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一、导数基础知识
（一）导数定义
设 在点 有定义，在 自变数x的改变量是 相应函数的改变量是 ，若极限 = 存在，称函数 在 可导（或存在导数），此极限称为函数 在 的导数（或微商），表示为 或 ，即 或 。若极限不存在，称函数 在 不可导。
（二）导数的几何意义
函数 在点a处的导数 ，就是曲线 在点 处的切线斜率，即 。相应地，切线方程为 。
二、导数的基本公式
1.和、差、积、商的求导法则
，
，
。
2.反函数的导数
如果函数 在 内严格单调、可导，则它有反函数 ，当 时， 可导，且有 。
3.复合函数的导数
如果函数 在点 可导，而 在 可导，则复合函数 在点 可导，且其导数为： 。
三、导数在函数中的应用
1.利用导数图像分析函数的图像
分析函数的图像是高中阶段重要的学习内容，也是解决数学问题的一种重要方法。
例1，设 是 的导函数， 的图像如图1所示，则 的图像可能是（ ）
例1利用导数图像分析出原函数的图像。 的图像在 或 的区域上 ，那么在 或 的定义域上 是增函数；在 上函数 是减函数。从而可以排除ABD选项得到此题的答案C选项。通过这个例子我们可以发现利用导数的知识来判断一些题目的图像是非常好用的。
2.利用导数求函数的单调区间
在高中阶段，函数的单调性一直是一个重点。利用导数不仅可以确定函数的单调性，还可以求出函数的单调区间。一般方法难以解决的题目，利用求导的方法可以轻松解答。
例2，设 ，求函数 的单调区间。
解：
当 时为增函数
即： 解得： 为增区间。
当 时为减函数 同理可得： 为减区间。
例2利用定义法确定该函数的单调性容易，然而要确定该函数的单调区间就比较困难。用求导的方法确定该函数的单调区间就比较简便。令函数的导数 ，则求出的解为原函数的减区间；令 ，则求出的解为函数的增区间。
3.导数与函数的极值和最值的关系
在高考数学中，极值和最值问题一直都是重难点。在解决这一类问题的时候，要求学生具备较高的解题能力。许多解决此类问题的方法都有一定的局限性，这里可以用导数，使得解题过程变得简单有序，也能使学生的解题过程具有严密的逻辑性。
例3，求函数 的极值及在 上的最值。
解：极值：
令 解得： （驻点）
当 时 当 时
是函数单调递增区间 是单调递减区间
所以：原函数在 处取得极大值
原函数在 处取得极小值
最值：
当 时 当 时
是函数单调递增区间
是单调递减区间
为函数的最大值 为函数的最小值
例3为一道较为复杂的极值问题，此题用导数的方法，可以很快得出正确答案。学生只需要对该函数进行求导，然后找到其驻点，利用草图进行分析，从而确定该函数的极值点，再求出该函数的极值。许多类似的题目，用同样的方法可以确定该函数的极值以及最值。
4.利用导数判断函数奇偶性
利用导数不仅可以分析函数的单调性，也能分析函数的图像，同时还可以利用导数判断函数的奇偶性。在高考数学中，主要运用定理：“已知函数 在定义域内可导，若函数 为奇函数，则 为偶函数；若函数 为偶函数，则 为奇函数[5]。”来判断。许多题目用定义法判断其奇偶性比较困难，就可以利用该定理来解决。
例4：设函数 ，其中 ，则函数 是偶函数的充分必要条件是（ ）
本题用常规方法很难判断出函数 是偶函数的充要条件。由题知 ，因为函数 是偶函数，则 为奇函数，∴ ，又当 时，即 ，此时有 ，代入 有 或 ，此时函数 是偶函数。
四、导数在不等式恒等问题中的应用
利用导数不僅可以将一些不常见的不等式问题转化成我们常见的函数问题，而且利用导数可以确定函数单调性从而比较严密地得出结果。不仅解决了需要解决的问题，而且体现了严密的数学思维与逻辑性。
五、利用导数研究方程的根
利用导数研究方程的根，就是将原函数进行求导，转化成二次方程，然后分析其极值，确定原函数的单调性以及单调区间，再结合图像来分析判断原方程根的情况。
六、导数在解析几何中的应用
导数不仅可以解决许多代数问题，导数还可以应用到解析几何中解决一些关于图像切线的问题。这体现了导数在高考数学中应用广泛，更体现了导数在高考数学中充当有力的工具。
七、导数在数列中的应用
导数在数列中也有一定的应用。利用导数能很好地解决一些特殊问题，既能避免了错综复杂的计算，还能提高了运算结果的准确性。
八、导数在实际问题中的应用
在日常生产和生活中，有很多优化问题。比如，在一定条件下的用料最省、利润最大、强度最大、效率最高等问题。利用导数解决问题就更加重要了，导数是求最值的有力工具。
在高考数学中，导数始终充当着解决问题的有力工具，它从根本意义上体现了导数的数学价值。它既为学生提供了解决高考数学的新方法，也培养了学生在高考数学中辩证的思维能力。
通过本论文，可以让学生更好地了解导数在高考数学中的应用，不难发现，虽然导数可以解决很多类型的题目，但其运用方法都万变不离其宗。“导数的应用”这个知识点，具有重要的意义，而其中的奥秘和精髓依然值得更深更广的挖掘。
（一）导数定义
设 在点 有定义，在 自变数x的改变量是 相应函数的改变量是 ，若极限 = 存在，称函数 在 可导（或存在导数），此极限称为函数 在 的导数（或微商），表示为 或 ，即 或 。若极限不存在，称函数 在 不可导。
（二）导数的几何意义
函数 在点a处的导数 ，就是曲线 在点 处的切线斜率，即 。相应地，切线方程为 。
二、导数的基本公式
1.和、差、积、商的求导法则
，
，
。
2.反函数的导数
如果函数 在 内严格单调、可导，则它有反函数 ，当 时， 可导，且有 。
3.复合函数的导数
如果函数 在点 可导，而 在 可导，则复合函数 在点 可导，且其导数为： 。
三、导数在函数中的应用
1.利用导数图像分析函数的图像
分析函数的图像是高中阶段重要的学习内容，也是解决数学问题的一种重要方法。
例1，设 是 的导函数， 的图像如图1所示，则 的图像可能是（ ）
例1利用导数图像分析出原函数的图像。 的图像在 或 的区域上 ，那么在 或 的定义域上 是增函数；在 上函数 是减函数。从而可以排除ABD选项得到此题的答案C选项。通过这个例子我们可以发现利用导数的知识来判断一些题目的图像是非常好用的。
2.利用导数求函数的单调区间
在高中阶段，函数的单调性一直是一个重点。利用导数不仅可以确定函数的单调性，还可以求出函数的单调区间。一般方法难以解决的题目，利用求导的方法可以轻松解答。
例2，设 ，求函数 的单调区间。
解：
当 时为增函数
即： 解得： 为增区间。
当 时为减函数 同理可得： 为减区间。
例2利用定义法确定该函数的单调性容易，然而要确定该函数的单调区间就比较困难。用求导的方法确定该函数的单调区间就比较简便。令函数的导数 ，则求出的解为原函数的减区间；令 ，则求出的解为函数的增区间。
3.导数与函数的极值和最值的关系
在高考数学中，极值和最值问题一直都是重难点。在解决这一类问题的时候，要求学生具备较高的解题能力。许多解决此类问题的方法都有一定的局限性，这里可以用导数，使得解题过程变得简单有序，也能使学生的解题过程具有严密的逻辑性。
例3，求函数 的极值及在 上的最值。
解：极值：
令 解得： （驻点）
当 时 当 时
是函数单调递增区间 是单调递减区间
所以：原函数在 处取得极大值
原函数在 处取得极小值
最值：
当 时 当 时
是函数单调递增区间
是单调递减区间
为函数的最大值 为函数的最小值
例3为一道较为复杂的极值问题，此题用导数的方法，可以很快得出正确答案。学生只需要对该函数进行求导，然后找到其驻点，利用草图进行分析，从而确定该函数的极值点，再求出该函数的极值。许多类似的题目，用同样的方法可以确定该函数的极值以及最值。
4.利用导数判断函数奇偶性
利用导数不仅可以分析函数的单调性，也能分析函数的图像，同时还可以利用导数判断函数的奇偶性。在高考数学中，主要运用定理：“已知函数 在定义域内可导，若函数 为奇函数，则 为偶函数；若函数 为偶函数，则 为奇函数[5]。”来判断。许多题目用定义法判断其奇偶性比较困难，就可以利用该定理来解决。
例4：设函数 ，其中 ，则函数 是偶函数的充分必要条件是（ ）
本题用常规方法很难判断出函数 是偶函数的充要条件。由题知 ，因为函数 是偶函数，则 为奇函数，∴ ，又当 时，即 ，此时有 ，代入 有 或 ，此时函数 是偶函数。
四、导数在不等式恒等问题中的应用
利用导数不僅可以将一些不常见的不等式问题转化成我们常见的函数问题，而且利用导数可以确定函数单调性从而比较严密地得出结果。不仅解决了需要解决的问题，而且体现了严密的数学思维与逻辑性。
五、利用导数研究方程的根
利用导数研究方程的根，就是将原函数进行求导，转化成二次方程，然后分析其极值，确定原函数的单调性以及单调区间，再结合图像来分析判断原方程根的情况。
六、导数在解析几何中的应用
导数不仅可以解决许多代数问题，导数还可以应用到解析几何中解决一些关于图像切线的问题。这体现了导数在高考数学中应用广泛，更体现了导数在高考数学中充当有力的工具。
七、导数在数列中的应用
导数在数列中也有一定的应用。利用导数能很好地解决一些特殊问题，既能避免了错综复杂的计算，还能提高了运算结果的准确性。
八、导数在实际问题中的应用
在日常生产和生活中，有很多优化问题。比如，在一定条件下的用料最省、利润最大、强度最大、效率最高等问题。利用导数解决问题就更加重要了，导数是求最值的有力工具。
在高考数学中，导数始终充当着解决问题的有力工具，它从根本意义上体现了导数的数学价值。它既为学生提供了解决高考数学的新方法，也培养了学生在高考数学中辩证的思维能力。
通过本论文，可以让学生更好地了解导数在高考数学中的应用，不难发现，虽然导数可以解决很多类型的题目，但其运用方法都万变不离其宗。“导数的应用”这个知识点，具有重要的意义，而其中的奥秘和精髓依然值得更深更广的挖掘。