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摘要：在教学中要重视教材中几何例题的教学功能，通过探究、明确、深化和化归等方法，可以让几何证法得到巩固和提升，也让数学核心素养在数学例题教学中得到落地。
关键词：教材例题；生长性；通性通法；核心素养
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2021）14-096
一、例题呈现
（人教版教材九年級上册第二十四章“圆”第2节“点和圆、直线和圆的位置关系”例1）如图1，ΔABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与☉O相切于点D。求证：AC是☉O的切线。
证明：
如图2，过点O作OE⊥AC于点E ，连结OD ， OA。
∵AB与☉O相切于点D ，
∴AB⊥OD。
∵ΔABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线。
∴OE = OD ，即OE是☉O的半径。
∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE ，
∴AC是☉O的切线。
二、功能分析
1.体现知识的生长性
本例题的图形结构比较简单，包含有等腰三角形和圆两种基本图形，但是本例题能促进学生模型思想的进一步形成，特别是辅助线的合理添加以及直角的转化都是新思维的生长点。《义务教育数学课程标准》（2011年版）中指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性。[1]例题教学中要让学生经历观察、探究、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，探知切线判定和性质定理的运用。
2.挖掘知识的通性通法
本例题在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用。因此，它是几何学习中必不可少的知识工具。苏联数学教育家奥加涅说过：“必须重视，很多习题潜藏着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性。”[2]本例题是在学习了直线与圆的位置关系的基础上，进一步探究直线和圆相切的规律而做准备的，在教学中要归纳证明圆与直线相切的方法，揭示知识的通性通法。
3.渗透数学核心素养
相切是直线与圆的位置关系中最特殊、最重要和运用最广的位置关系。本例题中涉及切线的证明是历年九年级期末考试、中考考题类型之一。在教学中要让学生充分感受圆的切线是平面内连接直线和曲线的重要纽带，是培养和落地学生几何直观和逻辑推理核心素养的重要素材。
三、教学实施
1.解析题目，探究证法
师生通过对题目的逐步剖析，在回顾旧知识的基础上，通过观察、对比等方式，探究题目的证明方法。
师：同学们通过阅读题目，是否找到题目中的已知条件？
生1： AB = AC ，点O为底边的中点。
生2： AB与☉O相切。
师：题目要求证什么？
生3：题目要求证AC是☉O的切线。
师：切线有几种判定的方法？
生4：3种。
生5：定义法、数量关系法和判定定理。
师：那同学们结合已知条件，想一想用哪种判定方法会好点？
生：……（学生没人回答，陷入了思考当中。）
生6：圆与直线找不到交点。
师：由图很难确定AC与☉O的交点，但大家可以构造这个点。
生7：过点O做AC的垂线OF。
师（边巡视边激励）：很不错，大家可以结合AB与☉O相切这个已知条件，下一步如何继续？
教学说明：在这个教学环节中，通过师生的互动，既深化对题目的分析，也逐步找到解决题目的突破口，培养了学生分析问题、解决问题的能力，提升了学生几何直观的数学素养。
2.巧添辅助线，明确证法
生7：连结OD ，可以得到∠ADO = 900。
生8：再连结AO ，利用角平分线性质可得OE = OD即可得结论。
生9：也可以直接证明ΔOBC与ΔOCE全等，得到OE = OD即可得结论。
教学说明：通过分析和鼓励，学生基本掌握添加辅助线的方法，熟练掌握切线的判定定理和性质定理的应用。学生这一系列分析操作行为，其实就是逻辑推理数学素养的体现。个别学生还发现了与教材不一样的解决方法，拓宽了自己的思路。
3.归纳小结，深化证法
师：那同学们在完成这道例题的过程中，有什么收获或体会呢？
生10：要证明圆的切线，关键就是确定直线与圆的公共点。
生11：不能确定的时候，可以过圆心作直线的垂线，证明半径和垂线段相等就行了。
生12：如果确定直线与圆的公共点，则可以构造这个点与圆心的线段，证明线段垂直与直线即可。
生13：如果知道是切线，则直接连接圆心与半径，得到半径垂直与切线这个结论。
生14：证明垂直，可以利用题目中存在的直角，比较容易找到等量关系。
师：大家体会都很不错，简单来说就是以下“18字”规律：知交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径。 教学说明：通过谈体会环节，加深学生对切线的判定定理和性质定理的理解，培养学生数学语言的表达能力和概括能力，促进学生思维能力的发展。通过一系列数学活动，让学生体会切线的常规证明思路，体会数学的通性通法，体会从特殊到一般的研究方法。
4.例题迁移，化归证法
通过将例题稍加改进，运用例题中出现的方法，结合以前学过的知识，添加适当的辅助线，发现一些特殊线与圆的关系，从而找到解决问题的方法。
如图3，在ΔABC中， AB = AC ，以AB为直径的☉O与BC相交于点D ，DE⊥AC ，垂足为E。求证： DE是☉O的切线。
师：刚才通过大家的讨论，我们得出了证明圆的切线一般的规律，我们现在将图形变化一下，大家是否可以得出结论？
生15：如图3，连接OD ，通过证明OD⊥DE即可。
生16：对，但还需要连接AD ，通过利用AB为☉O的直径得到∠ADB =900，进而由等腰三角形的三线合一得出点D为BC的中点，最后由中位线性质得到OD/ / AC。
师：好，大家都分析的不错。同学们可以将刚才的分析转化为证明过程写下来。
教学说明：教学中教师引导学生通过将知识迁移，利用联想、类比的方法思考问题，从相同角度或不同角度找到问题的突破口，从而激发学生的求知欲，体会化归的数学思想。
结语：史宁中教授说过：数学学习的最终目标，是让学习者会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是建模。[3]通过本例题的教学，学生在添加辅助线的过程中培养抽象思维和化归、建模思想，在分析和书写证明过程中提升推理能力，最终让核心素养在课堂中落地生根。
参考文献：
[1]中华人民共和國教育部著.《义务教育数学课程标准（2011年版）》[M].北京师范大学出版社，2012年1月版.
[2]朱胜强.对一道解析几何例题的探究教学[J].《数学通报》，2007（6）：47.
[3]史宁中.《数学基本思想18讲》[M].北京师范大学出版社，2016年10月版.
作者简介：陈述佗，男，汉，1984年4月生，广东中山人，本科，初中数学一级教师，研究方向：教材研读和课堂教学。
（作者单位：广东省中山市沙栏初级中学 528445）
关键词：教材例题；生长性；通性通法；核心素养
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2021）14-096
一、例题呈现
（人教版教材九年級上册第二十四章“圆”第2节“点和圆、直线和圆的位置关系”例1）如图1，ΔABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与☉O相切于点D。求证：AC是☉O的切线。
证明：
如图2，过点O作OE⊥AC于点E ，连结OD ， OA。
∵AB与☉O相切于点D ，
∴AB⊥OD。
∵ΔABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线。
∴OE = OD ，即OE是☉O的半径。
∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE ，
∴AC是☉O的切线。
二、功能分析
1.体现知识的生长性
本例题的图形结构比较简单，包含有等腰三角形和圆两种基本图形，但是本例题能促进学生模型思想的进一步形成，特别是辅助线的合理添加以及直角的转化都是新思维的生长点。《义务教育数学课程标准》（2011年版）中指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性。[1]例题教学中要让学生经历观察、探究、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，探知切线判定和性质定理的运用。
2.挖掘知识的通性通法
本例题在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用。因此，它是几何学习中必不可少的知识工具。苏联数学教育家奥加涅说过：“必须重视，很多习题潜藏着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性。”[2]本例题是在学习了直线与圆的位置关系的基础上，进一步探究直线和圆相切的规律而做准备的，在教学中要归纳证明圆与直线相切的方法，揭示知识的通性通法。
3.渗透数学核心素养
相切是直线与圆的位置关系中最特殊、最重要和运用最广的位置关系。本例题中涉及切线的证明是历年九年级期末考试、中考考题类型之一。在教学中要让学生充分感受圆的切线是平面内连接直线和曲线的重要纽带，是培养和落地学生几何直观和逻辑推理核心素养的重要素材。
三、教学实施
1.解析题目，探究证法
师生通过对题目的逐步剖析，在回顾旧知识的基础上，通过观察、对比等方式，探究题目的证明方法。
师：同学们通过阅读题目，是否找到题目中的已知条件？
生1： AB = AC ，点O为底边的中点。
生2： AB与☉O相切。
师：题目要求证什么？
生3：题目要求证AC是☉O的切线。
师：切线有几种判定的方法？
生4：3种。
生5：定义法、数量关系法和判定定理。
师：那同学们结合已知条件，想一想用哪种判定方法会好点？
生：……（学生没人回答，陷入了思考当中。）
生6：圆与直线找不到交点。
师：由图很难确定AC与☉O的交点，但大家可以构造这个点。
生7：过点O做AC的垂线OF。
师（边巡视边激励）：很不错，大家可以结合AB与☉O相切这个已知条件，下一步如何继续？
教学说明：在这个教学环节中，通过师生的互动，既深化对题目的分析，也逐步找到解决题目的突破口，培养了学生分析问题、解决问题的能力，提升了学生几何直观的数学素养。
2.巧添辅助线，明确证法
生7：连结OD ，可以得到∠ADO = 900。
生8：再连结AO ，利用角平分线性质可得OE = OD即可得结论。
生9：也可以直接证明ΔOBC与ΔOCE全等，得到OE = OD即可得结论。
教学说明：通过分析和鼓励，学生基本掌握添加辅助线的方法，熟练掌握切线的判定定理和性质定理的应用。学生这一系列分析操作行为，其实就是逻辑推理数学素养的体现。个别学生还发现了与教材不一样的解决方法，拓宽了自己的思路。
3.归纳小结，深化证法
师：那同学们在完成这道例题的过程中，有什么收获或体会呢？
生10：要证明圆的切线，关键就是确定直线与圆的公共点。
生11：不能确定的时候，可以过圆心作直线的垂线，证明半径和垂线段相等就行了。
生12：如果确定直线与圆的公共点，则可以构造这个点与圆心的线段，证明线段垂直与直线即可。
生13：如果知道是切线，则直接连接圆心与半径，得到半径垂直与切线这个结论。
生14：证明垂直，可以利用题目中存在的直角，比较容易找到等量关系。
师：大家体会都很不错，简单来说就是以下“18字”规律：知交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径。 教学说明：通过谈体会环节，加深学生对切线的判定定理和性质定理的理解，培养学生数学语言的表达能力和概括能力，促进学生思维能力的发展。通过一系列数学活动，让学生体会切线的常规证明思路，体会数学的通性通法，体会从特殊到一般的研究方法。
4.例题迁移，化归证法
通过将例题稍加改进，运用例题中出现的方法，结合以前学过的知识，添加适当的辅助线，发现一些特殊线与圆的关系，从而找到解决问题的方法。
如图3，在ΔABC中， AB = AC ，以AB为直径的☉O与BC相交于点D ，DE⊥AC ，垂足为E。求证： DE是☉O的切线。
师：刚才通过大家的讨论，我们得出了证明圆的切线一般的规律，我们现在将图形变化一下，大家是否可以得出结论？
生15：如图3，连接OD ，通过证明OD⊥DE即可。
生16：对，但还需要连接AD ，通过利用AB为☉O的直径得到∠ADB =900，进而由等腰三角形的三线合一得出点D为BC的中点，最后由中位线性质得到OD/ / AC。
师：好，大家都分析的不错。同学们可以将刚才的分析转化为证明过程写下来。
教学说明：教学中教师引导学生通过将知识迁移，利用联想、类比的方法思考问题，从相同角度或不同角度找到问题的突破口，从而激发学生的求知欲，体会化归的数学思想。
结语：史宁中教授说过：数学学习的最终目标，是让学习者会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是建模。[3]通过本例题的教学，学生在添加辅助线的过程中培养抽象思维和化归、建模思想，在分析和书写证明过程中提升推理能力，最终让核心素养在课堂中落地生根。
参考文献：
[1]中华人民共和國教育部著.《义务教育数学课程标准（2011年版）》[M].北京师范大学出版社，2012年1月版.
[2]朱胜强.对一道解析几何例题的探究教学[J].《数学通报》，2007（6）：47.
[3]史宁中.《数学基本思想18讲》[M].北京师范大学出版社，2016年10月版.
作者简介：陈述佗，男，汉，1984年4月生，广东中山人，本科，初中数学一级教师，研究方向：教材研读和课堂教学。
（作者单位：广东省中山市沙栏初级中学 528445）