，根据其背面纹饰情况，一般划分为纽、纽座、内区、中区、外区、圈带、铭带、边缘等部分，分别用方形或者同心圆式的界限隔开，这是铜镜背部构成的基本框架，也是几何分割的简单应用。中心区主纹饰的几何构图是关键，也最为复杂，“中国铜镜的纹饰构图，在战国秦汉时期一直以向心式构图为主，轴对称式构图处于次要地位。到了唐宋时期，基于人物画、花鸟画、山水画等绘画布局的构图方式逐渐兴起，与向心式构图、轴对称式构图鼎足而立”③。但无论哪种方式，都自觉贯穿着几何知识的基本原理，特别是圆形和方形的等分和对称性。
利用基本的几何形体进行分区布局是常见的一种模式，出现很早，沿用的时间也很长。1976年殷墟妇好墓出土的叶脉纹镜（图8），镜背饰三周凸弦纹，第一周弦纹向外射出十字形宽条幅，镜背被均匀地分成四个区域，细节处理不很规范，但也算是十字形构图的尝试。内蒙古昭乌达盟出土的辽代四蝶连钱锦纹镜（图9），主题纹饰突出的是四蝶，而这面镜最大的特色是背饰区的几何分割，圆形、圆纽、圆形的连珠纹纽座，纽座外是一个方形框，框外是两个由连珠纹形成的同心圆，其中内圆周做方形框的外切圆，外圆周外切另一菱形框，外圈圆又成为菱形的内切圆，菱形的四个内角各置一蝴蝶。菱形之外还有两个有连珠纹组成的菱形框，整个镜背，圆内有方，方外有圆，内接外切，端正自然。这是一种规范的几何图形分割。 西汉末期到东汉初期流行的博局镜，又名规矩镜，最能体现几何构图严谨性。陕西长安出土西汉中叶日光博局对称连叠草叶镜（图10），圆形，连峰纽，纽外为双线正方形，正方形四个对角，每两点连线形成两条对角线，两条对角线向外延长线置四枚乳钉和双线V形纹，四枚乳钉与四个对角之间距离相等，而且双线V形纹也与四个乳钉距离分别相等，正方形四边的中点处伸出双线T形纹，四个双线T形纹两两平行对称，构成博局镜中四个方向即上北下南左西右东，四个双线V形构成八方即东北东南西北西南，它们组合起来就是博局镜的四区八方。L纹在T形纹的延长线，T形纹与L形纹相对。两个纹饰双线的外线又构成一个长方形，长方形内又置一小长方形，双线V形纹和双线L形纹既有在博局镜中表明方向的作用，又巧妙地将圆等分，鏡缘边为十六连弧。整个镜背呈现出“米”字形的结构，几何的规矩性、对称性在铜镜中表现得淋漓尽致。
东汉晚期的直行铭文镜，以纽的轴线为界，两条竖线将镜背分为左右中三部分，稍晚流行的重列神兽镜，更是打破了传统的以镜纽为中心的构图方式，而是根据纹饰内容的不同，利用上下平行线分镜背为三段、五段等，属于平行式的几何构图。六朝时期的君宜三段区段式神人镜（图11），圆形，圆纽，圆纽座，一个单线圆将镜分为内外两区，两条夹圆形纽的平行线将圆分为三段，上段是中部为一神龟，神龟顶起以华盖，华盖的杆似乎与平行线垂直，将上部区一分为二，右侧一神像左右各一侍。华盖的杆左侧四个侍从，中段也就是两条平行线和圆纽座外之间各置两座大的主神，头均朝纽座。下段为两神相对，主纹外一双线同心圆，双线同心圆与单线圆之间有十一个长方形和十一个半圆相间环绕，将圆等分。每个分割的区域，各有重点，相对独立，又统一于主题纹饰的完整。
7 结语
齐家文化发现的七角星纹镜，距今已有4000多年的历史，同一时期，甚至更早的年代，中国的彩陶文化正处在辉煌巅峰阶段，铜镜中几何纹饰的艺术性远远落后于彩绘陶器的成就，更不能体现当时的几何水平，铜器时代之初，情况依然如此，到了春秋战国时期，铜镜的制作才赶上了时代的步伐。历经早期、流行、鼎盛、衰落，直到清代中晚期被玻璃镜取代，铜镜独立地沿袭着自己的发展演变轨迹，自成体系，它的延续性以及长久性是任何一件金属器物不可比拟的。所以，沿循铜镜和几何学演变发展的轨迹，以几何学的视角，通过几何基本元素在铜镜纹饰中展示出的关系，更易系统化地体会铜镜的独特魅力。当然，受限于制作工艺的特殊性，铜镜所反映的古代几何学成就，只是一个侧面，但实物资料的本身，无疑是极其珍贵的文化遗产。
关键词：铜镜;几何;纹饰;点缀;构图
1 铜镜和几何
铜镜是古人日常生活的必需品，它的正面平滑光泽，具有修饰容颜、整饬衣冠的实用功能，所谓“清治铜华以为镜，昭察衣服观容貌”①;铜镜也是极其精美的艺术品，制作工艺精湛，造型变化多端，图案构思巧妙，是我国古代文化遗产中的瑰宝。每一面铜镜，都蕴藏着丰富的社会生活、思想文化，同时它的制作工艺，特别是背部纹饰更与所处时代的几何学知识及其应用息息相关，“是当时社会情况的一个缩影”②。
在我国古代，几何学被称为“形学”，是一门古老的学科。甲骨文中，就已有了“规”“矩”二字，它们的象形意义表明，规是用来画圆的，矩是用来画方的。山东汉代画像石、画像砖以及新疆唐代帛画中都有伏羲手执规、女娲手执矩的画像，说明我们的祖先很早就认知了圆和方的概念。规和矩是最早的几何构图工具，只是具体时间还有点模糊，但可以肯定的是，“在新石器晚期，人们对几何图形已经有了一定的认识，如圆形、椭圆形、弧形等，圆形的屋顶以及陶器上非常匀称的同心圆花雕，都是借助一些工具才能完成，而这些工具可能就是最早的圆规”③。战国时代，墨子在理论上对于几何的基本概念和公式进行了论述，如“端，体之无厚而最前者也”“直，参也”“平，同高也”“方，柱隅四权也”“圆，一中同长也”。其中有些论述比西方几何学之父欧几里得还要早100多年。
几何学来源于生活，应用于生活。铜镜的铸造，要经过制范、浇铸、抛光等工序，其中制范是关键，匠师们经过长期的实践，在成熟的制陶工艺基础上，采用线条式、平雕式、浮雕式、透雕式等不同形式，刻制成各种泥模拼成任意等分刻度，使铜镜的制图和雕刻得以简便进行。这种实践和需求促进了几何学的发展，同样，几何学也赋予了铜镜独特的魅力。
几何学的美学意义在于它图形的美感，简洁明了是它完美的核心所在，被誉为西方现代艺术造型之父的塞尚说过，一切物体的形态，无论构造多么复杂，都可以概括为几种几何形体。圆和方是最基本的几何形体。商周以前，铜镜一般为圆形，方形铜镜出现较晚。在中国传统文化中，“天圆地方”的理念根深蒂固，宋玉在《大言賦》里写道“圆天为盖，方地为舆”，以圆方做天地的代称，圆中有方，方中有圆。人事上的经天纬地，必然要赋予圆和方更深的内涵。道法自然，讲究顺势循时，契合了圆的包容;儒尚秩序，讲究原则规矩，体现了方的端正。儒道的融会贯通是中国传统文化的基因，所以铜镜艺术最基本的几何要素是圆和方，这种选择有几何学的意义，也有人文学的意义。还需要说明的是，圆形的选择也是铜镜实用价值的体现，因为周长相等的封闭几何形状中，圆形的面积最大。唐代以后，铜镜的造型开始多样化，出现了菱形、葵形、亚字形、长方形、八角形、心形等样式，这些造型灵活自然有趣，又不失规范严谨，这正是几何形体的魅力所在。
铜镜背部纹饰中，几何图案纹饰出现得最早，除此之外，还有植物、动物、人物图像等纹饰以及文字铭纹，内容丰富多彩。几何形图案纹饰源于人们的日常生活，先人对日常所见之物，用几何图形的形式进行描述，是数学思维抽象化的产物。几何纹的数学定义是利用各种几何符号构成规则纹或不规则的几何图案。铜镜的几何形纹饰，正是通过点、线、面、圆来构成圆形、方形、三角形、四边形、平行四边形、梯形以及其他不规则的几何符号，有机组合，或对称或环绕或分列或交错或重叠，形成完整的背部纹饰。
2 最初的几何纹饰
1976年青海贵南马台齐家文化25号墓出土的七角星纹镜是我国发现最早的古铜镜（图1），它背饰中的几何纹饰也是铜镜中最早的几何纹饰。纹饰以粗直线为主，边缘圈内以三角纹折成七角星形图案，七角星角度不甚规则，角与角之间施以斜线线纹，线与线之间近似平行。齐家文化时期的铜镜出土不多，中国历史博物馆藏有一面重圈多角星纹镜，镜背三重弦纹将镜背分为内外两区，内为十三角星芒纹，外为十六角星芒纹，角间有三四条不等的平等斜线纹。这一时期几何纹的表现力还达不到同一时期彩绘陶器上的工艺水准，但直线、射线、三角、弦等几何元素以及镜背纹饰的构图都是在铜镜里的初始出现，意义十分重要。
3 几何纹饰的进一步表现
殷商铜镜沿袭齐家文化铜镜的造型，均为圆形，镜纽有弓形、半环形、长方形等多种，铜镜以光素无纹饰者居多，也有环形纹、短线纹、三角纹、叶脉纹、弧线纹等纹饰，纹饰以几何纹为主，艺术形态还不成熟，但几何图形以及线的垂直、平行，圆的等分、同心等几何纹饰有了进一步的表现。1934年安阳侯家庄1005号墓出土的平行几何纹镜（图2），圆形，弓形纽，纽外凸弦线将镜面隔为内外区，外区内有三十四条节状凸线将外圆均匀等分，内区有四组凸线，将中心圆均匀地分为四等份，每一组内有九条或十条长短不一的凸线，同组内凸线互相平行，又与相邻一组的凸线互为垂直，对角相对，形成了平行垂直、垂直平行的图纹，加上外区的节状凸线将外圆等分，与中心圆面的直线形成了鲜明对比，取得了既对称均匀又灵活变化的艺术效果。
4 几何纹饰的成熟
春秋战国以后，铜镜进入流行期，几何纹的表现，由稚嫩走向成熟，已经赶上了青铜器发展的步伐。图饰中，点与点、线与线、面与面的相互重合排列，以及点与线、线与面、面与点之间的相互渗合运用，几何学的应用和表现得到充分释放。 4.1 规范的几何形体
铜镜的纽座出现之初，就已经是很规整的圆形和方形，各类纹饰中的地纹也大多是方形，和前期稚嫩的图形比起来规范得多。辽宁朝阳十二台营子1号墓出土的一面战国几何纹缘多纽镜（图3），整个镜背没有纹饰，镜缘处有几何纹饰两周，几何纹全部是由多种几何图形排列组合而成，几何图形有长方形、梯形、直角三角形、平行四边形、曲尺形等，每一个几何体规范标准，排列有序。另外，利用主纹饰相互排列组合出现的几何图形也很多，比如，利用两个方形对角相交形成方形纽座，还有，这一时期流行的山字镜，无论是三山、四山，甚至更多，“山”字也都不是随意排列的，而是按不同的几何方位布置的，连接各山字底边的延长线，可以形成各种不同的几何形体，这种形式比比皆是，此不赘述。
4.2 精确的角度
湖南长沙沙湖桥第25号楚墓出土的折叠式菱纹镜（图4），在地纹之上有宽带条组成的菱形纹，它们将镜背分成九个区域，其中八个菱区均匀地分布在中心菱区周围，它们以中心菱区为中心形成对称图形。菱形的内角有两种：经过测量，一种为标准的60度角，另一种是标准的120度角。辽宁朝阳十二台营子3号墓出土的三角勾连雷纹多纽镜（图5），三个桥型纽并列于镜背之上，地纹为细密的平行短线，底纹之上为宽条三角勾连纹，边缘有一周三角形、曲尺形、直线、斜线相间组成的几何形纹饰，其宽条带以45度和90度角曲折勾连。几何角有很多种，铜镜几何纹的几何角是在各种线的相交中自然形成的，但上面这几个角很关键，是几何角的基准角，显然是有意为之，精确的角度对几何作图发挥着关键作用。
4.3 精准的等分圆
1963年在湖北鄂城出土的一面六朝时期荣氏神人禽兽画像镜，镜有刻铭“番琚镜佪二尺一寸”。“佪”即周长，可见古人对于几何圆的重视。圆形是最基本的几何图形之一，也是铜镜最早和最基本的形制，圓的几何等分是铜镜制作及工艺美术的关键。这一时期的连弧纹镜体现了人们对于等分圆的认识和探索。上海博物馆藏的一面连弧纹镜属于七连弧（图6），三弦纽，圆纽座，外围凹面形带及绹纹一周，地纹为云雷纹，排列整齐，地纹之上是凹面宽带所围成的七内向连弧纹，七外角直达镜边，将圆形的镜缘很精准的平均分割为七等份。等分的夹角是整数，容易把握，而约51.4度的七等份的夹角就十分不易了，按照当时的几何理论程度，“最简单易行且行之有效的办法，就是用调节圆规口径大小的方法，直接在圆周线上找出七等分交点后，从纽中心点对着圆周线上的7个交点向外分别引线出来，一次性定位”⑤。这面七连弧纹镜显示了当时高超的几何制图水准，也折射出我们的祖先在几何学方面的贡献。南北朝时期祖冲之圆周率的成就领先了世界一千年，这些成果的取得不是偶然的，无论是从《考工地》里“古率”的提出、还是魏晋刘徽“割圆术”的开创，我们的古代科学家们在用自己独特的方法孜孜不倦，一步一步，最终达到世界高度。
5 几何的纹饰点缀
汉代以后，铜镜几何纹饰逐渐从主纹饰退居配饰地位，它的作用更多体现在格式化、美术化的点缀。
5.1 几何图形的格式化
锦纹，又称锦地纹，常用作地纹，有锦上添花之意，是铜镜常见的纹饰，图案常以各种图形连续构成，比较流行的有卍字纹、连钱纹和龟背纹。利用两条折线的交叉对称形成的卍字纹，象征富贵绵长，永不断头;连钱纹则是利用半径相同的圆，以四分之一弧线相互切割，每一个相对独立的圆圈中间形成一个弧形方格，形似方孔圆寰钱币，圆环相连，连续不断，简洁富有，意趣盎然;祈福长寿的龟背纹又称灵锁纹或锁纹，其实是六角形连续状的几何纹样。唐镜里还出现了方胜纹镜，方胜纹是通过两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，是古代妇女常用的装饰纹样。经过长期发展演变，方胜纹以及卍字纹、连钱纹和龟背纹等锦纹的几何图形已经格式化，成为中国汉族纹饰中蕴含吉祥寓意的传统纹饰图案之一。
5.2 几何图形的美术化
唐宋以后的花卉镜、禽鸟镜，主纹饰的外形常常被处理成几何形轮廓，成为美术化的几何图形。宋代的一面四凫镜（图7），方形，圆纽，镜背只有四凫，布局却精心独创，四凫置于方形四个内角，羽翼呈几何中的扇形，从斜角方向看四凫位于方形两条对角线上，对称配置，正方形两条对角线垂直相等，四凫一翅在中心形成一个平行四边形，正面看是一个菱形。此镜隐藏有方形、平行四边形、扇形等几何元素，包含有对角线知识的实践应用，是美术与几何的完美融合。
6 几何的构图应用
铜镜之所以被称为精美的艺术品，主要在于它背面纹饰的艺术性，除了纹饰本身的精美之外，如何于方寸之间，将纹饰的各个元素分配排列，使整个纹饰传达的艺术性和人们的审美情趣得以完整准确的表达，合理的构图就成了关键，这也是几何构图的魅力所在。
一面铜镜，根据其背面纹饰情况，一般划分为纽、纽座、内区、中区、外区、圈带、铭带、边缘等部分，分别用方形或者同心圆式的界限隔开，这是铜镜背部构成的基本框架，也是几何分割的简单应用。中心区主纹饰的几何构图是关键，也最为复杂，“中国铜镜的纹饰构图，在战国秦汉时期一直以向心式构图为主，轴对称式构图处于次要地位。到了唐宋时期，基于人物画、花鸟画、山水画等绘画布局的构图方式逐渐兴起，与向心式构图、轴对称式构图鼎足而立”③。但无论哪种方式，都自觉贯穿着几何知识的基本原理，特别是圆形和方形的等分和对称性。
利用基本的几何形体进行分区布局是常见的一种模式，出现很早，沿用的时间也很长。1976年殷墟妇好墓出土的叶脉纹镜（图8），镜背饰三周凸弦纹，第一周弦纹向外射出十字形宽条幅，镜背被均匀地分成四个区域，细节处理不很规范，但也算是十字形构图的尝试。内蒙古昭乌达盟出土的辽代四蝶连钱锦纹镜（图9），主题纹饰突出的是四蝶，而这面镜最大的特色是背饰区的几何分割，圆形、圆纽、圆形的连珠纹纽座，纽座外是一个方形框，框外是两个由连珠纹形成的同心圆，其中内圆周做方形框的外切圆，外圆周外切另一菱形框，外圈圆又成为菱形的内切圆，菱形的四个内角各置一蝴蝶。菱形之外还有两个有连珠纹组成的菱形框，整个镜背，圆内有方，方外有圆，内接外切，端正自然。这是一种规范的几何图形分割。 西汉末期到东汉初期流行的博局镜，又名规矩镜，最能体现几何构图严谨性。陕西长安出土西汉中叶日光博局对称连叠草叶镜（图10），圆形，连峰纽，纽外为双线正方形，正方形四个对角，每两点连线形成两条对角线，两条对角线向外延长线置四枚乳钉和双线V形纹，四枚乳钉与四个对角之间距离相等，而且双线V形纹也与四个乳钉距离分别相等，正方形四边的中点处伸出双线T形纹，四个双线T形纹两两平行对称，构成博局镜中四个方向即上北下南左西右东，四个双线V形构成八方即东北东南西北西南，它们组合起来就是博局镜的四区八方。L纹在T形纹的延长线，T形纹与L形纹相对。两个纹饰双线的外线又构成一个长方形，长方形内又置一小长方形，双线V形纹和双线L形纹既有在博局镜中表明方向的作用，又巧妙地将圆等分，鏡缘边为十六连弧。整个镜背呈现出“米”字形的结构，几何的规矩性、对称性在铜镜中表现得淋漓尽致。
东汉晚期的直行铭文镜，以纽的轴线为界，两条竖线将镜背分为左右中三部分，稍晚流行的重列神兽镜，更是打破了传统的以镜纽为中心的构图方式，而是根据纹饰内容的不同，利用上下平行线分镜背为三段、五段等，属于平行式的几何构图。六朝时期的君宜三段区段式神人镜（图11），圆形，圆纽，圆纽座，一个单线圆将镜分为内外两区，两条夹圆形纽的平行线将圆分为三段，上段是中部为一神龟，神龟顶起以华盖，华盖的杆似乎与平行线垂直，将上部区一分为二，右侧一神像左右各一侍。华盖的杆左侧四个侍从，中段也就是两条平行线和圆纽座外之间各置两座大的主神，头均朝纽座。下段为两神相对，主纹外一双线同心圆，双线同心圆与单线圆之间有十一个长方形和十一个半圆相间环绕，将圆等分。每个分割的区域，各有重点，相对独立，又统一于主题纹饰的完整。
7 结语
齐家文化发现的七角星纹镜，距今已有4000多年的历史，同一时期，甚至更早的年代，中国的彩陶文化正处在辉煌巅峰阶段，铜镜中几何纹饰的艺术性远远落后于彩绘陶器的成就，更不能体现当时的几何水平，铜器时代之初，情况依然如此，到了春秋战国时期，铜镜的制作才赶上了时代的步伐。历经早期、流行、鼎盛、衰落，直到清代中晚期被玻璃镜取代，铜镜独立地沿袭着自己的发展演变轨迹，自成体系，它的延续性以及长久性是任何一件金属器物不可比拟的。所以，沿循铜镜和几何学演变发展的轨迹，以几何学的视角，通过几何基本元素在铜镜纹饰中展示出的关系，更易系统化地体会铜镜的独特魅力。当然，受限于制作工艺的特殊性，铜镜所反映的古代几何学成就，只是一个侧面，但实物资料的本身，无疑是极其珍贵的文化遗产。