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【摘要】本文主要讨论古典概型中的取球、分球入盒等问题，给出它们的一般解法。并通过古典概型问题的性质和建立数学模型的方法，从等可能性和对等性两方面对古典概型问题进行系统的分析，从而归纳总结出多种解决古典概型问题的方法和解题技巧。
【关键词】古典概型；摸球问题；分球入盒问题；数学模型；等可能性；对等性
1、引言
概率论发展的初期主要研究的对象是等可能性的概型，也就是古典概型。从其是初期主要研究的内容，可说明它是概率论的重要组成部分，也体现了古典概型在实际生活中的客观价值。本文通过对古典概型中的摸球、分球入盒和随机取数等问题建立数学模型，并进行系统的分析和归纳。
2、古典概型的相关知识点
2.1古典概型有两个特征：
1）等可能性；2）有限型；
古典概型有两个原理：
1）加法原理；2）乘法原理；
古典概型有两个计算公式：
1）排列计算；2）组合计算公式。
2.2古典概率的一般性质：
1）非负性：0≤P（A）≤1；
2）规范性：P（Ω）=1；
3）可加性：若AB=ø，则P（AB）=P（A）+P（B），能推广到n个事件；
4）P（ ）=1－P（A）。
3、利用问题的性质解古典概型问题
3.1通过建立模型研究解题方法
3.1.1袋中取球问题
设袋中有N个球，称为总体，现从总体中一个一个随机摸球。
（1）随机同时从袋中取若干球
其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及球的先后顺序，计算基本事件数时只需考虑组合数即可。
（2）随机从袋中不放回取球若干次
指随机地从袋中每次取一个球，取后不再放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序的，所考虑的事件也会涉及取球的顺序，所以要用排列数计算基本事件数。因此又分为：不放回按序摸球和不放回不按序摸球。
（3）随机从袋中有放回地取球若干次
指随机地从袋中每次只取一个球，然后依然放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程事实上也是按顺序取的，而且每个球都有被重复取出的可能，所考虑的事件依然会涉及取球的顺序，所以要用重复排列计算基本事件数。
例1：一袋内装有3个红乒乓球2个黑乒乓球，每次从中任取一乒乓球，连取3次每次取后不放回，问最后取出的球为红乒乓球的概率？若从中不放回任取3乒乓球，问恰有2个红乒乓球1个黑乒乓球的概率。
解：（1）不放回按序摸：设 ，基本事件总数 ，A所含基本事件数 ，故 （2）不放回不按序摸： ，基本事件总数 ，B所含基本事件数 ，故
例2：在体育比赛中，一局定胜负，比赛双方获胜的概率均为二分之一，但是由于实验的次数太少，偶然因素较多，不能较好地展示双方实力，故这种赛制难以使参赛者信服.所以比赛组织者普遍采用的“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法.那这种比赛度公平吗?
解：若是三局二胜：甲获胜只有“甲甲”或“甲乙甲”或“乙甲甲”，这三个事件都是互斥的。故P1=p2+2p2（1-p）。若是五局三胜：甲获胜至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局。故 P2=p3+ p3（1-p）+ p3（1-p）2=p3（10-15p+6p2）。
例3：4人玩三国杀，随机抽取身份牌，包括1张主公，1张忠臣，1张反贼和1张内奸.主公和忠臣的任务是剿灭反贼，清除内奸；反贼的任务是推翻主公.内奸要在场上存在除主公以外的其他人物之时先清除其他人物，最后单挑主公.假设每个人抓到任一张身份牌的可能性相同.小白和小新是好朋友，求游戏中他二人不会互相攻击的概率.
解：只有当小白和小新分别是主公和忠臣或忠臣和主公时，他们才可能不相互攻击。而每人抓到任一张身份牌的可能性相同，都是1/4。所以二人不互相攻击的概率为（1/4）*（1/4）*2=1/8
3.1.2放球入箱问题
这里，球有可辨和不可辨之分，箱子有最多可容纳一个和任意个球之分。因此，有四种不同的分配方式：（1）每个箱子可容纳任意个球，且球可辨；（2）每个箱子可容纳任意个球，且球不可辨；（3）每个箱子最多只能容纳一个球，且球可辨；（4）每个箱子最多只能容纳一个球，且球不可辨。
例4：把n个乒乓球随机地分到N（n≤N）个箱中，就上述四种不同的分配方式计算下列两事件的概率。其中A=“指定的n个箱中各有一乒乓球”；B=“恰有n个箱中各有一乒乓球”。
解：（1）每箱可容纳任意个乒乓球且球可辨。显然 ，
（2）每箱可容纳任意个乒乓球且球不可辨。有 ，（3）每箱只能容纳一个乒乓球且球可辨。有 ，
（4）每箱只能容纳一个乒乓球且球不可辨。有 ，
例5：在某实验选课系统中：小组5个人是一个专业的，能上实验课的时间相同。但上的实验课有N组，求五人选了同一组的概率？
解：我们选每一组的概率相同。把课比作箱子，人比做球，人选课就是放球入箱。所以5人选了同一组的概率为：1/N4。
3.2对称在古典概型计算中的应用
例6：盒子中有1个黑球和9个白球，除颜色不同外，其他方面没有区别。现由10个人依次摸出一个球，设第1个人摸出的球是黑球的概率为P1，设第10个人摸出的球是黑球的概率为P10，这种情况下P1和P10的关系是什么?
解：题中第1个人和第10个人是有顺序的，但是球是没有顺序的。固定第1个人和第10个人，让球排列，则是对称的。所以P1= P10。由于第 个人取到黑球与后面的人取什么球没有关系，同理可得： 。又由于 ，所以 。
4、结语
袋中取球、排序、放球入箱等问题是古典概型的主要数学模型。掌握其分析方法，就可以解决具体的古典概型问题。而这三种古典概率问题是从大量的随机现象中筛选出来的理想化概率模型，富有直观性和典型性，如果能灵活应用，则对思考和计算概率问题有很大的益处。
参考文献：
【1】曾宏伟 《古典概型的概率计算方法与应用》 第15卷第4期 信阳农业高等专科学校学报
【2】刘丽娜 《关于古典概型的几点思考》 2008年第12期第24卷 吉林省教育学院学报
【3】赵辉 《古典概型的模型归纳和计算方法》 2003年第6期第2卷 安徽电子信息职业技术学院学报
【4】张国俭 《对等性在古典概型中的应用》 2009年6月第26卷第3期 晋中学院学报
【5】毛凤梅 《古典概型中摸球模型问题的解法探讨》 2004年5期平顶山师专学报。
【关键词】古典概型；摸球问题；分球入盒问题；数学模型；等可能性；对等性
1、引言
概率论发展的初期主要研究的对象是等可能性的概型，也就是古典概型。从其是初期主要研究的内容，可说明它是概率论的重要组成部分，也体现了古典概型在实际生活中的客观价值。本文通过对古典概型中的摸球、分球入盒和随机取数等问题建立数学模型，并进行系统的分析和归纳。
2、古典概型的相关知识点
2.1古典概型有两个特征：
1）等可能性；2）有限型；
古典概型有两个原理：
1）加法原理；2）乘法原理；
古典概型有两个计算公式：
1）排列计算；2）组合计算公式。
2.2古典概率的一般性质：
1）非负性：0≤P（A）≤1；
2）规范性：P（Ω）=1；
3）可加性：若AB=ø，则P（AB）=P（A）+P（B），能推广到n个事件；
4）P（ ）=1－P（A）。
3、利用问题的性质解古典概型问题
3.1通过建立模型研究解题方法
3.1.1袋中取球问题
设袋中有N个球，称为总体，现从总体中一个一个随机摸球。
（1）随机同时从袋中取若干球
其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及球的先后顺序，计算基本事件数时只需考虑组合数即可。
（2）随机从袋中不放回取球若干次
指随机地从袋中每次取一个球，取后不再放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序的，所考虑的事件也会涉及取球的顺序，所以要用排列数计算基本事件数。因此又分为：不放回按序摸球和不放回不按序摸球。
（3）随机从袋中有放回地取球若干次
指随机地从袋中每次只取一个球，然后依然放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程事实上也是按顺序取的，而且每个球都有被重复取出的可能，所考虑的事件依然会涉及取球的顺序，所以要用重复排列计算基本事件数。
例1：一袋内装有3个红乒乓球2个黑乒乓球，每次从中任取一乒乓球，连取3次每次取后不放回，问最后取出的球为红乒乓球的概率？若从中不放回任取3乒乓球，问恰有2个红乒乓球1个黑乒乓球的概率。
解：（1）不放回按序摸：设 ，基本事件总数 ，A所含基本事件数 ，故 （2）不放回不按序摸： ，基本事件总数 ，B所含基本事件数 ，故
例2：在体育比赛中，一局定胜负，比赛双方获胜的概率均为二分之一，但是由于实验的次数太少，偶然因素较多，不能较好地展示双方实力，故这种赛制难以使参赛者信服.所以比赛组织者普遍采用的“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法.那这种比赛度公平吗?
解：若是三局二胜：甲获胜只有“甲甲”或“甲乙甲”或“乙甲甲”，这三个事件都是互斥的。故P1=p2+2p2（1-p）。若是五局三胜：甲获胜至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局。故 P2=p3+ p3（1-p）+ p3（1-p）2=p3（10-15p+6p2）。
例3：4人玩三国杀，随机抽取身份牌，包括1张主公，1张忠臣，1张反贼和1张内奸.主公和忠臣的任务是剿灭反贼，清除内奸；反贼的任务是推翻主公.内奸要在场上存在除主公以外的其他人物之时先清除其他人物，最后单挑主公.假设每个人抓到任一张身份牌的可能性相同.小白和小新是好朋友，求游戏中他二人不会互相攻击的概率.
解：只有当小白和小新分别是主公和忠臣或忠臣和主公时，他们才可能不相互攻击。而每人抓到任一张身份牌的可能性相同，都是1/4。所以二人不互相攻击的概率为（1/4）*（1/4）*2=1/8
3.1.2放球入箱问题
这里，球有可辨和不可辨之分，箱子有最多可容纳一个和任意个球之分。因此，有四种不同的分配方式：（1）每个箱子可容纳任意个球，且球可辨；（2）每个箱子可容纳任意个球，且球不可辨；（3）每个箱子最多只能容纳一个球，且球可辨；（4）每个箱子最多只能容纳一个球，且球不可辨。
例4：把n个乒乓球随机地分到N（n≤N）个箱中，就上述四种不同的分配方式计算下列两事件的概率。其中A=“指定的n个箱中各有一乒乓球”；B=“恰有n个箱中各有一乒乓球”。
解：（1）每箱可容纳任意个乒乓球且球可辨。显然 ，
（2）每箱可容纳任意个乒乓球且球不可辨。有 ，（3）每箱只能容纳一个乒乓球且球可辨。有 ，
（4）每箱只能容纳一个乒乓球且球不可辨。有 ，
例5：在某实验选课系统中：小组5个人是一个专业的，能上实验课的时间相同。但上的实验课有N组，求五人选了同一组的概率？
解：我们选每一组的概率相同。把课比作箱子，人比做球，人选课就是放球入箱。所以5人选了同一组的概率为：1/N4。
3.2对称在古典概型计算中的应用
例6：盒子中有1个黑球和9个白球，除颜色不同外，其他方面没有区别。现由10个人依次摸出一个球，设第1个人摸出的球是黑球的概率为P1，设第10个人摸出的球是黑球的概率为P10，这种情况下P1和P10的关系是什么?
解：题中第1个人和第10个人是有顺序的，但是球是没有顺序的。固定第1个人和第10个人，让球排列，则是对称的。所以P1= P10。由于第 个人取到黑球与后面的人取什么球没有关系，同理可得： 。又由于 ，所以 。
4、结语
袋中取球、排序、放球入箱等问题是古典概型的主要数学模型。掌握其分析方法，就可以解决具体的古典概型问题。而这三种古典概率问题是从大量的随机现象中筛选出来的理想化概率模型，富有直观性和典型性，如果能灵活应用，则对思考和计算概率问题有很大的益处。
参考文献：
【1】曾宏伟 《古典概型的概率计算方法与应用》 第15卷第4期 信阳农业高等专科学校学报
【2】刘丽娜 《关于古典概型的几点思考》 2008年第12期第24卷 吉林省教育学院学报
【3】赵辉 《古典概型的模型归纳和计算方法》 2003年第6期第2卷 安徽电子信息职业技术学院学报
【4】张国俭 《对等性在古典概型中的应用》 2009年6月第26卷第3期 晋中学院学报
【5】毛凤梅 《古典概型中摸球模型问题的解法探讨》 2004年5期平顶山师专学报。