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摘 要：函数是中学数学的重要内容，也是贯彻在中学数学中的一条主线，更是教师教学和学生学习的难点. 本
文通过具体的函数概念的教学片段的展现和分析，充分体现了发挥教师学生的双主作用、钻研教材、关注主体等在优化课堂、发展学生思维、培养学生能力、构建有效课堂等方面的重要作用.
关键词：概念教学；主动思考；有效课堂
函数是中学数学的主要内容之一，函数思想作为基本的数学思想，贯穿于中学数学教学的始终. 那么，我们应该怎样从函数概念的重要性的角度重视此概念的教学，在具体的教学过程中又如何实施对函数概念的教学？笔者于教学中进行了一些思考和实践，在此谈谈心得.
创设问题——激发学生主动学习兴趣
问题1：同学们在初中已经学过“函数”，请你举几个函数的例子.
在学生所列举例子都是解析式的情况下，教师可继续发问：
问题2：函数关系都是可以用解析式表示的吗？
设计意图：通过具体例子，不仅能提高学生主动学习的兴趣，达到激活学生原有知识的目的；同时从中创设的问题2引发了学生的认知冲突，让学生回顾初中学习过的函数概念，把握内涵. 教师根据所举例子的具体情况，引导学生列举分别用解析式、图象法、列表法表示函数的对应关系，为下一步用集合语言来描述函数作好铺垫，起着承上启下的作用.
确定问题——引导学生主动观察思考
问题3：一物体从静止开始从490米的高空下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2.
教师：你能得出物体下落5秒、10秒、20秒时下落的距离吗？其中时间x的变化范围是什么？物体下落的距离y的变化范围是什么？
学生：物体下落时间x的变化范围是数集A=｛x0≤x≤10｝，下落的距离y的变化范围是数集B=｛y0≤y≤490｝.
教师：A与B之间有关系吗?
学生：我觉得应该有一种对应关系.
教师：对！从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间x按照对应关系y=4.9x2，在数集B中是否都有唯一确定的下落距离y和它对应？
学生：是！
问题4：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示. 你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？
人口数单位：百万
教师：年份的变化范围是多少？人口数的变化范围是多少？
……
问题5：如图1为某市24小时内的气温变化图.
图1
教师：时间t与气温θ的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？ 如何用集合与对应的语言来描述这种关系？
……
设计意图：在这里精选与本节课主题密切相关的三个实际问题，通过集合的观点直接引出函数的定义，这就给学生创造了主动观察、思考的条件和空间，充分体现运用教材的新课程理念.对于这三个问题，教师主要引导和组织学生观察和思考，不仅让学生分别体会到了用解析式刻画变量之间的对应关系，用图象刻画变量之间的对应、关系，用表格刻画变量之间的对应关系和初步感知了函、数中蕴涵着集合与对应关系的属性，而且激活了学生的思维，调动了学习的主动性.
提炼问题——引导学生主动合作交流
教师：以上三个实例有什么不同点和共同点？
学生活动：先自主探究，再分小组讨论交流.
学生1：归纳以上三个实例，可看出其不同点是：问题3是用解析式刻画变量之间的对应关系，问题4是用表格刻划变量之间的对应关系，问题5是用图象刻画变量之间的对应关系.
学生2：其共同点是：
（1）两个集合之间都有一种确定的对应关系；
（2）对于A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有确定的y值和它对应.
教师：这位同学归纳得准确不准确呢？我们先来思考下面这个问题：
问题6：下面四个图象表示的对应关系有没有和上述三个问题不同的？
学生3：应该是A吧，因为我发现两个不同的x对应了相同的y.
学生4：不对，问题5中就有两个不同的x对应了相同的y，我觉得应该是B，一个x只能对应一个y，上述三个实例都有这个特点.
……
设计意图：能否归纳出三个实例的共同点和不同点是学生能否从集合的观点理解函数的关键. 在这里，笔者为学生创设了先自主探究，再分小组讨论、交流的学习情境，既有效地化解了学习的难点，又调动了全体学生学习的主动性. 特别是当学生出错时，教师并没有直接予以纠正，而是巧妙地出示问题6，让学生从图象中自己发现错误. 这样的处理，不但使学生深化了对函数概念中的集合与对应关系的理解，真正成为知识的意义建构者，而且进一步体会到数形结合的方法，从而丰富了解决数学问题的经验和方法.
延伸问题——引导学生主动尝试归纳
教师：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？
笔者首先让学生尝试归纳，然后师生共同概括.
学生：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为
y=f（x），x∈A.
其中，所有的输入值x叫自变量，集合A叫做函数y=f（x）的定义域. 集合｛f（x）x∈A｝叫函数y=f（x）的值域.
教师：在函数的定义中有哪几个要点？
学生：在函数的定义中有下面三个要点：
（1）函数是非空数集到非空数集上的一种对应；
（2）集合A中数的任意性， 集合B中数的唯一性;
（3）值域由定义域和对应关系唯一确定.
设计意图：从三个问题中引申、抽象出用集合与对应的语言描述函数的定义，对大部分学生而言会比较困难. 这时，教师要先鼓励学生尝试，再由师生共同完成. 这个活动过程看似平淡，实际上体现了教师注重让学生经历函数概念的概括过程，重视学生归纳、概括能力的培养的现代教学理念.
反思整堂课，在新课标的指引下，首先是教师扮演着组织、引导和与学生合作的角色，注重为学生搭建自主探究、讨论、交流的平台. 通过这个平台，不但激发了学习主体的探索精神和创造力，而且有效地促进了学习方式的转变，改变了原来单一的、被动的学习行为，构建了旨在发挥学生主体性的多样化学习方式，充分体现了教师是学生学习的组织者、引导者、促进者和合作者，学生是活动的主体的现代教学理念. 其次是整个教学过程以问题为载体，紧紧围绕函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳，概括出用集合与对应的观点描述函数的定义和深化对函数概念的理解. 让学生经历了函数概念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段，有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构.
文通过具体的函数概念的教学片段的展现和分析，充分体现了发挥教师学生的双主作用、钻研教材、关注主体等在优化课堂、发展学生思维、培养学生能力、构建有效课堂等方面的重要作用.
关键词：概念教学；主动思考；有效课堂
函数是中学数学的主要内容之一，函数思想作为基本的数学思想，贯穿于中学数学教学的始终. 那么，我们应该怎样从函数概念的重要性的角度重视此概念的教学，在具体的教学过程中又如何实施对函数概念的教学？笔者于教学中进行了一些思考和实践，在此谈谈心得.
创设问题——激发学生主动学习兴趣
问题1：同学们在初中已经学过“函数”，请你举几个函数的例子.
在学生所列举例子都是解析式的情况下，教师可继续发问：
问题2：函数关系都是可以用解析式表示的吗？
设计意图：通过具体例子，不仅能提高学生主动学习的兴趣，达到激活学生原有知识的目的；同时从中创设的问题2引发了学生的认知冲突，让学生回顾初中学习过的函数概念，把握内涵. 教师根据所举例子的具体情况，引导学生列举分别用解析式、图象法、列表法表示函数的对应关系，为下一步用集合语言来描述函数作好铺垫，起着承上启下的作用.
确定问题——引导学生主动观察思考
问题3：一物体从静止开始从490米的高空下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2.
教师：你能得出物体下落5秒、10秒、20秒时下落的距离吗？其中时间x的变化范围是什么？物体下落的距离y的变化范围是什么？
学生：物体下落时间x的变化范围是数集A=｛x0≤x≤10｝，下落的距离y的变化范围是数集B=｛y0≤y≤490｝.
教师：A与B之间有关系吗?
学生：我觉得应该有一种对应关系.
教师：对！从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间x按照对应关系y=4.9x2，在数集B中是否都有唯一确定的下落距离y和它对应？
学生：是！
问题4：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示. 你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？
人口数单位：百万
教师：年份的变化范围是多少？人口数的变化范围是多少？
……
问题5：如图1为某市24小时内的气温变化图.
图1
教师：时间t与气温θ的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？ 如何用集合与对应的语言来描述这种关系？
……
设计意图：在这里精选与本节课主题密切相关的三个实际问题，通过集合的观点直接引出函数的定义，这就给学生创造了主动观察、思考的条件和空间，充分体现运用教材的新课程理念.对于这三个问题，教师主要引导和组织学生观察和思考，不仅让学生分别体会到了用解析式刻画变量之间的对应关系，用图象刻画变量之间的对应、关系，用表格刻画变量之间的对应关系和初步感知了函、数中蕴涵着集合与对应关系的属性，而且激活了学生的思维，调动了学习的主动性.
提炼问题——引导学生主动合作交流
教师：以上三个实例有什么不同点和共同点？
学生活动：先自主探究，再分小组讨论交流.
学生1：归纳以上三个实例，可看出其不同点是：问题3是用解析式刻画变量之间的对应关系，问题4是用表格刻划变量之间的对应关系，问题5是用图象刻画变量之间的对应关系.
学生2：其共同点是：
（1）两个集合之间都有一种确定的对应关系；
（2）对于A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有确定的y值和它对应.
教师：这位同学归纳得准确不准确呢？我们先来思考下面这个问题：
问题6：下面四个图象表示的对应关系有没有和上述三个问题不同的？
学生3：应该是A吧，因为我发现两个不同的x对应了相同的y.
学生4：不对，问题5中就有两个不同的x对应了相同的y，我觉得应该是B，一个x只能对应一个y，上述三个实例都有这个特点.
……
设计意图：能否归纳出三个实例的共同点和不同点是学生能否从集合的观点理解函数的关键. 在这里，笔者为学生创设了先自主探究，再分小组讨论、交流的学习情境，既有效地化解了学习的难点，又调动了全体学生学习的主动性. 特别是当学生出错时，教师并没有直接予以纠正，而是巧妙地出示问题6，让学生从图象中自己发现错误. 这样的处理，不但使学生深化了对函数概念中的集合与对应关系的理解，真正成为知识的意义建构者，而且进一步体会到数形结合的方法，从而丰富了解决数学问题的经验和方法.
延伸问题——引导学生主动尝试归纳
教师：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？
笔者首先让学生尝试归纳，然后师生共同概括.
学生：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为
y=f（x），x∈A.
其中，所有的输入值x叫自变量，集合A叫做函数y=f（x）的定义域. 集合｛f（x）x∈A｝叫函数y=f（x）的值域.
教师：在函数的定义中有哪几个要点？
学生：在函数的定义中有下面三个要点：
（1）函数是非空数集到非空数集上的一种对应；
（2）集合A中数的任意性， 集合B中数的唯一性;
（3）值域由定义域和对应关系唯一确定.
设计意图：从三个问题中引申、抽象出用集合与对应的语言描述函数的定义，对大部分学生而言会比较困难. 这时，教师要先鼓励学生尝试，再由师生共同完成. 这个活动过程看似平淡，实际上体现了教师注重让学生经历函数概念的概括过程，重视学生归纳、概括能力的培养的现代教学理念.
反思整堂课，在新课标的指引下，首先是教师扮演着组织、引导和与学生合作的角色，注重为学生搭建自主探究、讨论、交流的平台. 通过这个平台，不但激发了学习主体的探索精神和创造力，而且有效地促进了学习方式的转变，改变了原来单一的、被动的学习行为，构建了旨在发挥学生主体性的多样化学习方式，充分体现了教师是学生学习的组织者、引导者、促进者和合作者，学生是活动的主体的现代教学理念. 其次是整个教学过程以问题为载体，紧紧围绕函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳，概括出用集合与对应的观点描述函数的定义和深化对函数概念的理解. 让学生经历了函数概念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段，有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构.